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等比数列高考专题复习资料


等比数列
【知识点回顾】 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q ? 0) ,这个数列叫做等比数列,常数 q 称为等比数 列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: an ? a1q n?1 , a1 为首项, q 为公比 . ⑵前 n 项和公式:①当 q ? 1 时, Sn ? na1 ②当 q ? 1

时, S n ? 3.等比中项 如果 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
2 即: G 是 a 与 b 的等差中项 ? a , A , b 成等差数列 ? G ? a ? b .

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q . ? 1? q 1? q

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an
2

⑵中项法: an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列 ?an ? 是等比数列,则数列 ?pan ?、 ?pan ?( q ? 0 是常数)都是等比数列; ⑵在等比数列 ?an ? 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k , ?为等比数列,公比为 q .
k

⑶ an ? am ? qn?m (n, m ? N ? ) ⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ; ⑸若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k 、 S 4 k ? S3k 是等比数列. 【方法总结】 1.求等比数列的公比、 、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质. 例 1.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? p n ? 1 ( p 是非零常数),则数列 ?an ? 是( A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列 )

[名师点拨]先由 Sn 求出 an ,再根据等差、等比数列定义作出判定. 解:? Sn ? p n ? 1 ,? an ? Sn ? Sn?1 ? ( p ? 1) p n?1 (n ? 2) ∴当 p ? 1, 且 p ? 0 时, ?an ? 是等比数列;? 当 p ? 0 时, ?an ? 是等差数列,选 C. 2.求实数等比数列的中项要注意符号,求和要注意分类讨论. 例 2.若实数数列 1, a1 , a2 , a3 ,4 是等比数列,则 a2 ? .
-1-

2 [名师点拨]本题容易错认为,由等比数列的等比中项公式 a2 ? 1 ? 4 ,得 a2 ? ?2.
2 解:? 1, a1 , a2 , a3 ,4 是等比数列,? a2 ? 1 ? 4 ,得 a2 ? ?2.

2 又 1, a1 , a 2 是等比数列,? a1 ? 1 ? a2 , a1 ? R ,? a2 ? 2 .

考点一 等比数列的通项与前 n 项和 题型 1:已知等比数列的某些项,求某项 例 1.已知 ?an ? 为等比数列, a2 ? 2, a6 ? 162,则 a10 ? [解题思路]可以考虑基本量法,或利用等比数列的性质 解:方法 1:? ?

?a2 ? a1q ? 2 ? q 4 ? 81 5 ?a6 ? a1q ? 162

? a10 ? a1q9 ? a6 q4 ? 162? 81 ? 13122
方法 2:? q 4 ?

a6 162 ? ? 81,? a10 ? a6 q4 ? 162? 81 ? 13122 a2 2

方法 3:? ?an ? 为等比数列

? a2 ? a10 ? a6

2

a 1622 ? a10 ? 6 ? ? 13122 a2 2

2

题型 2:已知前 n 项和 Sn 及其某项,求项数. 例 2.⑴已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 93 , an ? 48 ,公比 q ? 2 ,则项数 n ? .

⑵已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为 37 ,中间两数之和为 36 ,求这四个数. [解题思路]⑴利用等比数列的通项公式 an ? a1q n ?1 及 S n ? 等比数列设出四个实数代入已知,可求这四个数. 解:⑴由 Sn ? 93 , an ? 48 ,公比 q ? 2 ,得 ?

a1 (1 ? q n ) 求出 a1 及 q ,代入 Sn 可求项数 n ;⑵利用等差数列、 1? q

?a1 (2n ? 1) ? 93 ? 2n ? 32 ? n ? 5 . n ?1 ?a1 ? 2 ? 48

?2b ? a ? c ?c 2 ? bd ? ⑵方法 1:设这四个数分别为 a, b, c, d ,则 ? ; ?a ? b ? 37 ? ?b ? c ? 36 4 个数分别为 36 ? b, 37 ? a ,则 方法 2:设前 2 个数分别为 a , b ,则第 3、 99 ? ? 2b ? (36 ? b) ? a ?a ? 12 ?a ? 4 ,解得 ? 或? ; ? 2 ?b ? 16 ? b ? 81 ?(36 ? b) ? b(37 ? a ) ? 4
3 个数分别为 b, c ,则第 1 个数为 2b ? c ,第 1 个数为 方法 3:设第 2、

c2 ,则 b

-2-

81 ? ? b ? c2 b ? 16 ? ? ? 2b ? c ? 4 ; ? b ? ?c ? 20 或 ? 63 ? ? ?c ? ?b ? c ? 36 ? 4
a ? c 2c 2 3 个数分别为 b, c ,设第 1,4 个数分别为 , 方法 4:设第 2、 ; 2 a?c
4 个数分别为 c , d ,则设第 1,2 个数分别为 37 ? d ,36 ? c ,则 方法 5:设第 3、

?2(36 ? c) ? (37 ? d ) ? c ?c ? 20 ? 16 63 49 ,d ? . 或c ? ?? ? 2 4 4 ?c ? d (36 ? c) ?d ? 25
题型 3:求等比数列前 n 项和 例 3.等比数列 1,2,4,8, ? 中从第 5 项到第 10 项的和. [解题思路]可以先求出 S10 ,再求出 S4 ,利用 S10 ? S4 求解;也可以先求出 a 5 及 a10 , 由 a5 , a6 , a7 , ?, a10 成等比数列求解. 解:由 a1 ? 1, a2 ? 2 ,得 q ? 2 ,

? S10 ?

