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必修四 1.2任意角的三角函数


必修4

1.2 任意角的三角函数

数信2010级2班 吴倩 33号

初中时,我们怎样利用直角三角形定义了 锐角三角函数的呢?

sin ? ? cos ? ? tan ? ?

a c b c
a b
A

B

c

a

?
b
答案 C

思考1 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a 2 ? b 2
y

MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos ? ? ? OP r

﹒P?a, b?
r
?

MP b tan ? ? ? OM a

b

o


M

a

x

思考2 以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆.
y

因OP ? r ? 1 ,故
P( x, y )
1

MP sin ? ? OP
x

?y

?
o

M

OM cos ? ? OP

?x y MP tan ? ? ? OM x

1、任意角的三角函数第一定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y )

y 规定:(1) 叫做
x

? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos? ? x ; y ? 的正切,记作tan ? ,即 tan ? ? y ( x ? 0) (3) 叫做
x
y

P ? x, y ? ﹒

?
O

A?1,0? x

注意:正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.

思 考 3
y

根据三角函数的定义,确定它们的 定义域(弧度制)
三角函数 定义域

P ? x, y ? ﹒

?
O

A?1,0? x

cos? tan ?

sin ?

R R
? ? ? ? ? ? ? k? (k ? Z )? ? 2 ? ?

思考四

2、任意角的三角函数第二定义: 设角? 是一个任意角, ( x, y ) 是终边上的任意一点, P 点 P 与原点的距离 r ? x 2 ? y 2 ? 0
y y sin ? ? 那么① 叫做 ? 的正弦,即 r r x ? 的余弦,即 cos ? ? x ② r 叫做 O r y y tan ? ? ?x ? 0? ③ x 叫做? 的正切,即 x
y P (x,y)

? x

r

y
M x

诱思

探究

返回

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?

解:在直角坐标系中,作 ?AOB ?

5? 例1、求 的正弦、余弦和正切值. 3 5? ,易知 ?AOB
) 的终边与单位圆的交点坐标为 ( , 2 2 5? 5? ? 3 5? 1 tan ?? 3 cos ? ? 所以 sin 3 2 3 3 2 7? 5? 思考:若把角 改为 呢? 3 6 5? 7? 1 3 sin ?? , ﹒ 6 2 o A x 7? ? 3 cos ? , ﹒B 6 2

3 1 ? 3



y

C

t an

7? 3 ? 6 3

例2、已知角 ? 的终边经过点P0 (?3,?4),求角? 的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

? ?3?

2

? (?4) ? 5
2

y 4 于是,sin ? ? ? ? r 5 y 4 tan ? ? ? x 3
返回

x 3 cos ? ? ? ? r 5

合作 演练 练习1、已知角? 的终边过点 P??12,5? ,

求? 的三个三角函数值.
解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

?? 12 ?

2

? 5 ? 13
2

y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

x 12 cos ? ? ? ? r 13

变式训练
已知点p(? 3,m)是角?终边上的一点, 且 sin ? ? 13
1 13 , 则m ? __________ ____ 2
2

解析: r ? 3 ? m ?
? m 3? m
2

13 ? 13

?13m ? m ? 3
2 2
划归的思想

1 ?m ? 4
2

y
?

? 的终边

P ( x, y )

x
A(1,0)

o

2.确定三角函数值在各象限的符号
y (+) + o - )( - )x (
sin ?

y ( - )( + ) o x - )( + ) ( cos?

y ( -) (+ ) o x -) ( +) (
tan ?

例3 若

sin ? ? 0 { tan ? ? 0

成立,则角 ? 为第几象限角角?

sin ? ? 0 三、四

例3 若

sin ? ? 0 { tan ? ? 0

成立,则角 ? 为第几象限角角?

sin ? ? 0 三、四

tan ? ? 0





? 如果两个角的终边相同,那么这两个角
的同一三角函数值有何关系?

y

P( x, y )
1

?
o

x

M

? 如果两个角的终边相同,那么这两个角
的同一三角函数值有何关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan( ? k ? 2? ) ? tan? (其中 k ? z) ?
公式作用:可以把求任意角的三角函数值, 转化为求 0到2? ?或0?到360?? 角的三角函数值 .

例4 确定下列三角函数值的符号:

? ?? cos sin ? (1) 250 ?(2)tan( 672?) (3) ? ? ? ? 4?
(2)因为 tan(?672?) = tan(?2 ? 360? ? 48?) ? tan48? , 而 48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0 ; ? ? 是第四象限角,所以 sin? ? ? ? ? 0 . ? ? (3)因为 ? 4? 4

解: (1)因为 250 ? 是第三象限角,所以cos 250 ? ? 0 ;

练习 确定下列三角函数值的符号 4? 17 16
cos

?

5

?

sin( ?

?

3

)

tan( ?

?

8

?)

例5 求下列三角函数值:
9? 11? (2) tan( ? ) 4 6 9? ? ? 2 cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 解:(1) 4 4 4 2 11 ? ? ? ? 3 tan( ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? tan ? (2) ?
(1) cos
6 6 6 6 3

练习 求下列三角函数值

19? tan ? 3

3

31? tan( ? )?1 4

归纳

总结

1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

y?x

11? 71? 4.求值(1 cos( ? ) );(2) ? sin( ) 3 6

作业
? 课堂作业 P20 A组1、2、3(1、2、3) P21 9(1、3) ? 前置作业:阅读教材p15-17 (1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段, 将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别 用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用.

课堂检测

1、已知角? 的终边过点 P??12,5? ,

求 ? 的三个三角函数值. 11? 71? 2.求值(1 cos( ? ) );(2) ? sin( ) 3 6


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