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yx江苏省扬州市邗江区2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题


江苏省扬州市邗江区 2011-2012 学年高一下学期期中考试数学试题
注意事项: 1、答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卡规定的地方. 2、试题答案均写在答题卡相应位置,答在其它地方无效. 一.填空(本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置上) 1.求值 cos 42 cos 18
0 0<

br />
? cos 48
0

0

cos 72
0

0

=



. ▲ ▲ ▲ ▲ . . 象限 .

2.在 ? ABC 中,已知 A ? 75 , B ? 45 , c ? 3 2 ,则 b ? 3.在等差数列 ?a n ? 中,已知 a 3 ? 4 , a 5 ? ? 4 ,则 a 7 ? 4.已知 s in
?
2 ? ? 3 5 , cos

?
2

? ?

4 5

,则角 ? 所在的象限是第
1 2 ,S5 ? ? 31 8 , 则a3 ?

5.在等比数列 ?a n ? 中,已知 q ?
2 c o s 1 0 ? s in 2 0
0 0

6.计算

cos 20

0

?



?x ? y ? 6 ? 0 ? , 表示的平面区域的面积为 7.不等式组 ? x ? y ? 0 ?x ? 3 ?





8.已知函数 f ( x ) ? s in (

?
4

? x ) s in (
2

?
4

? x) ?

3 s in x c o s x ( x ? R ) ,则 f ( x ) 的最小值是
1 3 ) ,则 a ? b ?
a 2011 a 2012

▲ .

9.设关于的一元二次不等式 ax

? bx ? 1 ? 0 的解集为 ( ? 1 ,



10.已知首项为正数的等差数列 ? a n ? 满足: a 2011 ? a 2012 ? 0 , 立的最大自然数 n 是 ▲

? 0 ,则使前 n 项和 S n ? 0 成

11.在三角形 A B C 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.且 2 sin 12.已知 sin(
?
6 ??) ? 1 3 , 则 cos( 2? 3
*

A co s C ? sin B

,则 a ?
c





? 2 ? ) 的值是





13.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足:对于任意 m , n ? N ,都有 S n ? S m ? S n ? m ? 2 n ;若 a 1 ? 1 , 则 a 10 = ▲ .
? x
2

14. 已知二次函数 f ( x ) ?

若对于任意 x ? A , 不等式 x ? 2 x ? k ? 0 ? x ? 2 的定义域为 A ,
2

恒成立,则实数 k 的取值范围是



. (用区间表示)

二、解答题: (本大题共 6 道题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明、说明过程或演算步骤) 16. (本题 14 分)已知函数 f ( x ) ? sin( x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (2)已知 cos( ? ? ? ) ?
3 5 , cos( ? ? ? ) ? ? 3 5 , (0 ? ? ? ? ?

?
4

) ? cos( x ?

3 4

? ), x ? R .

?
2

) ,求 ? f ( ? ) ? ? 2 的值.
2

17. (本题 15 分)已知 ?a n ? 是公差不为零的等差数列, a1 ? ?10 ,且 a 2 , a 4 , a5 成等比数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式;
a (2)若 a ? 0 ,求数列 ?
a n ?12

?的前 n 项和 S

n

.

18. (本题 15 分)已知 f ( x ) ? a x ? x ? a , a ? R 。
2

(1)若函数 f ( x ) 有最大值
2

17 8

,求实数 a 的值;

(2)若不等式 f ( x ) ? ? 2 x ? 3 x ? 1 ? 2 a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 0 ,解不等式 f ( x ) ? 1 。

19 . 本 题 16 分 ) 在 锐 角 三 角 形 ? ABC 中 , a , b , c 分 别 是 角 A , B , C 的 对 边 , 且 (
( a ? b ? c )( a ? c ? b ) ? ( 2 ? 3 )ac

(1)求角 B ; (2)若 c o s A ? s in C ?
6 2

,b ?

6 ?