1(1 ? 210 ) 1(1 ? 2 4 ) ? 1023, S 4 ? ? 15 ,? S10 ? S4 ? 1008 . 1? 2 1? 2

例 4.已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, an ? 1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?1 ,求 Sn [解题思路]可以先求出 an ,再根据 an 的形式特点求解. 解:? an ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
2 3 n ?1

?

1(1 ? 3n ) 3n 1 ? ? , 1? 3 2 2

? Sn ?

1 1 1 3(1 ? 3n ) 1 (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? n ? ? ? n 2 2 2 1? 3 2 3n 1 3 ? n? . 4 2 4

即 Sn ?

例 5.已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, an ? (2n ? 1) ? 3n ,求 Sn . [解题思路]分析数列通项形式特点,结合等比数列前 n 项和公式的推导,采用错位相减法求和. 解:? an ? (2n ? 1) ? 3n

? Sn ? 1 ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n ,----------------①

3Sn ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ? 3) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1 -------------②
①—②,得 ? 2Sn ? 3 ? 2(32 ? 33 ? 34 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n?1

? 3? 2?
? Sn ? (n ? 1) ? 3n?1 ? 3.

9(1 ? 3n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? (2 ? 2n ) ? 3n ?1 ? 6 1? 3

-3-

变式 1:已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,求 a11 ? a12 ? a13 的值. 解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,

? a1 ? a2 ? a3 ? 3, a6 ? a7 ? a8 ? 6 ,? q 5 ?
考点二 证明数列是等比数列

a 4 ? a5 ? a 6 ? 2 ,? a11 ? a12 ? a13 ; a1 ? a 2 ? a3
2 a n ? n ? 4 , bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) ,其中 ? 为实数, n ? N ? . 3

例 6.已知数列 ?an ? 和 ?bn ?满足: a1 ? ? , a n ?1 ?

⑴ 对任意实数 ? ,证明数列 ?an ? 不是等比数列;

⑵ 试判断数列 ?bn ?是否为等比数列,并证明你的结论. [解题思路]⑴证明数列 ?an ? 不是等比数列,只需举一个反例;⑵证明数列 ?bn ?是等比数列, 常用:①定义法;②中项法.
2 解:⑴ 证明:假设存在一个实数 ? ,使 ?an ? 是等比数列,则有 a2 ? a1 ? a3 ,
2 即 ( ? ? 3) ? ? ( ? ? 4) ?

所以 ?an ? 不是等比数列.

2 3

4 9

4 2 4 ? ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 9 9

⑵ 解:因为 bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) ? (?1) n?1 ?an?1 ? 3(n ? 1) ? 21?

2 2 2 ? ( ?1) n ?1 ?a n ?1 ? 3n ? 18? ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 2n ? 14 ) ? ( ?1) n ?1 ( a n ? 3n ? 21) ? ? bn 3 3 3 又 b1 ? ?1(? ? 18) ,所以 当 ? ? ?18, bn ? 0(n ? N ? ) ,此时 ?bn ?不是等比数列; b 2 当 ? ? ?18, b1 ? ?(? ? 8) 时,由上可知 bn ? 0,? n ?1 ? ? (n ? N ? ) ,此时 ?bn ?是等比数列【名师点拨】等比数列的判定 bn 3
方法: ⑴定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an

2 ⑵中项法: an an ? 是等比数列. ?1 ? an ? an ?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?

2an 2 1 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ….证明:数列 { ? 1} 是等比数列; 3 an an ? 1 2 1 1 1 1 1 C? ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 数列 { ? 1} 是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 an
变式 1:已知数列 {an } 的首项 a1 ? 考点三 等比数列的性质 . 例 7.已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S2 n ? 60 ,则 S 3n ? [解题思路]结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求解. 解:? ?an ? 是等比数列,? Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 为等比数列, ∴ 54 ( S 3n ? 60 ) ? 36 ? S 3n ?

182 . 3
.
-4-

【名师点拨】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法. 变式 1:已知等比数列 ?an ? 中, an ? 0, (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ,则 a3 ? a5 ?

