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新课标高中一轮总复习理数


新课标高中一轮总复习

理数

第十一单元

直线与圆、圆锥曲线 与方程

第78讲
轨迹问题

了解曲线与方程的关系,掌握求动 点轨迹的基本思路和常用方法,并能 灵活应用.培养用坐标法解题思想.

1.方程|x|-1=
A.一个圆<

br />
1 ? ( y ? 1) 2 表示的曲线是(

D )

B.两个圆

C.半个圆

D.两个半圆

由于|x|-1= 1 ? ( y ? 1)2 ?(|x|-1)2+(y-1)2=1 ? |x|-1≥0 ?x≥1 x≤-1 或 ? 2+(y-1)2=1 (x-1) (x+1)2+(y-1)2=1

?曲线是两个半圆,故选D.

2.设P为双曲线

原点,M为线段OP的中点,则点M的轨 x2-4y2=1 . 迹方程为 (代入法)设M(x,y),P(x1,y1),

x2 4

-y2=1上一动点,O为坐标

则 又

x12 4

-y12=1. ①
x1 2 y1 2

x= y=

,即

x1=2x y1=2y

,代入①得x2-4y2=1.

3.已知椭圆

x2 y 2 ? 25 9

=1的左、右焦点分别

为F1、F2,P为椭圆上一动点,延长F1P到 Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程 (x+4)2+y2=100 . 是 (直推法)依题设, |PF1|+|PF2|=2×5=10 |PQ|=|PF2|, 则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10, 则动点Q的轨迹是以F1为圆心,10为半径的圆, 其方程为(x+4)2+y2=100.

4.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点 ???? ??? ? ??? ? A(3,1),B(-1,3),若点C满足 OC=α OA OB +β ,其中 α 、 β∈R, 且 α+β=1, 则 点 C 的 轨 迹 方 程 是 x+2y-5=0 .

(参数法)设C(x,y).
???? ??? ? ??? ? 由OC =α OA +β OB ,得(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),



x=3α-β y=α+3β.

① ② ③ ,消去α得x+2y-5=0.

而α+β=1,



x=4α-1
y=3-2α

x2 y2 5.设A1、A2是椭圆 ? =1长轴的两个 9 4

端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端
x2 y 2 ? ?1 . 方程是 9 4

点,则直线A1P1 与A2P2 交点M的轨迹

(交轨法)由已知,A1(-3,0),A2(3,0).
设P1(x1,y1),则P2(x1,-y1),交点M(x,y),
y1 则由A1、P1、M三点共线,得 x ? 3 1 ? y1 又A2、P2、M三点共线,得 x1 ? 3 2 2 ? y1 y ①×②得 x 2 ? 9 = x 2 ? 9 . 1 2 2 ? y12 4 x1 y1 =1,即 又 = , ? 2 x1 ? 9 9 9 4 y2 4 x2 y 2 从而 2 = ,即 ? ? 1 . x ?9 9 9 4

=
=

y x?3 y x?3

.①
.②

1.曲线与方程的关系 一般的,在平面直角坐标系中,如果某 曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的 轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数 解建立了如下关系: (1) 曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 ① 方程的解 ; (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 均 是 ② 曲线上的点 .那么,这个方程叫做曲线的 方程,这条曲线叫做方程的曲线.

2.求轨迹方程的基本思路
(1)建立适当的直角坐标系,设曲线上的任 意一点(动点)坐标为M(x,y). (2)写出动点M所满足的③ 几何条件的集合. (3)将动点M的坐标④ 代入几何条件 ,列出 关于动点坐标的方程f(x,y)=0. (4)化简方程f(x,y)=0为最简形式.

(5)证明(或检验)所求方程表示的曲线上 的所有点是否都满足已知条件.

注意:第(2)步可以省略,如果化 简过程都是等价交换,则第(5)可以省 略;否则方程变形时,可能扩大(或缩 小)x、y的取值范围,必须检查是否纯粹 或完备(即去伪与补漏). 3.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:如果动点满足的几何条件 本身就是一些几何量(如距离与角)的等量 关系,或这些几何条件简单明了且易于 表达,我们只需把这种关系转化为x,y的 等式就得到曲线的轨迹方程;

(2)定义法:某动点的轨迹符合某一基 本轨迹(如直线、圆锥曲线)的⑤ 定义 ,则可 根据定义采用设方程求方程系数得到动点 的轨迹方程; (3)代入法(相关点法):当所求动点M 是随着另一动点P(称之为相关点)而运动, 如果相关点P满足某一曲线方程,这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标,再把 相关点代入曲线方程,就把相关点所满足 的方程转化为动点的轨迹方程;

(4)参数法:有时求动点应满足的几何 条件不易得出,也无明显的相关点,但却 较易发现这个动点的运动常常受到另一个 变量(角度、斜率、比值、截距或时间等) 的制约,即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另 一变量的变化而变化,我们可称这个变量 为参数,建立轨迹的参数方程; (5)交轨法:在求两动曲线交点的轨迹 问题时,通过引入参变量求出两曲线的轨 迹方程,再联立方程,通过解方程组消去 参变量,直接得到x,y的关系式.