2 ,求 ? A B C 的面积。

(3)求 cos A ? sin C 的取值范围。 ,

2 20. (本题 16 分)已知 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和,且 S n ? n ? 4 n ? 4

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设各项均不为零的数列 ?c n ? 中,所有满足 c k ? c k ?1 ? 0 的正整数 k 的个数称为这个数列 ?c n ? 的 变号数,令 c n ? 1 ?
4 an

(n 为正整数) ,求数列 ?c n ? 的变号数;

(3)记数列 {

1 an

} 的前 n 的和为 Tn ,若 T2n+1 ? Tn ?

m 15

对 n ? N ? 恒成立,求正整数 m 的最小值。

2011——2012 学年度第二学期期中检测试题 高一数学参考答案
2012.04 全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟 一.填空(本大题共 14 小题,每题 5 分,共计 70 分)

二、解答题: (本大题共 6 道题,共计 90 分.解答应写出必要的文字说明、说明过程或演算步骤)

化简得: ?

? y ? 25 ?2 x ? y ? 50

设成本为 z ,则目标函数为 z ? 5 x ? 4 y ? 2 (1 0 0 ? x ? y ) ? 3 x ? 2 y ? 2 0 0 …………………8 分
? y ? 25 ?2 x ? y ? 50 ? x ? 3 7 .5 ? y ? 25

作出可行域图(略) ,由 ?

解得 ?

…………………………11 分

16、 (满分 14 分) (1) f ( x ) ? sin x cos
?
4 ? cos x sin

?
4

? cos x cos

3 4

? ? sin x sin

3 4

? …………2 分

= 2 sin x ?

2 cos x ? 2 sin( x ?

?
4

) …………………………………5 分

故 T ? 2 ? , f ( x ) m ax ? 2 ………………………………………………………7 分

(2)解法一: cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 5

………………………8 分
3 5

cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

……………………9 分

故 cos ? cos ? ? 0

又0 ? ? ? ? ?
?
2

?
2



从而 cos ? ? 0 ,故 ? ? 故 f (? ) ?
2

………………………………………………12 分

2 , ? f ( ? ) ? ? 2 ? 0 …………………………………………14 分

解法二: f ( ? ) ? 2 sin( ? ?
? 0 ? ? ? ? ? ? s in( ? ? ) ? ?

?
4

) , [ f ( ? )]

2

? 2 ? [ 2 sin( ? ? ,0 ? ? ? ? ? ?

?
4

)]

2

? 2 ? ? 2 sin 2 ? …9 分

?
2

,? 0 ? ? ? ? ?
2

?
2

1 ? c o s (? ? ? ) ?

4 5

, sin( ? ? ? ) ?

1 ? cos

2

(? ? ? ) ?

4 5

……11 分

sin 2 ? ? sin ?( ? ? ? ) ? ( ? ? ?
2

??

sin( ? ? ? ) cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) sin( ? ? ? ) ? 0 …13 分

故 ? f ( ? ) ? ? 2 ? 0 ………………………………………………………………………14 分

(2)由(1)知, a n ? 2n ? 12 所以 a
a n ?12

?a

2n

( a ? 0)
a n ?12

当 a =1 时,数列 ?a

?的前 n 项和 S
?a
2n

n

?n

………………………9 分
2n?2

当 a ? 1 时,令 bn ? a

a n ?12

( a ? 0) ,则 bn ?1 ? a

. …………………10 分

所以

bn ?1 bn

?

a

2n?2 2n

? a ( n ? N ) …………………………13 分
2 *

a

故 ?bn ? 为等比数列,所以 ?bn ? 的前 n 项和 S n ?

a (1 ? a
2

2n

)

1? a

2

.

综上, S n

?n, a ? 1, ? ? ? a 2 (1 ? a 2 n ) , a ? 0且a ? 1. ? 2 ? 1? a

……………………………15 分

(3) a x ? x ? a ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)( a x ? a ? 1) ? 0
2

因为 a ? 0 ,所以 ( x ? 1)( x ? 所以当 ? 当a ? ? 当a ? ?
1 2 1 2 1 2
2

a ?1 a

) ? 0 ,因为 1 ? ( ?

a ?1 a

) ?

2a ? 1 a

? a ? 0 时, 1 ? ?

a ?1 a

, 解集为{x|1 ? x ? ?

a ?1 a

} ;

时, ( x ? 1) ? 0 ,解集为 ? ; 时, 1 ? ?
a ?1 a

, 解集为{x| ?

a ?1 a

? x ? 1}

……………………………15 分 19. (满分 16 分)
2 2 解: (1)由条件可得, ( a ? c ) ? b ? ( 2 ?

3 ) a c ,即 a ? c ? b
2 2

2

?

3ac

根据余弦定理得: c o s B ?

a ? c ?b
2 2

2

?