解:? ?an ? 是等比数列, an ? 0 ∴ 考点四

(2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ? (a3 ? a5 )2 ? 36 ? a3 ? a5 ? 6 .
等比数列与其它知识的综合
n

例 8.设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 ban ? 2 ? ?b ?1? Sn
n ?1 ⑴证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

⑵求 ?an ? 的通项公式。 [解题思路]由递推公式 ?Sn , an , n? ? 0 求数列的通项公式 an ? f (n) ,主要利用:

?S (n ? 1) ,同时注意分类讨论思想. an ? ? 1 ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)
解:由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ?b ?1? Sn , ban?1 ? 2
n

n?1

? ?b ?1? Sn?1


两式相减,得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1 ,即 an?1 ? ban ? 2n
n

n n n n ?1 于是 an?1 ? ? n ?1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 an ? n ? 2

⑴当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n

又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2

?

n ?1

? 是首项为1 ,公比为 q ? 2 的等比数列。
n?1

?

?

⑵当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 当 b ? 2 时,由①得 an ?1 ?

1 1 b 1 ? ? ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? ? 2 n ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b 2?b 2?b ? ? 2 1 ? b ? ? ? bn 1 1 ? ? 因此 an ?1 ? ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? 2?b 2?b 2?b ? ?

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? b n ?1 ? n?2 ? ? ? ?2 ? b
【名师点拨】退一相减是解决含有 Sn 的递推公式的重要手段,使其转化为不含 Sn 的递推公式,从而针对性的解决;在由递 推公式求通项公式时,重视首项是否可以吸收是易错点,同时重视分类讨论,做到条理清晰是关键. 【基础巩固】 1.设 ?an ? 是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,则数列 ?an ? 前 7 项的和为( )

D. 128 a (1 ? q 7 ) a 解:由 a1 ? 1, a5 ? 16 ,得 q 4 ? 5 ? 16 , q ? 2 , S7 ? 1 ? 127. a1 1? q S 2.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和为 Sn ,则 4 ? ( C ) a2 15 17 A. 2 C. B. 4 D. 2 2 4 4 S 1 a1 (1 ? q ) 1? 2 15 解: 4 ? ? ? ? . a2 a1q 1? q 2 ? ( ?1) 2 3.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A ) A. 64 C. 128 B. 81 D. 243 a ? a3 解: q ? 2 ? 2 ,? a1 ? a1q ? 3 ? a1 ? 1, a7 ? 1 ? 27?1 ? 64. a1 ? a 2
-5-

A. 63

B. 64

C. 127

4.已知等比数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 , a ? 1 , a ? 4 ,则 an ? ( C )

?3? A. 4 ? ? ? ?2?

n

?2? B. 4 ? ? ? ?3?

n

?3? C. 4 ? ? ? ?2?

n ?1

?2? D. 4 ? ? ? ?3?

n ?1

解: (a ? 1) 2 ? (a ? 1)(a ? 4) ? a ? 5 , a1 ? 4, q ? 5.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ?

3 3 n ?1 ,? a n ? 4 ? ( ) 2 2

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =( C ) 4 32 32 A. 16(1 ? 4 ? n ) (1 ? 4 ?n ) (1 ? 2 ?n ) B. 16(1 ? 2 ? n ) C. D. 3 3 1 1 32 (1 ? 4 ?n ) 解:? a 2 ? 2,a 5 ? ,? a1 ? 4, q ? . a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ? 2 3 4 2a ? b 6.已知 a , b , c , d 是公比为 2 的等比数列,则 等于 ( ) 2c ? d
A. 1
4

B. 1

2

C. 1

D. 1
8

7.已知 {an } 是等比数列,且 an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值是( A.5 B.6
9



C.7

D.25 ( )

8.在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 , a4 ? 3 ,则该数列前 5 项的积为

A. ? 1 B.3 C.1 D. ? 3 9. ?ABC 的三边 a , b , c 既成等比数列又成等差数列,则三角形的形状是( ) A.Rt ? B.等腰 ? C.等腰 Rt ? D.等边 ? 10.三个数成等比数列,其积为 1728,其和为 38,则此三数为 ( ) A.3,12,48 B.4,16,27 C.8,12,18 D.4,12,36 11.若 6, x , y , z ,54 这五个数成等比数列,则实数 x 的值是 ( ) A. ? 6 3 B. 6 3 C. 3 6 D. ? 3 6

12.(2009 广雅中学)在等比数列中,已知 a9 ? a10 ? a(a ? 0) , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 ? 解:利用 a9 ? a10 , a19 ? a20 , ?, a99 ? a100 成等比数列,得 a99 ? a100 ?

b9 . 8 a

b9 a8

13. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 , {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn. bn

14. 已知等比数列 {an } 的各项都是正数, S n ? 80, S 2n ? 6560, 且在前 n 项中, 最大的项为 54, 求 n 的值. 15.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: S n ?1 ? (1)求 a 的值; (2)求 Sn . 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? a ? 2 n ? b ,且 a1 ? 3 . (1)求 a , b 的值及数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 S n ? a . 又 a1 ? 2, a2 ? 1. 2

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn an

-6-


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