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正弦定理练习题


正弦定理练习题
1.在△ABC 中,∠A=45° ,∠B=60° ,a=2,则 b 等于( A. 6 B. 2 C. 3 2.在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,则 b 等于( A.4 2 B.4 3 C.4 6 ) D .2 6 ) 32 D. 3

3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=60° ,

a=4 3,b=4 2,则角 B 为( ) A.45° 或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 4.在△ABC 中,a∶b∶c=1∶5∶6,则 sinA∶sinB∶sinC 等于( A.1∶5∶6 B.6∶5∶1 C.6∶1∶5 ) D.不确定

5.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 A=105° ,B=45° ,b= 2,则 c =( ) 1 1 A.1 B. C.2 D. 2 4 cos A b 6.在△ABC 中,若 = ,则△ABC 是( ) cos B a A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.已知△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积为( 3 3 3 3 3 A. B. C. 或 3 D. 或 2 4 2 4 2 )

8. △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.若 c= 2, b= 6, B=120° , 则 a 等于( A. 6 B.2 C. 3 D. 2

)

π 9. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若 a=1, c= 3, C= , 则 A=________. 3 10.在△ABC 中,已知 a= 4 3 ,b=4,A=30° ,则 sinB=________. 3

11.在△ABC 中,已知∠A=30° ,∠B=120° ,b=12,则 a+c=________. 12.在△ABC 中,a=2bcosC,则△ABC 的形状为________. a+b+c 13.在△ABC 中,A=60° ,a=6 3,b=12,S△ABC=18 3,则 =________, sinA+sinB+sinC c=________. a-2b+c 14.已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,a=1,则 =________. sin A-2sin B+sin C 1 15.在△ABC 中,已知 a=3 2,cosC= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3 16.在△ABC 中,b=4 3,C=30° ,c=2,则此三角形有________组解.

17.△ABC 中,ab=60 3,sin B=sin C,△ABC 的面积为 15 3,求边 b 的长.

正弦定理
1.在△ABC 中,∠A=45° ,∠B=60° ,a=2,则 b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D .2 6 a b asinB 解析:选 A.应用正弦定理得: = ,求得 b= = 6. sinA sinB sinA 2.在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,则 b 等于( ) 32 A.4 2 B.4 3 C.4 6 D. 3 asinB 解析:选 C.A=45° ,由正弦定理得 b= =4 6. sinA 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则角 B 为( ) A.45° 或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 a b bsinA 2 解析:选 C.由正弦定理 = 得:sinB= = ,又∵a>b,∴B<60° ,∴B=45° . sinA sinB a 2 4.在△ABC 中,a∶b∶c=1∶5∶6,则 sinA∶sinB∶sinC 等于( ) A.1∶5∶6 B.6∶5∶1 C.6∶1∶5 D.不确定 解析:选 A.由正弦定理知 sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=1∶5∶6. 5.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 A=105° ,B=45° ,b= 2,则 c =( ) 1 1 A.1 B. C.2 D. 2 4 b c 2× sin 30° 解析:选 A.C=180° -105° -45° =30° ,由 = 得 c= =1. sinB sinC sin45° cos A b 6.在△ABC 中,若 = ,则△ABC 是( ) cos B a A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 b sin B cos A sin B 解析:选 D.∵ = ,∴ = , a sin A cos B sin A sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B π 即 2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B,或 A+B= . 2 7.已知△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B=30° ,则△ABC 的面积为( ) 3 3 A. B. 2 4 3 3 3 C. 或 3 D. 或 2 4 2 AB AC 3 解析:选 D. = ,求出 sinC= ,∵AB>AC, sinC sinB 2 ∴∠C 有两解,即∠C=60° 或 120° ,∴∠A=90° 或 30° . 1 再由 S△ABC= AB· ACsinA 可求面积. 2 8. △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c.若 c= 2, b= 6, B=120° , 则 a 等于( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2 6 2 解析:选 D.由正弦定理得 = , sin120° sinC 1 ∴sinC= . 2 又∵C 为锐角,则 C=30° ,∴A=30° , △ABC 为等腰三角形,a=c= 2.

