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1[1].5


定积分的概念

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: ? a , x1 ? , ? x1 , x 2 ? , ? ? x i -1 , x i ? , ? , ? x n -1 , b ? , 每个小区间宽度⊿x
= b- a n

(2)近似代替:任取xi?[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用高 y 为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
i

f(xi)Dx近似之。 (3)求和 取n个小矩形面积的和作为曲边梯 n
S 形面积S的近似值: ?

y=f(x)

?
i =1

f (x i ) D x

(4)取极限:所求曲边梯形的面
n

积S为

S = lim

n? ?

?
i =1

f (x i ) D x

O

a

xi xi ? xi+1
D x

b

x

一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步 曲”:
n n 分割---近似代替----求和------取极限得到解决. b- a

S = ? f (x i ) D x =
i =1

?

f (x i ) ?

i =1

n

如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数,

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, n b b 记作 f (x )d x , 即 f ( x ) d x = lim ? f ( x i ) ?D x

?a
b a

?a

??0

i =1

n

即?

f ( x ) d x = lim

n? ?

?
i =1

b - a n

? f (x i )

即 定积分的定义: ? a

b

n

f ( x ) d x = lim

n? ?

?
i =1

b - a n

? f (x i )

f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限,O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y

y = f (x)

a

b

x

积分上限

?a
积分下限

b

n

f ( x ) dx = I = lim

? ??0
积 分 变 量

f (x i ) D x i

i=1

被 积 函 数

被 积 式

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即 定积分的定义: ? a

b

n

f ( x ) d x = lim

n? ?

?
i =1

b - a n

? f (x i )

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ,直线x=a、x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为
S =?
b

f (x )d x ;
a

(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间 v = v (t ) [a, b]内运动的距离s为 v
s=?
b

v ( t) d t。
t
O

a

a

b

说明:
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即

?a

b

f( x ) d x = ?

b

a

f ( t) d t =?

b

f( u ) d u 。

a

( 2) 定 义 中 区 间 的 分 法 和 xi 的 取 法 是 任 意 的 .

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根据定积分的定义右边图形的面积为 S =

y f(x)=x2
S = 1 3

?

1 0

f ( x )d x =
D S

?

1 0

x dx =
2

1 3

v
2

D S1
2
3

gg g

D S

g

D S

4

v (t ) = - t
D Sj

2

+ 2

O
n

1

x

gD S

g

根据定积分的定义左边图形的面积为 S =

?

1 0

v ( t )d t =

?

1 0

(-t ? 2)dt =
2

5 3

O
1 2 3

1
j n

t
1

n n

n n n

(2)定积分的几何意义:
当 f( x ) ? 0 时 , 积 分

?a

b

f ( x ) dx 在 几 何 上 表 示 由 y = f ( x ) 、

x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)

?a
O a

b

f (x )d x =?

c

a

f (x )d x ? ?

b

f (x )d x 。

c

b x

定积分的几何意义:
当f(x)?0时,由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲 边梯形位于 x 轴的下方,
积分

?a

b

f (x )d x 在 几 何 上 表 示

y y=-f (x)

上述曲边梯形面积的相反数
S =

?a

b

[ - f ( x )] dx

S =

?a [ -

b

f ( x )] dx

=-

?a

b

f ( x ) dx . ,
c b

O a

b x

?a
f (x )d x 。
c

b

f ( x ) d x =-S f ( x ) d x ? ? =?
a

c

b

f (x

c

?a

b

f ( x ) d x =-S f ( x ) d x ? ? =?
a

y=f (x)

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 y=f (x) 的面积? y
S = S1 - S 2 =

?

b a

f ( x )d x -

?

b

g ( x )d x
a

( S 1 = y = fg ( x ) d x ?
a

b

S2 =

?

b

g ( x)dx
a

O

a a

b x

三:

定积分的基本性质

性质1.

?

b a

kf ( x ) dx = k

?

b

f ( x ) dx
a

性质2.

?

b a

[ f ( x ) ? g ( x )] dx =

?

b a

f ( x ) dx ?

?

b

g ( x ) dx
a

三:

定积分的基本性质

性质3.

定积分关于积分区间具有可加性
b

?

a

f ( x ) dx = ?

c a

f ( x ) dx ?

?

b

f ( x ) dx
c

y y=f (x)

O

a
c1 a



b x

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?

b a

f ( x ) dx = ?

f ( x ) dx ?

?

c2 c1

f ( x ) dx ?

?

b

f ( x ) dx
c2

例1:利用定积分的定义,计算 ? 的值.

1 0

x dx

3

例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1 f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0


a

x

-1 0


2

x

a

0


b x

-1 0

2

2 x

( 解: 1)在图①中,被积函数 上连续,且

f ( x ) = x 在 [ 0, a ]

f ( x ) ? 0 , 根据定积分的几何意 积为

义,可得阴影部分的面

A =

?

a 0

x dx

2

y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0


a

x

-1 0


2

x

a

0


b x

-1 0


2 x

( 解: 2 )在图②中,被积函数 上连续,且

f ( x ) = x 在 [ - 1, ] 2
2

f ( x ) ? 0 , 根据定积分的几何意 积为

义,可得阴影部分的面

A =

?

2 -1

x dx

2

y

f(x)=x2

y

f(x)=x2

y
f(x)=1

y

f(x)=(x-1)2-1

0


a

x

-1 0


2

x

a

0


b x

-1 0


2 x

( 解: 3)在图③中,被积函数 上连续,且

f ( x ) = 1在 [ a , b ]

f ( x ) ? 0 , 根据定积分的几何意 积为

义,可得阴影部分的面

A =

?

b a

dx

y

f(x)=x2

y

f(x)=(x-1)2-1
f(x)=x2

y
f(x)=1

y

0


a

x

-1 0


2

x

a

0


b x

-1 0

2

2 x

解:4 )在图④中,被积函数 (
上连续,且在 根据定积分的几何意义

f ( x ) = ( x - 1 ) - 1在 [ - 1, ] 2

[ - 1, ]上 f ( x ) ? 0 , 在 [ 0, ]上 f ( x ) ? 0, 0 2 可得阴影部分的面积为

A =

?

0 -1

[( x - 1 ) - 1 ]dx 2

?

2 0

[( x - 1 ) - 1 ]dx
2

例3:
利用定积分的几何意义 成立。 说明等式

?

?

2 -

?
2

sin xdx = 0

y
f ( x ) = sin x [-

解: 在右图中,被积函数
在[-

f(x)=sinx
-

?

, ]上连续,且在 2 2

?

?
2

?
2

1
A2 A1
?
2

, ]上 0

x

sin x ? 0 , 在 [ 0, ]上 sin x ? 0 , 并有 2 A1 = A 2 , 所以
?

?

-1

?

2 -

?
2

f ( x ) dx = A 2 - A1 = 0

练习:

利用定积分的几何意义,判断下列定积分 值的正、负号。
?

1).?

2

sin xdx

0

2). ?- 1

2

x dx

2

利用定积分的几何意义,说明下列各式。 成立: 1). sin xdx = 0 2). ? sin xdx = 2 ? sin xdx ?
2?

?

?

2

0

0

0

试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y y=x2 y y=f(x)

0 1 2

x

0 a

y=g(x) b x

例4 计算积分

?

1 0

1 - x dx
2

解:由定积分的几何意
曲线 y = 1- x
2

义知,该积分值等于

, x 轴, x = 0 及 x = 1 所围

的面积(见下图)

y
1 4

面积值为圆的面积的
所以

?

1 0

1 - x dx =
2

?
4

1

x


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