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2005-2013年全国高中数学联赛江苏省初赛试题(学生版)


2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? ? 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4 ? y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为 4 A. y ? sin x B. y ? cos x C. y ? sin

x ? 2 D. y ? cos x ? 4 2 2. 如果二次方程 x ? px ? q ? 0 ( p, q ? N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
P

1 的最小值是 b( a ? b ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此四棱锥,

3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ?

A1 D A

D1

B1

C1

使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ? A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个 5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n? N*, 则 a2005 被 64 除的余数为 A. 0

C B

B. 2

C. 16
2

D. 48

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有

A. 308 个 B. 30 ? 257 个 C. 30 ? 207 个 D. 30 ? 217 个 二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ? 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则向量 OB ? 2 8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n , an 与 2 的等
差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为

9. 函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是 . 10. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、F 、G 分别是棱 AA1 、C1D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 2 3 2 3 11. 由三个数字 1 、 、 组成的 5 位数中, 1 、 、 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 . 12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R}, N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ?1| ? 1, x, y ?R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是 三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设 ? ? , 试求 (用 ? 表示). BN MN
A

N M B D
-1-

C

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn ,


? xi ? 0 时, 总有
i ?1

n

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn?1 ? x1 ).

15. 设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2 x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e y 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.

R

Q

M‘ P’ F P

M O

x

16. (1) 若 n (n? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的最小值, 并说明理
由; (2) 若 n (n? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 由.
2005

, 求 n 的最小值, 并说明理

-2-

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、 选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分。 2 1. 已知数列﹛an﹜的通项公式 an ? 2 ,则﹛an﹜的最大项是( ) n ? 4n ? 5
(A) a1 (B) 2. 函数 y ? 3
log3 x

a2 (C ) a3 (D) a4 的图像大致是( )

y

y

y

y

1
1

1 x o
1

1 x o
(C ) 1

1 x o
1

x

(A )

(B )

(D)

3. 已知抛物线 y2=2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样 的点 P 共有( ) (A)0 个 (B)2 个 (C)4 个 (D)6 个 4.设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>O,x2+x3>O,x3 十 x1>O,则 ( ) (A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)<O (C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D)f(x1)+f(x2)>f(x3) o 5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有( ) (A)0 条 (B)1 条 (C)4 条 (D)无数多条 6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, tan A ? 则最短边的长为( A. )

1 3 10 , cos B ? . 若△ABC 最长的边为 1, 2 10

2 5 3 5 4 5 5 B. C. D. 5 5 5 5 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分. 7.集合 A={x∣x=3n,n∈N,0<n<10},B={y∣y=5m,m∈N,O≤m≤6},则集合 AUB 的所有元素之 和为 2 4 4 8.设 COS2θ= ,则 COS θ+sin θ 的值是 3 2 3 5 9.(x-3x ) 的展开式中,x 的系数为 y ? ≥0 10.已知 ? 3 x ? y ? ≥0 2 2 ,则 x +y 的最大值是 ?x ? 3y ? 3 ? ≥0
1 11.等比数列 { an } 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? .设 f (n) 表示该数列的前 n 项的积, 2
则当 n= 时, f (n) 有最大值. 12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB1=4,AD1=3,则对角线 AC1 的取值范围为 三、解答题(第 13 题、14 题各 12 分,15 题 16 分,16 题 20 分)
-3-

? ? ? 2a ? 13.设集合 A= ? x log 1 (3 ? x) ? ?2 ? ,B= ? x ? 1? ,若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的取值范围。 ? ? x?a ? ? ? ? 2 ? ?

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F,P1,P2,?,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 是椭 9 4 2 圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=?=∠P24FP1.若这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S,求 S 的值.
14.椭圆

15. △ABC 中,AB<AC,AD,AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC,证明∠BAC 是直角.