π 9. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若 a=1, c= 3, C= , 则 A=________. 3 a c 解析:由正弦定理得: = , sinA sinC a· sinC 1 所以 sinA= = . c 2 π π 又∵a<c,∴A<C= ,∴A= . 3 6 π 答案: 6 4 3 10.在△ABC 中,已知 a= ,b=4,A=30° ,则 sinB=________. 3 a b 解析:由正弦定理得 = sinA sinB 1 4× 2 bsinA 3 ? sinB= = = . a 2 4 3 3 3 答案: 2 11.在△ABC 中,已知∠A=30° ,∠B=120° ,b=12,则 a+c=________. 解析:C=180° -120° -30° =30° ,∴a=c, a b 12× sin30° 由 = 得,a= =4 3, sinA sinB sin120° ∴a+c=8 3. 答案:8 3 12.在△ABC 中,a=2bcosC,则△ABC 的形状为________. 解析:由正弦定理,得 a=2R· sinA,b=2R· sinB, 代入式子 a=2bcosC,得 2RsinA=2· 2R· sinB· cosC, 所以 sinA=2sinB· cosC, 即 sinB· cosC+cosB· sinC=2sinB· cosC, 化简,整理,得 sin(B-C)=0. ∵0° <B<180° ,0° <C<180° , ∴-180° <B-C<180° , ∴B-C=0° ,B=C. 答案:等腰三角形 a+b+c 13.在△ABC 中,A=60° ,a=6 3,b=12,S△ABC=18 3,则 =________, sinA+sinB+sinC c=________. a+b+c a 6 3 1 1 解析:由正弦定理得 = = = 12 ,又 S△ABC = bcsinA ,∴ 2 2 sinA+sinB+sinC sinA sin60° × 12× sin60° × c=18 3, ∴c=6. 答案:12 6 a-2b+c 14.已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,a=1,则 =________. sin A-2sin B+sin C 解析:由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 得,∠A=30° ,∠B=60° ,∠C=90° , a 1 ∴2R= = =2, sinA sin30° 又∵a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, a-2b+c 2R? sinA-2sinB+sin C? ∴ = =2R=2. sin A-2sin B+sin C sin A-2sin B+sin C 答案:2

1 15.在△ABC 中,已知 a=3 2,cosC= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3 2 2 1 解析:依题意,sinC= ,S△ABC= absinC=4 3, 3 2 解得 b=2 3. 答案:2 3 16.在△ABC 中,b=4 3,C=30° ,c=2,则此三角形有________组解. 1 解析:∵bsinC=4 3× =2 3且 c=2, 2 ∴c<bsinC,∴此三角形无解. 答案:0 17.如图所示,货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角)为 140° 的方向航行, 为了确定船位, 船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110° , 航行半小时后船到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65° ,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的 距离是多少? 1 解:在△ABC 中,BC=40× =20, 2 ∠ABC=140° -110° =30° , ∠ACB=(180° -140° )+65° =105° , 所以∠A=180° -(30° +105° )=45° , 由正弦定理得 BC· sin∠ABC AC= sinA 20sin30° = =10 2(km). sin45° 即货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是 10 2 km. C C 1 18.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a=2 3,sin cos = ,sin Bsin C 2 2 4 A =cos2 ,求 A、B 及 b、c. 2 C C 1 1 解:由 sin cos = ,得 sinC= , 2 2 4 2 π 5π 又 C∈(0,π),所以 C= 或 C= . 6 6 A 由 sin Bsin C=cos2 ,得 2 1 sin Bsin C= [1-cos(B+C)], 2 即 2sin Bsin C=1-cos(B+C), 即 2sin Bsin C+cos(B+C)=1,变形得 cos Bcos C+sin Bsin C=1, π 5π 即 cos(B-C)=1,所以 B=C= ,B=C= (舍去), 6 6 2π A=π-(B+C)= . 3 a b c 由正弦定理 = = ,得 sin A sin B sin C 1 2 sin B b=c=a =2 3× =2. sin A 3 2 2π π 故 A= ,B= ,b=c=2. 3 6 19.(2009 年高考四川卷)在△ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、

3 10 c,且 cos 2A= ,sin B= .(1)求 A+B 的值;(2)若 a-b= 2-1,求 a,b,c 的值. 5 10 10 解:(1)∵A、B 为锐角,sin B= , 10 3 10 ∴cos B= 1-sin2B= . 10 3 5 2 5 又 cos 2A=1-2sin2A= ,∴sinA= ,cos A= , 5 5 5 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B 2 5 3 10 5 10 2 = × - × = . 5 10 5 10 2 π 又 0<A+B<π,∴A+B= . 4 3π 2 (2)由(1)知,C= ,∴sin C= . 4 2 a b c 由正弦定理: = = 得 sin A sin B sin C 5a= 10b= 2c,即 a= 2b,c= 5b. ∵a-b= 2-1,∴ 2b-b= 2-1,∴b=1. ∴a= 2,c= 5. 20.△ABC 中,ab=60 3,sin B=sin C,△ABC 的面积为 15 3,求边 b 的长. 1 1 解:由 S= absin C 得,15 3= × 60 3× sin C, 2 2 1 ∴sin C= ,∴∠C=30° 或 150° . 2 又 sin B=sin C,故∠B=∠C. 当∠C=30° 时,∠B=30° ,∠A=120° . a b 又∵ab=60 3, = ,∴b=2 15. sin A sin B 当∠C=150° 时,∠B=150° (舍去).


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