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2008年全国高中数学联赛四川初赛试题


二 00 八年高中数学联赛四川赛区初赛试题
2008 年 5 月 18 日(14:30 一 16:30)
一、选择题(本大题满分 30 分,每小题 5 分) 选择题 本 1. 设集合 A = x x 2 + x ? 6 < 0, 且x ∈ Z ,则集合 A 的非空真子集的个数为 ( (A)13 (B) 14 (C) 15 (D) 16

/>{

}



2. 在公差为 4 的正项等差数列中,a3 与 2 的算术平均值等于 S 3 与 2 的几何平均值, 其中 S 3 表 示数列的前三项和,则 a10 为 ( )

(A)38 (B) 40 (C) 42 (D) 44 3. 某学校的课外数学小组有 8 个男生和 6 个女生,要从她们中挑选 4 个组成代表队去参加比 赛,则代表队包含男女各 2 人的概率为 ( ) (A)

10 143

(B)

30 143

(C)

60 143

(D)

70 143

4. 设有一个体积为 54 的正四面体,若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面 体的体积为 ( ) (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5. 已知椭圆
→ → x2 y2 + = 1 的左顶点为 A1 , 右焦点为 F2 , P 为椭圆上的一点, 点 则当 PA1 ? PF2 4 3
→ →

取最小值的时候, PA1 + PF2 的值为 (A) 2 2 6. 设 α ∈ (0, (B)3





(C) 5 )

(D)

13

π
2

)则

sin 3 α cos 3 α + 的最小值为 ( cos α sin α
(B)

(A)

27 64

3 2 5

(C) 1

(D)

5 3 6

二、填空题(本大题满分 30 分,每小题 5 分) 填空题( 7. 函数 f ( x) = x ? 1 + x ? 3 + x ? 5 + x ? 7 的最小值为__________________ . 8. 函数 f (x ) 对任意的 x 满足 f ( x + 3) = ?

1 1 ,且 f (1) = ,则 f (2008) =__________. f ( x) 2

9. 设数列 {a n } 满足: a n = ( 2n ? 1)( 2n + 1)(2n + 3) ,则 a1 , a 2 , ? , a 2008 的最大公约数 d 为 ________________ . 10. 已知正实数 x, y 满足 x + 2 y = 4 ,则

1 1 + 的最小值为__________________ . x y

11. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为 1,2, ? ,9 的 9 个小正方形(如图) ,使得任意相邻(有公共边的) 小正方形所涂颜色都不相同,且“3、5、7”号数字涂相同 种。 的颜色,则符合条件的所有涂法共有 _______ 12. 数列 {a n } 、 {bn } 满足: a1 = 1, b1 = 7 ,且 ? 三、解答题(本大题满分 80 分,每小题 20 分) 解答题(本大题

1 4 7

2 5 8

3 6 9

? a n +1 = bn ? 2a n a ,则 lim n =_________. n →∞ b ?bn +1 = 3bn ? 4a n n

13. 是 否 存 在 一 个 二 次 函 数 f ( x ) , 使 得 对 任 意 的 正 整 数 k , 当 x = 55? 5 时 , 都 有
k个 5

f ( x) = 55?5 成立?请给出结论,并加以证明.
2 k个 5

14. 设 F 是抛物线 y 2 = 4 x 的焦点, A、B 为抛物线上异于 原点 O 的两点,且满足 FA ? FB = 0 .延长 AF、BF 分 别交抛物线于点 C、D (如图) .求四边形 ABCD 面积的最小值.

15. 已知⊙ O 与 ?ABC 的边 AB、AC 分别相切于 P 和 Q ,与 ?ABC 外接圆相切于 D , M 是

PQ 的中点(如图) .求证: ∠POQ = 2∠MDC .

16. 已知 1 < a i <

7 , i = 1,2,? , n ,其中正整数 n ≥ 2 .
1 1 2 + ≥ ; 2 3 a ? 1 7 ? ai
2 i

(1)求证:对于一切的正整数 i ,都

(2)求 S =


i =1

n

1

(a ? 1)(7 ? a i2+1 )
2 i

的最小值,其中约定 a n +1 = a1 .


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