16. 设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p

-4-

2007 年江苏省高中数学联赛初赛
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知函数 y=sin2x,则( ). (A) 有最小正周期为 2π (B) 有最小正周期为 π π (C) 有最小正周期为2 (D) 无最小正周期 2 2 2.关于 x 的不等式 x -ax-20a <0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值的和是( ) . (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) -1 → → → 3. 已知向量 a、b,设 AB =a+2b, BC =-5a+6b, CD =7a-2b,则一定共线的三点是( ). (A)A、B、D (B)A、B、C (C)B、C、D (D)A、C、D 4.设 α、β、γ 为平面,m、n 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是( ) . (A)α⊥β,α∩β=n,m⊥n (B)α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ (C)α⊥β,β⊥γ,m⊥α (D)n⊥α,n⊥β,m⊥α 2 5. 若 m、n∈{x|x=a2×10 +a1×10+a0},其中 ai∈{1,2,3,4,5,6,7},i=0,1,2,并且 m+n= 636,则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为( ) . (A)60 个 (B)70 个 (C)90 个 (D)120 个 6.已知 f(x)=|x+1|+|x+2|+?+|x+2007|+|x-1|+|x-2|+?+|x-2007|(x∈R) 且 f(a2-3a+ , 2)=f(a-1).则 a 的值有( ). (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)无数个 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S5=10,S10=-5,则公差为 d= . 8. 设 f(x)=loga(x+b)(a>0 且 a≠1)的图象经过点(2,1),它的反函数的图象经过点(2,8),则 a+b 等 于 . y 2x2-x-1 2 9.已知函数 y=f(x)的图象如图,则满足 f( 2 )f(lg(x -6x+20))≤0 的 x 的取值范围为 x -2x+1 10.圆锥曲线 x2+y2+6x-2y+10-|x-y+3|=0 的离心率是 . 1 O 2 2 11.在?ABC 中,已知 tanB= 3,sinC= 3 ,AC=3 6,则?ABC 的面积为 . 2 2 (第 9 题) 12. 设命题 P:a <a,命题 Q: 对任何 x∈R,都有 x +4ax+1>0. 命题 P 与 Q 中有且仅有一个成立,则 实数 a 的取值范围是 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分) ?x+y>0, 13. 设不等式组? 表示的平面区域为 D. 区域 D 内的动点 P 到直线 x+y=0 和直线 x-y=0 ?x-y<0. 的距离之积为 2. 记点 P 的轨迹为曲线 C.过点 F(2 2,0)的直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率. y x

O

x

-5-

14. 如图,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形,∠ACC1=60°,侧面 ABB1A1⊥AA1C1C,A1B =AB=AC=1. 求证: (1)AA1⊥BC1; B1 B (2)求点 A1 到平面 ABC 的距离. A A1

C

C1 (第 14 题)

15.已知数列{an}中,a1=1,an+3≤an+3,an+2≥an+2. 求 a2007.

16.已知平面上 10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l,与每个圆都有公共点?证明你的结论. 解:存在直线 l,与每个圆都有公共点.证明如下: 引理:(海莱定理的一维情形)数轴上的若干条线段,每两条都有公共 点,则存在一点被所有线段覆盖. 证明:设这些线段是 n 个区间:[ai,bi];(i=1,2,?,n,ai<bi) 记 A=max{ai};B=min{bi}. 则必有 A≤B. 否则若 A>B, A=ak, 设 B=bh. 于是 ak>bh, h, h]∩[ak, k]=?. [a b b 与 已知矛盾.于是[B,A]内的点,为所有直线的公共点. 再证原命题:任取一条直线 l0,把这 10 个圆向 l0 投影,设第 i 个圆在 A1 A2 Ak B m Bk B2 直线 l0 上的正投影是线段 AiBi(i=1,2,?,10),由于任意两个圆都相交, 10 所以任意两条投影线段都有公共点.由引理,则存在一点是这 10 条线段的公共点,设为 P,过 P 作 l0 的 垂线 l,即为所求与 10 个圆都相交的直线. 原解:如图,先任作一条直线 l0,把这 10 个圆向 l0 投影,设第 i 个圆在直线 l0 上的正投影是线段 AiBi, 其中 Ai、Bi 分别是线段的左、右端点.
-6-

