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【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第2章 第4讲 函数的单调性与最值]


第 4 讲 函数的单调性与最值

1.(2012 年陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的是( ) 3 A.y=x+1 B.y=-x 1 C.y= D.y=x|x| x 2.(2012 年广东)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 1?x 1 C.y=? ?2? D.y=x+x f?x?-f?-x?

3.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 <0 的解集为 x ( ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 4.(2012 年山东)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”,是“函数 g(x) =(2-a)x3 在 R 上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ??3-a?x-4a?x<1?, ? 5.已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上的增函数,那么 a 的取值范围是 ? ?x≥1? ?logax ( ) A.(1,+∞) B.(-∞,3) 3 ? C.? ?5,3? D.(1,3) 6.已知函数 f(x)=x2-cosx,则 f(-0.5),f(0),f(0.6)的大小关系是( ) A.f(0)<f(-0.5)<f(0.6) B.f(-0.5)<f(0.6)<f(0) C.f(0)<f(0.6)<f(-0.5) D.f(-0.5)<f(0)<f(0.6) 2x2 7.设 f(x)= ,g(x)=ax+5-2a(a>0),若对于任意 x1∈[0,1],总存在 x0∈[0,1],使 x+1 得 g(x0)=f(x1)成立,则 a 的取值范围是( ) 5 ? A.[4,+∞) B.? ?0,2? 5 ? ?5 ? C.? ?2,4? D.?2,+∞? 1 ? ?x2+2a-2,x≤1, 8.(2013 年广东惠州模拟)已知函数 f(x)=? 若 f(x)在(0,+∞)上单

? ?ax-a,x>1.

调递增,则实数 a 的取值范围为____________. 1 9. 在区间 D 上, 如果函数 f(x)为增函数, 而函数 f(x)为减函数, 则称函数 f(x)为“弱增” x

函数.已知函数 f(x)=1-

1 . 1+x (1)判断函数 f(x)在区间(0,1]上是否为“弱增”函数; 1 (2)设 x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,证明:|f(x2)-f(x1)|< |x2-x1|; 2 1 (3)当 x∈[0,1]时,不等式 1-ax≤ ≤1-bx 恒成立,求实数 a,b 的取值范围. 1+x

1 ? ?x?x>0?, 10.(2013 年广东广州二模)设 k∈R,函数 f(x)=? F(x)=f(x)+kx,x∈R. ?ex?x≤0?, ? (1)当 k=1 时,求函数 F(x)的值域; (2)试讨论函数 F(x)的单调性.

第 4 讲 函数的单调性与最值 1.D 解析:选项中是奇函数的有 B,C,D,增函数有 A,D.故选 D. 2.A 解析:函数 y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数;函数 y=- x+1在区间(0, 1?x 1 +∞)上为减函数;函数 y=? ?2? 在区间(0,+∞)上为减函数;函数 y=x+x在区间(0,+∞) 上为先减后增函数.故选 A. f?x?-f?-x? 3.D 解析:由 <0,得 xf(x)<0. x 4.A 解析:若函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数,则有 0<a<1.函数 g(x)=(2-a)x3 是增函 数, 则有 2-a>0, 所以 a<2, 所以“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 是增函数”的充分不必要条件.故选 A. 5.D 解析:方法一,∵f(x)在 R 上是增函数,∴f(x)在[1,+∞)上单调递增.由对数 函数单调性,知:a>1 ①.又由 f(x)在(-∞,1)上单调递增,∴3-a>0,∴a<3 ②.又由于 f(x)在 R 上是增函数,为了满足单调区间的定义,f(x)在(-∞,1)上的最大值 3-5a 要小于 3 等于 f(x)在[1,+∞)上的最小值 0,才能保证单调区间的要求,∴3-5a≤0,即 a≥ ③. 5 由①②③,可得 1<a<3. 3 方法二,令 a 分别等于 ,0,1,即可排除 A,B,C.故选 D. 5 6. A 解析: f′(x)=2x+sinx, 函数 f(x)在[0,0.6]上单调递增, 所以 f(0)<f(0.5)<f(0.6). 又 因为 f(x)=x2-cosx 是偶函数,所以 f(0)<f(-0.5)<f(0.6). 7.C 解析:对于任意 x1∈[0,1],总存在 x0∈[0,1],使得 g(x0)=f(x1)成立,即函数 y= 2 2x2 2?x -1?+2 2 f(x)的值域是函数 y=g(x)值域的子集,f(x)= = =2x-2+ =2(x+1)+ x+1 x+1 x+1 2 2 -4≥2 2?x+1?× -4=0,当且仅当 x=0 时等号成立,所以 f(x)∈[0,1];y=g(x) x+1 x+1
? ?5-2a≤0, 5 单调递增,所以 g(x)∈[5-2a,5-a];[5-2a,5-a]?[0,1],即? 解得 ≤a≤4. 2 ?5-a≥1, ? 故选 C. 8.1<a≤2 解析:因为 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 1 所以 y=ax-a 单调递增,且 12+ a-2≤a1-a, 2 x 由 y=a -a 单调递增,得 a>1, ① 1 由 12+ a-2≤a1-a,得 a≤2, ② 2 综合①②得 1<a≤2. 9.解:(1)显然 f(x)在区间(0,1]为增函数. 1 ? 1 1+x-1 1 1? ∵ f(x)= ?1- ?= x x? 1+x? x 1+x