典例精讲
题型一 用直接法求轨迹方程 例1 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线
l1、l2,l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求 线段AB中点M的轨迹方程.

(方法一)设M(x,y),由M是AB中点有 A(2x,0),B(0,2y). 当l1,l2与坐标轴不平 行时有kPB·PA=-1, k
4?0 4 ? 2y 而kPA= ,kPB= (x≠1), 2 ? 2x 2?0 所以 2 ? 2 ? y =-1,即x+2y-5=0(x≠1). 1? x 1

当l1 垂直于x轴时,A(2,0),B(0,4),线段AB中 点为(1,2)也满足方程x+2y-5=0. 故动点M的轨迹方程为:x+2y-5=0.

(方法二)设M(x,y),则A(2x,0),B(0,2y). 在Rt△ABP中,2|PM|=|AB|, 而|PM|= |AB|= 所以2
( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2

,

(2 x) 2 ? (2 y ) 2 , ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 = 4x2 ? 4 y2

,

即x+2y-5=0为所求轨迹方程.

法一是利用了动点满足的明确的等量关系 获得动点轨迹方程.方法二是利用了几何 图形的性质、挖掘出动点满足的几何等式, 从而求得轨迹方程,应认识到利用图形的 平面几何方面的特征解题,可以化繁为简, 因此应注意挖掘图形中的平面几何方面特 征,注意平面几何知识的应用.

点评本题解法为直接法求轨迹方程,方

题型二 用定义法求轨迹方程

例2 如图,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点
A(-2,0),B(2,0),分别求出满足下列 条件的动点P的轨迹方程. (1)△PAB的周长为10; (2)圆P与圆A外切(P为动 圆圆心); (3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为 动圆的圆心).

分析 根据题意,先找出等价条件,
再根据条件判定曲线类型,最后写出 曲线的方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6.

(2)|PA|-|PB|=1.
(3)P点到A点的距离比P点到直线x=1 的距离长1,即P点到A点的距离等于 P点到直线x=2的距离.

(1)根据题意,知|PA|+|PB|+|AB|=10, 即|PA|+|PB|=6>4=|AB|, 故P点的轨迹是椭圆,且2a=6,2c=4, 即a=3,c=2,则b= 5 ,
x2 y2 因此其方程为 ? =1(y≠0). 9 5

(2)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r, 因此|PA|-|PB|=1.

由双曲线的定义知,P点的轨迹为双曲线的
1 15 右支,且2a=1,2c=4,即a= ,c=2,则b= 2 2 4 2 1 2因此其方程为4x y =1(x≥ ). 15 2

,

(3)依题意知,动点P到定点A的距离等于到 定直线x=2的距离,故其轨迹为抛物线, 且开口向左,p=4.
因此其方程为y2=-8x.

点评解题时应注意动点的几何特征,
若盲目进行代数运算则可能较繁琐,因 此获得动点所满足的几何条件后,应分 析是否可以利用圆锥曲线的定义求动 点的轨迹方程问题.

题型三 用交轨法求轨迹方程
x2 y2 例3 已知双曲线 2 ? 2 =1(m>0,n>0)的 m n

顶点为A1、A2,与y轴平行的直线l交双曲 线于点P、Q, 求直线A1P与A2Q的交 点M的轨迹方程.

设P点的坐标为(x1,y1),则Q点的坐标 为(x1,-y1).又有A1(-m,0),A2(m,0),
y1 则直线A1P的方程为y= x ? m (x+m), ① 1 y1 直线A2Q的方程为y=(x-m). ② x1 ? m 2 y1 2=2 2 ①×②得y ③ 2 2 (x -m ). x1 ? m x12 y12 又因点P在双曲线上,故 2 ? 2 =1, m n n2 即y12= 2 (x12-m2). m x2 y 2 代入③并整理得 m 2 ? n 2 =1,此即为点M的轨

迹方程.

点评 本题用交轨法求轨迹的方程,其
解题步骤是写出动点所满足的两个轨迹 方程后,组成方程组消参即可解得,此 法适用于求两动直(曲)线交点的轨迹 方程,此法常与参数法并用.

题型四 用代入法求轨迹方程
例4自抛物线y2=2x上任意一点P向其
准线l引垂线,垂足为Q,连接顶点O与 P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R 点,求R点的轨迹方程.

设P(x1,y1),R(x,y),则Q(- ,y1),F( 所以OP的方程为y=
2x 1? 2x

y1 x1
2

1 2

1 2

,0),

x,

① ② ,

FQ的方程为y=-y1(x- 1 ), 由①②得x1=
2y ,y1= 1? 2x

代入y2=2x,可得y2=-2x2+x.

出,但动点R是随着另一动点P(称之为相 关点)而运动的,而P点在抛物线y2=2x上, 所以我们可以利用动点R的坐标表示P点 的坐标,然后将其代入到抛物线y2=2x中 即得所求轨迹方程.