因共有 10 个圆,故得到 10 条投影线段,有 10 个左端点,有 10 个右端点. ???5 分 因为任意两个圆都相交,所以任意两条投影线段都有重叠的部分. 取 10 个左端点中在最右边的一个,设为 Ak.则所有右端点都在 Ak 的右边,否则必有两条投影线段无 重叠部分,与对应的两个圆相交矛盾.??????10 分 再取右端点中最左边的一个,设为 Bm,同理所有左端点都必须在 Bm 的左边.Ak 与 Bm 不重合,(否则 相应的两个圆相切).线段 AkBm 是任意一条投影线段的一部分,在线段 AkAm 上任取一点,过这点作直线 l0 的垂线 l,则 l 与 10 个圆都相交. ??????15 分

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 2 2 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
的最大值为 A. 答:[ B. ]

a ?b 2 ?1 1? 2. 设 y ? f (x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数 ?2 4? ?1 y ? f (x) 与其反函数 y ? f ( x) 的图像的公共点只可能是点 答:[ ]
a?b 2

ab

C.

a ?b 2
2

2

2

2

D.

A. P B. Q C. M D. N 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成 等差数列,每一纵列成等比数列,那么 x ? y ? z 的值为答:[ ] A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

1 0.5

2 1

x
y

z
4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[ A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 5. 设 a,b 是夹角为 30°的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? , 且 ? ? ? ”的平面 ? , ? 答: [ A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) ] D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 ]

A O B C

6. 设集合 A ? x x ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 , 其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数, A ? B ? ______ . 则
2

?

?

?

?

7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? ____ (结果要求写成既约分数). 8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 9. 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 = c2

.

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分)

2 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1, 0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n? 时, f (x) 的取值

范围为 ? ,

?1 1 ? . 试求 m,n 的值. ?n m? ?

-7-

12.

A、B 为双曲线

x2 y2 1 1 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA?OB ? 0 。 (Ⅰ)求证: 为定值; ? 2 2 4 9 OA OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示).
N C A D

B M

14. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线上 的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

-8-

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1.已知 sinαcosβ=1,则 cos(α+β)= . 2. 已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55, 去掉一项 ak 后, 余下 10 项的算术平均值为 4. a1=-5, 若 则 k= . 3.设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列,则此椭圆的离心率 e= . 3x+1 1 A 4.已知 x = . - ,则实数 x= 9 -1 3-31 x 5.如图,在四面体 ABCD 中,P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点,且 BP=2PC, CQ=2QD. 为棱 AD 的中点, R 则点 A、 到平面 PQR 的距离的比值为 B . R 6.设 f(x)=log3x- 4-x,则满足 f(x)≥0 的 x 的取值范围是 . D 7.右图是某种净水水箱结构的设计草图,其中净水器是一个宽 10cm、体积为 Q 3 3000cm 的长方体,长和高未定.净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分 B C P 别长 20cm、20cm、60cm.若不计净水器中的存水,则净水水箱中最少可以存水 cm3. → → 8.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC · AO= . 9.设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2,则此数列 的前 2009 项的和为 . 10.设 a 是整数,0≤b<1.若 a2=2b(a+b),则 b= . 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) x2 y2 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 x-2y+4=0 与椭圆 9 + 4 =1 交于 A,B 两 点,F 是椭圆的左焦点.求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积.

12.如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知∠ACD=∠BCE,AC=14,AD=7, AB=28,CE=12.求 BC. C

A

D

E

B

-9-

13.若不等式 x+ y≤k 2x+y对于任意正实数 x,y 成立,求 k 的取值范围.

14. 写出三个不同的自然数, ⑴ 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数, 请予以验证; ⑵ 是否存在四个不同的自然数, 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数?请证明你的 结论.
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

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2010 年全国高中数学联赛江苏赛区
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分)
x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为

. . . ,最小值是 . .

