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高中数学竞赛讲义-数列


§11 数列
一、数列的基础知识 1.数列{an}的通项 an 与前 n 项的和 Sn 的关系 它包括两个方面的问题:一是已知 Sn 求 an,二是已知 an 求 Sn; 2.递推数列,解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系,设法转化为等差数列与 等比数列的有关问题,然后解决。 常见类型: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) (

p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

其特例为: (1) a n ?1 ? pan ? q ( p ? 0) (2) a n ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 0) (3) a n ?1 ? p(n)a n ? q ( p ? 0) 解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ: ?
?a n ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p ? 0 , q ? 0) (二阶递归) ?a1 ? a , a 2 ? b(a , b为常数)

解题方法:利用特征方程 x2=px+q,求其根 α、β,构造 an=Aαn+Bβn,代入初始值求得 A , B 。 类型Ⅲ:an+1=f(an)其中函数 f(x)为基本初等函数复合而成。 解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型。 二、等差数列与等比数列 1.定义: 2.通项公式与前 n 项和公式: 函数的思想:等差数列可以看作是一个一次函数型的函数;等比数列可以看作是一个指 数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。 三.等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现? 数列问题的综合性主要表现在 1.数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽. 2.同一问题中出现有若干个相关数列,既有等差或等比数列,也有非等差,非等比的数 列,需相互联系,相互转换. 数列问题的灵活性表现在: 1.需灵活应用递推公式,通项公式,求和公式,寻求已知与所求的关系,减少中间量 计算. 2.需灵活选用辅助数列,处理相关数列的关系.

例题讲解
1.已知(b-c)logm x+(c-a)logm y+(a-b)logm z=0 ① (1) 若 a、b、c 依次成等差数列,且公差不为 0,求证 x、y、z 成等比数列; (2) 若 x、y、z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证 a、b、c 成等差数列.

2. 数列 n} 前 n 项 和 Sn=a ·2n + b {a 的 (n?N) 则 n} , {a 为等比数列的充要条件是________.

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3. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S7=56,Sn=420,an-3=34,则 n=________.

4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 S13

5. 各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项之和为 Sn,若 S10=10,S30=70,求 S40。

6. 设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,(n=1,2,3,…),则它的通项公式是 an= .

7. 已知 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn, a1,a2,a3,…,an 组成等差数列 为正偶数)又 f(1)=n2,f(-1)=n; 且 (n , (1)求数列{an}的通项 an; (2)试比较 f(0.5)与 3 的大小,并说明理由。

8.在 1 与 2 之间插入个正数 a1,a2,a3,…,an,使这 n+2 个正数成等比数列;又在 1 与 2 之间插入 个正数 b1,b2,b3,…,bn,使这 n+2 个正数成等差数列。记 An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn. (1)求数列{An}和{Bn}的通项; (2)当 n≥7 时,比较 An 与 Bn 的大小,并证明你的结论。

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9. 设任意实数 x,y 满足|x|<1,|y|<1,求证: 题)

(第 19 届莫斯科数学竞赛试

10. 从 n 个数 1,a, a2,…, an (a>2)中拿走若干个数,然后将剩下的数任意分成两个部分,证明: 这两部分之和不可能相等

11.已知 a1= 2 ,an= 2 ? 2an?1 ,求数列{an}的通项公式。

12.正整数 k,g(k)表示 k 的最大奇因子(例如 g(3)=3,g(20)=5) ,求 g(1)+ g(2) n + g(3)+……..+ g(2 )(其中 n∈N*)

13.将数字 1,2,3,……..,n 填入标号为 1,2,3,……,n 的 n 个方格内,每格一个数字, 则标号与数字均不相同的填法有多少种?

14.用 1,2,3 三个数字写 n 位数, 要求数中不出现紧挨着的两个 1,问能构成多少个 n 位数?

-3-

15.设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0,且 ?

?an ?1 ? 7a n ? 6bn - 3 ?b n ?1 ? 8a n -1 ? 7bn - 4

(n=0,1,2,……….)

证明:an(n=0,1,2,…..)是完全平方数

16.已知 a,b 均为正整数,且 a>b,sinθ = 求证: 对一切正整数 n,

2ab ? 2 2 n (其中 0< ? ? ),An=(a +b ) sinnθ 2 2 a ?b
2

An 均为整数 2ab

17.(1)证明: 3 ?

2 2 7 n2 ? 2 ? ? ? .......... ? . ?3 ; (n ? 1)! 2! 3! n!

(2) 求正整数 a, b,c,使得对任意 n ? N * (n>2) ,有

b?

c 2 3 ? a 33 ? a n3 ? a ? ? ? ......? ?b (n ? 2)! 2! 3! n!

18. 设 A,E 为正八边形的相对顶点,顶点 A 处有一只青蛙,除顶点 E 外青蛙可以从八边形的 任一顶点跳到两相邻顶点中任一个,落到顶点 E 时青蛙就停止跳动,设青蛙从顶点 A 恰好跳 n 次后到 E 的方法数为 an,求 an

19. a1 , a2 ,....... n 表示整数 ,..... n的任意一排列,设 (n)为这些排列的数目, a 1 2, , f 使得: (1)a1=1(2)|ai-ai+1|≤2(i=1,2,……,n-1).确定 f (1996)是否能被 3 整除

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