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从2014年全国高中数学联赛A卷的加试第1题谈起--修改版


欢迎登陆 www.shuxuea.com,免费注册即可下载免费资源! 从 2014 年全国高中数学联赛 A 卷的加试第 1 题谈起 2014 年全国高中数学联赛试题 A 卷的加试第 1 题题目: 设实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1, abc ? 0, 求证: ab ? bc ? ca ? 题 1:(广东省高中数学竞赛试题,2010 年) 已知非负实数 a, b, c 的和为 1 ,求证: 9abc ? ab ? bc ? ca ? 证明:(1)不妨设 a ? max{a, b, c} ,则 1 ? 9a ? 0 , 故 ab ? bc ? ca ? 9abc ? a(b ? c) ? (1 ? 9a )bc ? a(1 ? a) ? (1 ? 9a) abc 1 ? . 2 4 1 (1 ? 9abc) . 4 (1 ? a)2 1 ? (1 ? a)(3a ? 1) 2 ? 0 . 4 4 9 a?0, 4 9 9 故 ab ? bc ? ca ? abc ? a (b ? c) ? (1 ? a )bc 4 4 (2)不妨设 a ? min{a, b, c} ,则 1 ? 9 (1 ? a)2 1 1 1 ? a(1 ? a) ? (1 ? a) ? ? a(3a ? 1) 2 ? ? . 4 4 16 4 4 综上(1),(2)知,原结论成立. 题 2:(南昌市高中数学竞赛试题,2004 年) 已知正实数 a, b, c 的和为 1 ,求证: a ? b ? c ? 9abc ? 2(ab ? bc ? ca ) . 2 2 2 证明: 由题意可知 a ? b ? c ? 9abc ? 2(ab ? bc ? ca ) ? ab ? bc ? ca ? 2 2 2 9 1 abc ? . 4 4 9 a ? 0. 4 9 9 9 1 故 ab ? bc ? ca ? abc ? a (b ? c) ? (1 ? a )bc ? a (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? (1 ? a ) 2 4 4 4 4 1 1 1 ? ? a (1 ? 3a )2 ? ? . 16 4 4 不妨设 a ? min{a, b, c} ,则有 1 ? 从而可知,原结论成立. 题 3:(第二十五届国际数学奥林匹克试题,1984 年) 已知 x, y, z 是满足 x ? y ? z ? 1 的非负实数,求证: 0 ? xy ? yz ? zx ? 2 xyz ? 证明: (1)不妨设 x ? max{x, y, z} ,则有 1 ? 9 x ? 0 , 故 xy ? yz ? zx ? 2 xyz ? xy ? yz ? zx ? 9 xyz ? x( y ? z ) ? (1 ? 9 x) yz 7 . 27 1 1 ? x(1 ? x ) ? (1 ? 9 x ) ? (1 ? x )2 ? (1 ? x )(1 ? 3x)2 ? 0 . 4 4 第 -1- 页 共 8 页 欢迎登陆 www.shuxuea.com,免费注册即可下载免费资源! 9 x ? 0, 4 9 1 9 1 故 xy ? yz ? zx ? 2 xyz ? xy ? yz ? zx ? xyz ? xyz ? x( y ? z ) ? (1 ? x ) yz ? xyz 4 4 4 4 9 1 1 ? x(1 ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x )2 ? xyz 4 4 4 1 1 1 1 1 1 7 ? ? x

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