2.函数 y ? sin x ? cos x (x ? R ) 的单调减区间是

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? 3.在△ ABC 中,已知 AB ? AC ? 4 , AB ? BC ? ?12 ,则 AB =
4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是
2

5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? ,则 R 的取值范围为 6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数

y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

个零点.

(第 7 题) 7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 . 8. 圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠, 每颗珍珠镀金、 银两色中的一种. 其中镀 2 金 2 银的概率是 9.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC



10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 . 10 a xn 10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ?1 , 0 ,且 xn ?1 ? .若对任意 n?N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1 则 a 的值是 .
? ? ,且 cos ? ?
二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11.直角坐标系 xOy 中,设 A 、 B 、 M 是椭圆 C : 证明:线段 AB 的中点在椭圆

???? 3 ??? 4 ??? ? ? ? x2 ? y 2 ? 1 上的三点.若 OM ? OA ? OB , 5 5 4

x2 ? 2 y 2 ? 1 上. 2

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12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 .

13.如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形. E

A

H F B G C

D

14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3x 都是完全平方数.
2 2

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2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? . 2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数 m ? . 3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的概率是 1 4. 已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? . 5 π 5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3 为邻边的平行四边形的面积为 . 6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列, 则数列{an3}的前 n 项和等于 7. 设函数 f ( x) ? x ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是
2
2



. .

8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n , n ?N * ,则 f [ f (2011)] ? 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角 形的斜边长是 . 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值是 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.



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12. f (x) ?x 2 ?x ? b( , ? ) . x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 , f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1, b2 ? c 2 设 且 求 b c c R 若 的最大值和最小值.

13.如图,P 是 ? ABC 内一点.

1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2

A

P

B

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数.

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2012 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

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2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题 1. 设方程 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4,则实数 m 的范围是
2 2

.

2. 从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为

. . .

3. 设实数 x, y 满足 x2 ? 4 x ? y 2 ? 3 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是
n n

? 4. 若存在正实数 a , b 满足 ? a ? bi ? ? ? a ? bi ? ( i 是虚数单位, n ? N ) ,则 n 的最小值是

5. 若三角形 ABC 的三边 AB,BC,AC 成等差数列,则 ? A 的取值范围是

.

? 6. 若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9, ? an ?1 ? an ? 1?? an?1 ? 3an ? ? 0 n ? N ,则满足条件的 a1 的所有可能值之积

?

?



.
n ?30

7. 已知 f ? x ? ? x2 ? 94x ? 2013 ,则

? ? f ? n? ? f ?n? ? =
60

. .

8. 设 x, y ??0,2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ? 1 ,则 x ? y 的最大值为

2

9. 已知正四体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB,DBC,DCA 的距离成等 差数列,则 P 到面 DCA 距离的最大值是 . 10. 将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数,这个数为完全平方数. 再过 31 年, 将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数 . 小王现在的年龄 是 . 二、解答题 11. 设 k 为实数, 0 ? k ? 6 . 椭圆 E1

? y 2 ? 1 与椭圆 E2 : x ? y 2 ? 1 交于点 A 和 C, E1 的左顶 9 9 点为 B, E2 的右顶点为 D(如图). 若四边形 ABCD 是正方形,求实数 k .

?x ?k? :

2

2

12. 如图,梯形 ABCD 中,B、D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B?、D?,A、C 关于对角线 BD 对称的点 分别是 A?、 C ? . 证明:四边形 A?B?C ?D? 是梯形.

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13. 设实数 a , b 满足 0 ≤a ≤ 1 ≤b ≤1 ,证明: 2 ? b ? a ? ≤cos ? a ? cos ? b .

2

14. 正 100 边形 A A2 A3 ? A 的每个顶点染红、黄、蓝三色之一. 证明:必存在四个同色点,恰为某等腰 1 100 梯形的顶点.

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