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4.1


4. 4 参 数 方 程
4.4.1 曲线参数方程的意义
教学目标 1. 弄清曲线参数方程的概念 2. 能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 教学重点 曲线参数方程的定义及方法

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢?
提示: 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时,开始投放物资?

投放点



救援点

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢?
物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: (1)沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动; (2)沿oy反方向作自由落体运动。

y 500

o

x

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢?

y 500

解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x,

o

? x ? 100t , ? ? 1 2 2 ( g=9.8m/s ) y ? 500 ? gt . ? ? 2 令y ? 0, 得t ? 10.10s. x 代入x ? 100t, 得 x ? 1010m. 所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,

垂直高度为y,所以

可以使其准确落在指定位置.

1、参数方程的概念:
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 ? x ? f (t ), ? (2) y ? g ( t ). ? 并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明: 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明 显意义。 2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围

变式: 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资(不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s)问此时飞机的飞行高度约是多少? (精确到1m)

? x ? 3t , 例1: 已知曲线C的参数方程是 ? (t为参数) 2 ? y ? 2t ? 1.
(1)判断点M1(0, 1),M2(5, 4)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。

练习1

2 ? x ? 1? t 1、曲线 与x轴的交点坐标是( B ) ( t 为参数) ? ? y ? 4t ? 3

25 ( , 0); C、(1, ?3); A、(1,4);B、 16

? x ? sin ? 2、方程 ? (?为参数) 所表示的曲线上一点的坐标是 ? y ? cos?
( D)

25 D、 (? , 0); 16

1 1 1 2 ( , ); C、( , ); D、(1,0) A、(2,7);B、 2 2 3 3

训练2:
已知曲线C的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上. (2)求曲线C的普通方程. 解: (1)由题意可知:

? x ? 1 ? 2t , (t为参数,a ? R ) ? 2 ? y ? at .

(1)求常数a;

1+2t=5 at2=4 x=1+2t y=t2

解得:

a=1 t=2

∴ a=1

x ?1 由第一个方程得: t ? 2 x ?1 2 ) , 代入第二个方程得: y ? ( 2

(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:

( x ?1) ? 4 y为所求.
2

思考题:动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得

? x ? 1 ? 5t 所以,点M的轨迹参数方程为 ? ? y ? 2 ? 12t
参数方程求法: (1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 (2)选取适当的参数 (3)根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程

? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t

小结:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数t的函数

? x ? f (t ), ? (2) ? y ? g (t ).

并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程, 系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。



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