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高二数学选修4-5柯西不等式导学案(2)


§ 3.1.2 柯西不等式(2)

姓名

绥阳中学高二数学备课组 欧阳飞
一学习目标:
1. 复习二维柯西不等式的四种形式,进一步理解它们的几何意义;

2. 理解三维柯西不等式及一般形式的柯西不等式,解决简单问题。 二课前自主学习:

1.回顾复习: 二维柯西不等式的四种形式:

变式 1.
a 2 ? b 2? c 2? d
2

| ac ? bd | 或 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2

ac ? bd ;

变式 2. 若 a, b, c, d R 则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? , 变式 3. 若 x1 , y1 , x2 , y2 ? R ,则 x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2

(a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 ; ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 .

变式 4.(三角形不等式)设 x1 , y1 , x2 , y 2 , x3 , y3 为任意实数,则:
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x2 ? x3 ) 2 ? ( y2 ? y3 ) 2 ?

2 新知建构: (学习教材 37 页——39 页完成下列内容)
1.三维形式的柯西不等式:若 a, b, c, d , e, f ? R , 则 当且仅当 2. 柯西不等式的一般形式:
.

时, 等号成立.

设 n 为大于 1 的自然数, ai , bi ? R ( i ? 1,2,…, n ),则:

? a ?b
2 i ?1 i i ?1

n

n

2

i

? (? ai bi ) 2
i ?1

n



其中等号当且仅当

b b1 b2 ? ? ? ? n 时 成 立 ( 当 ai ? 0 时 , 约 定 bi ? 0 , a1 a 2 an

i ? 1,2,…, n ).
三课堂互动探究: (结合教材 39 页——40 页探究下列问题)

例 1 已知 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 ? ? ? 9. a b c

例 2、已知 x ? 2 y ? 3z ? 1,

求x 2 ? y 2 ? z 2的最小值

例3

设 x, y, z ? R ? , 且 x+2y+3z=36, 求

1 2 3 ? ? 的最小值. x y z

四学习评价: 1、 已知 a, b, c ? R ? 且 a +b+c=1,求 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 的最大值。

2 设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等, 求证:

2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c

五学习小结: 六课后作业:1 教材 41 页:第 2 题 2 选作:第 3 题 第5题

、 第6题


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