1 x 1 = , x 1+x? 1+x+1? 1+x+ 1+x 1 ∴ f(x)为减函数. x ∴f(x)在区间(0,1]为“弱增”函数. ? 1 - 1 ? (2)|f(x2)-f(x1)|=? ? 1+x1? ? 1+x2 = = = | 1+x1- 1+x2| 1+x2 1+x1 |x2-x1| 1+x2 1+x1? 1+x2+ 1+x1? .

∵x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2, 1+x2 1+x1( 1+x2+ 1+x1)>2, 1 ∴|f(x2)-f(x1)|< |x2-x1|. 2 (3)∵当 x∈[0,1]时,不等式 1-ax≤ 当 x=0 时,不等式显然成立. 1 a≥ f?x?, x 当 x∈(0,1]时.等价于: 1 b≤ f?x?, x 1 ≤1-bx 恒成立. 1+x

? ? ?

1 2 1 1 由(1),知: f(x)为减函数,故 1- ≤ f(x)< , x 2 x 2 1 2 ∴a≥ ,b≤1- . 2 2 1 ? ?x+x?x>0?, 10.解:(1)F(x)=?

? ?ex+x?x≤0?,

1 当 x>0 时,F(x)= +x≥2,即 x=1 时,F(x)最小值为 2. x 当 x≤0 时,F(x)=ex+x,在(-∞,0)上单调递增,所以 F(x)≤F(0)=1. 所以当 k=1 时,F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞]. 1 ? ?k-x2?x>0?, (2)依题意,得 F′(x)=?

? ?ex+k?x≤0?,

①若 k=0,当 x>0 时,F′(x)<0,F(x)单调递减,当 x≤0 时,F′(x)>0,F(x)单调递增. 1 ②若 k>0,当 x>0 时,令 F′(x)=0,解得 x= , k 1 1 当 0<x< 时,F′(x)<0,F(x)单调递减,当 x> 时,F′(x)>0,F(x)单调递增. k k 当 x<0 时,F′(x)>0,F(x)单调递增. ③若-1<k<0,当 x>0 时,F′(x)<0,F(x)单调递减. 当 x<0 时,解 F′(x)=ex+k=0 得 x=ln(-k), 当 ln(-k)<x<0 时,F′(x)>0,F(x)单调递增, 当 x<ln(-k)时,F′(x)<0,F(x)单调递减. ④k≤-1,对任意 x≠0,F′(x)<0,F(x)在(-∞,0),(0,+∞)上递减. 1 1? ? ? 综上所述,当 k>0 时,F(x)在(-∞,0],? 上单调 ,+∞ 上单调递增,在 0, k k? ? ? ? 递减; 当 k=0 时,F(x)在(-∞,0]上单调递增,在(0,+∞)上单调递减; 当-1<k<0 时,F(x)在(ln(-k),0]上单调递增,在(-∞,ln(-k)),(0,+∞)上单调递 减; 当 k≤-1 时,F(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减.


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