点评本题动点满足的条件不便用等式列

备选题
在平面直角坐标系xOy中,有一个以 F1(0,- 3 )和F2(0, 3 )为焦点、离心率为 3 的 2 椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动 点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交
???? ??? ??? ? ? ? 点分别为A、B,且向量 OM = OA + OB .求:

(1)点M的轨迹方程;
???? ? (2)| OM |的最小值.

(1)椭圆方程可写为 其中a>b>0,且

y 2 x2 ? 2 2 a b

=1,

a2-b2=3
3 a

a2=4
,得
y2 4

=

所以曲线C的方程为x2+
2

3 2

b2=1,
2x 1? x

=1(x>0,y>0),
2

则y=2 1 ? x (0<x<1),故y′=y0=2 1 ? x ,则y′|x=x0 =2 0

.

设P(x0,y0),因为点P在曲线C上,有0<x0<1, 得切线AB的方程为y=4x0 . y0 4x0 (x-x0)+y0. y0

设A(x,0)和B(0,y).

由切线的方程得x=

???? ??? ??? ? ? ? 由 OM = OA + OB 得M的坐标为(x,y),由x0,y0满

1 x0

,y=

4 y0

.

足C的方程,得点M的轨迹方程为
4 4 ???? 2 2 2 ? 2= (2)因为| OM | =x +y ,y 1 =4+ x 2 ? 1 , 1? 2 x 4 ???? 2 2 ? 所以| OM | =x -1+ x 2 ? 1 +5≥4+5=9,
1 4 ? 2 2 x y

=1(x>1,y>2).

且当x2-1=

???? ? 故| OM |的最小值为3.

4 x2 ?1

,即x=

3

>1时,上式取等号.

方法提炼
1.曲线与方程关系的理解. (1)曲线方程的实质就是曲线上任意 一点的横、纵坐标之间的关系,这种关 系同时满足两个条件:①曲线上所有点 的坐标均满足方程;②适合方程的所有 点均在曲线上. (2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么 点 P0(x0,y0) 在 曲 线 C 上 的 充 要 条 件 是 f(x0,y0)=0.

(3)视曲线为点集,曲线上的点应满足 的条件转化为动点坐标所满足的方程,则 曲线上的点集(x,y)与方程的解集之间建立 了一一对应关系. 2.求轨迹方程方法实质剖析. (1)轨迹问题的实质就是用动点的两坐 标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系.在 实际计算时,我们可以简单地认为,求曲 线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关 系.当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0, 就是曲线方程的普通形式;

当x,y的关系用一个变量(如t变量)表示时, 坐标之间的关系就是间接关系,这时的表示 式就是曲线的参数方程.所以解决问题时, 应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展 开探究. (2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹 的思维方法,它从动点运动的规律出发,整 体把握点在运动中不动的、不变的因素,从 而得到了动点运动规律满足某一关系,简单 地说,就是在思维的初期,先不用设点的坐 标,而直接找动点所满足的几何性质(往往 是距离的等量关系).

由于解析几何研究的几何对象的局限性, 直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距 离的关系来定义曲线的,所以利用定义法 求轨迹问题时,往往应该先考虑动点满足 的距离关系,判断它是否满足五种曲线的 定义,从而使问题快速解答.

走进高考
(2009· 广东卷)已知曲线C:y=x2 与直线 学例1 l:x-y+2=0 交 于 两 点 A(xA,yA) 和 B(xB,yB) , 且 xA<xB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与 线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设 点P(s,t)是L上的任一点,且点P与点A和点B 均不重合. (1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的 中点M的轨迹方程; 51 2-2ax+y2-4y+a2+ (2)若曲线G:x =0与D有公 25 共点,试求a的最小值.

x-y+2=0 (1)联立 y=x2

,可得A(-1,1),B(2,4),
1 2 5 2

故线段AB的中点Q( , ). 设线段PQ的中点M(x,y), 从而有2x=
2 1 2

+s,2y= 5 +t,
2 2 5 2 1 2

解得s=2x- 1 ,t=2y- 5 , 因点P(s,t)在曲线C上,所以2y- =(2x- )2,

2-x+ 11 整理得y=2x 8

.
1 1 <2,即- 4 2

又-1<s<2,所以-1<2x2-x+ 11 y=2x 8

<x<

5 4

.

所以线段PQ的中点M的轨迹方程为

(-

5 1 <x< 4 4

).

2+(y-2)2= 49 (2)曲线(圆)G:(x-a)

y=2上.

25

,圆心在直线

要使a最小,只需圆G位于直线l的上方,且与 直线l相切.
7 |a?2? 2| 由点到直线的距离公式有 = 5 2 7 2 解得a=(其中a= 7 2 舍去). 5 5 51
7 2 有公共点,则a的最小值为. 5

,

所以要使曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+ 25 =0与D

本节完,谢谢聆听
立足教育,开创未来


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