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3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 问题提出 1.在三角函数中,我们学习了哪些基本 的三角函数公式? 2.对于30°,45°,60°等特殊角的三 角函数值可以直接写出,利用诱导公式 还可进一步求出150°,210°,315°等 角的三角函数值.我们希望再引进一些公 式,能够求更多的非特殊角的三角函数 值,同时也为三角恒等变换提供理论

依 据. 3.若已知α ,β 的三角函数值,那么 cos(α -β )的值是否确定?它与α ,β 的三角函数值有什么关系?这是我们需 要探索的问题. 探究(一):两角差的余弦公式 思考1:设α ,β 为两个任意角, 你能 判断cos(α -β )=cosα -cosβ 恒成 立吗? cos(30°-30°)≠cos30°-cos30° 思考2:我们设想cos(α -β )的值与α , β 的三角函数值有一定关系,观察下表 中的数据,你有什么发现? cos(60°- 30°) cos60° cos30° 3 2 sin60° 3 2 sin30° 3 2 cos(120°- 60°) 1 2 cos120° 1 2 sin60° 3 2 cos60° sin120° 3 2 1 2 1 ? 2 1 2 思考3:一般地,你猜想cos(α -β )等 于什么? cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 思考4:如图,设α ,β 为锐角,且α > β ,角α 的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP=β ,那么cos(α -β )表示哪条 线段长? y cos(α -β )=OM O P1 P M x 思考5:如何用线段分别表示sinβ 和 cosβ ? y cosβ O P1 sinβ P x A 思考6:cosα cosβ =OAcosα ,它表示 哪条线段长? sinα sinβ =PAsinα ,它表示哪条线段 长? y sin α sin β P 1 A C O P x B cosα cosβ 思考7:利用OM=OB+BM=OB+CP可得什 么结论? y sinα sinβ P1 A C O P x B M cosα cosβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ y 1 P1 A ? sin ? P cos ? C ? ? ? ?? B O M 1 x cos ? cos ? + sin ? sin ? 思考8:上述推理能说明对任意角α ,β , 都有 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 成立吗? 思考9:根据cosα cosβ +sinα sinβ 的 结构特征,你能联想到一个相关计算原 理吗? 思考10:如图,设角α ,β 的终边与单 位圆的交点分别为A、B,则向量 ΟΑ、 ΟB的坐标分别是什么?其数量积是什 么? y uuu r ΟΑ=(cosα ,sinα ) OB =(cosβ ,sinβ ) A α B β O x uuu r uuu r OA ?OB cos a cos b + sin a sin b 思考11:向量与的夹角θ 与uu αu 、 β 有什 r uuu r 么关系?根据数量积定义, OA ×OB 等于什么?由此可得什么结论? y α =2kπ +β +θ 或 β =2kπ +α +θ A θ α B β O x

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