3 2

2ac
? B

是锐角,? B ?
?
6

?
6 5? 6 5? 6 5? 6 ? A)

……………………………5 分 即C ?
? A

(2)? B ?

? A ? C ?

? cos A ? sin C

= cos A ? sin(
5? 6

? c o sA ? s i n

c o sA ? c o s

5? 6

s i nA ?

3 2

s i nA ?

3 2

c o sA

?

3 s in( ? A

?
3

)

……………………………7 分
6 2 2

所以

3 s in ( A ?

?
3

)=

即 s in ( A ?
5? 12

?
3

) ?

, 因为 0 ? A ?
5? 12 5? 12

?
2

, 所以 A ?

?
3

?

3? 4

2

即A ?


a s in A

所以 C ?
? b s in B

5? 6

?

?

……………………………9 分 =2, 所以 c ? a ? 2

因为

, 得: a ?
1 2 ?2?2?

b s in A s in B

所以 S ? A B C ? (3)

1 2

a c s in B ?

1 2

? 1 ……………………………11 分

由(2)得, cos A ? sin C ?

3 sin( A ?

?
3

)

? ? 0 ? A ? ? ? 2 ? ? A B C 是锐角三角形,? ? , ? ?0 ? C ? ? ? 2
?

? ? 0 ? A ? ? ? 2 即? ? 0 ? 5? ? A ? ? ? 6 2 ?

?
3

? A ? 2? 3

?
2

---------14 分
?
3 5? 6
? 3 3? ? cos A ? sin C ? ? , ? ? 2 2? ? ?

?

? A ?

?

---------16 分

(2)解法一:由题设 c n

? ?3, n ? 1 n ?1 ?? 3, ? ? ?? ? ? 2n ? 9 4 , n?2 , n?2 ?1 ? ? 2n ? 5 ? ? 2n ? 5
5 2

…………7 分

当 n ? 2 时,若 c n ? 0 ,则 2 ? n ?

或n ?

9 2

; 若 c n ? 0 ,则

5 2

? n ?

9 2

即: c 1 ? 0 , c 2 ? 0 , c 3 ? 0 , c 4 ? 0 , 当 n ? 5 时, c n ? 0 ………………9 分 所以, c1 ? c 2
? 0, c 2 ? c 3 ? 0 , c 4 ?c 5 ? 0

故数列 ?c n ? 共有 3 个变号数,即变号数为 3

………………11 分

解法二:由题设 c n

?? 3 ? ?? 4 ?1 ? 2n ? 5 ?

n ?1 n?2

? ?3, n ? 1 ? ? ? 2n ? 9 , n?2 ? ? 2n ? 5

…………7 分

当 n ? 2 时,令 c n ? c n ?1 ? 0得
3 2 ?n? 5 2 7 2 ?n? 9

2n ? 9 2n ? 7 ? ?0 2n ? 5 2n ? 3





2 …………………………9 分

解得n ? 2或n ? 4

又? c1

? ?3, c 2 ? 5 ? n ? 1 时也有 c1 ? c 2 ? 0

综上得数列 ?c n ? 共有 3 个变号数,即变号数为 3 (3)令 g ( n ) ? S 2 n ? 1 ? S n ,

…………11 分

g ( n ? 1) ? g ( n ) ? S 2 n ? 3 ? S n ? 1 ? ( S 2 n ? 1 ? S n ) ? ( S 2 n ? 3 ? S 2 n ? 1 ) ? ( S n ? 1 ? S n )

?

1 a2n?3

?

1 a2n?2

?

1 a n ?1

=

1 4n ? 1

?

1 4n ? 1

?

1 2n ? 3

?

?24n ? 1 ( 4 n ? 1)( 4 n ? 1)( 2 n ? 3 )

…………13 分

当 n ? 2 时, g ( n ? 1) ? g ( n ) 所以 g ( n ) 单调递减;因而 g ( n ) 的最大值为 g ( 2 ) ? S 5 ? S 2 ?
1 5 ? 1 3 ?1? 23 15

当 n ? 1 时, g ( 2 ) ? g (1) ? 0 ,所以 g ( 2 ) ? g (1) …………15 分 所以:
m 15 ? 23 15

,即 m ? 2 3 ,又 m 为正整数;

所以正整数 m 的最小值为 23.……………………………16 分


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