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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第48讲 空间中的垂直关系 Word版含解析


第九单元 立体几何初步与空间向量 第48讲 空间中的垂直关系

1.设 l、m、n 均为直线,其中 m、n 在平面 α 内,则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若 l 为一条直线,α,β,γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β; ②

α⊥γ,β∥γ?α⊥β; ③l∥α,l⊥β?α⊥β. 其中正确的命题有( C ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:对于①,α 与 β 可能平行、相交或垂直,故①错;②③正确,故选 C. 3.(2013· 辽宁鞍山五模)已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直 线,那么下列情形可能出现的是( C ) A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α 解析:对于 A,由 l∥m,l⊥α,则 m⊥α,与已知矛盾;对于 B,由 l⊥m,l⊥α,可知 m∥α 或 m?α,与已知矛盾;对于 D,由 l∥m,l∥α 可知 m∥α 或 m?α,与已知矛盾.由 此排除 A,B,D,故选 C. 4.(2012· 浙江省高考 5 月份押题)已知直线 l,m 与平面 α,β,γ 满足 β∩γ=l,l∥α, m?α,m⊥γ,则有( B ) A.α⊥γ 且 m∥β B.α⊥γ 且 l⊥m C.m∥β 且 l⊥m D.α∥β 且 α⊥γ 解析:m?α,m⊥γ?α⊥γ,又 l?γ?m⊥l,故选 B.

5.如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是 α 内异于 A 和 B 的 动点,且 PC⊥AC,则 BC 与 AC 的位置关系是 垂直 . 解析:因为 PB⊥α,所以 PB⊥AC. 又因为 PC⊥AC,且 PC∩PB=P, 所以 AC⊥平面 PBC,所以 AC⊥BC. 6.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个 论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件, 余下的一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题: ① ③④?②或②③④?① . 7.(2012· 皖南八校第二次联考)已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ ?β⊥γ”是真命题,如果把 α,β,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所 有新命题中,真命题有 2 个. 解析:若 α,β 换为直线 a,b,则命题化为“a∥b,且 a⊥γ?b⊥γ”,此命题为真命题; 若 α,γ 换为直线 a,b,则命题化为“a∥β,且 a⊥b?b⊥β”,此命题为假命题;若 β,γ 换为直线 a,b,则命题化为“a∥α,且 b⊥α?a⊥b”,此命题为真命题.

8.如图,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别为 AB、PC 的中点. (1)证明:AB⊥MN; (2)若平面 PDC 与平面 ABCD 成 45° 角,连接 AC,取 AC 的中点 O,证明平面 MNO⊥ 平面 PDC. 证明:(1)因为 N 为 PC 的中点, 所以 ON∥PA. 而 PA⊥平面 ABCD,所以 ON⊥平面 ABCD. 所以 ON⊥AB. 又四边形 ABCD 为矩形,M 为 AB 的中点, 所以 OM⊥AB,所以 AB⊥平面 OMN, 所以 AB⊥MN. (2)PA⊥平面 ABCD,AD⊥DC,则 PD⊥DC.

故∠PDA 为平面 PDC 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角,即∠PDA=45° ,所以 PA =AD=BC. 连接 MC, 由 Rt△BCM≌RtAPM 知,MC=MP,所以 MN⊥PC. 因为 AB⊥MN,所以 MN⊥CD, 又 PC∩CD=C,所以 MN⊥平面 PCD, 所以平面 MNO⊥平面 PCD.

9.(2012· 黑龙江省绥棱县上期期末)棱长为 2 的正方体 ABCD- 1B1C1D1 中, 为棱 C1D1 A E 的中点,F 为棱 BC 的中点. (1)求证:AE⊥DA1; (2)求在线段 AA1 上找一点 G,使 AE⊥平面 DFG.

解析:(1)连接 AD1,BC1, 由正方体的性质可知, DA1⊥AD1,DA1⊥AB, 又 AB∩AD1=A, 所以 DA1⊥平面 ABC1D1,

又 AE?平面 ABC1D1, 所以 AE⊥DA1. (2)所求 G 点即为 A1 点,证明如下: 由(1)知 AE⊥DA1, 取 CD 的中点 H,连接 AH,EH, 由平面几何知识易得 DF⊥AH, 又 DF⊥EH,AH∩EH=H,所以 DF⊥平面 AHE, 所以 DF⊥AE, 又因为 DF∩A1D=D, 所以 AE⊥平面 DFA1,即 AE⊥平面 DFG.


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