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2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)14:推理与证明


2012 高考真题分类汇编:推理与证明
1. 【 2012 高 考 真 题 江 西 理 6 】 观 察
10


10









a ? b ? 1, a2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a4 ?

b4 ? 7, a5 ? b5 ? 11,

则a ?b ?

A.28 B.76 C.123 D.199 【答案】C 【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。 【 解 析 】 等 式 右 面 的 数 构 成 一 个 数 列 1,3,4,7,11 , 数 列 的 前 两 项 相 加 后 面 的 项 , 即

an ? an?1 ? an?2 ,所以可推出 a10 ? 123,选 C.
2.【2012 高考真题全国卷理 12】正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, AE=BF=

7 .动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反 3

弹时反射等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A)16(B)14(C)12(D)10 【答案】B 【解析】结合已知中的点 E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是 平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到 EA 点时,需要碰撞 14 次即可. 3.【2012 高考真题湖北理 10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的 体积 V ,求其直径 d 的一个近似公式 d ?
π =3.14159
3

16 V . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 9
3

判断,下列近似公式中最精确的一个是 B. d ? 3 2V C. d ?
300 V 157

11. d ? 【答案】D 【解析】

3

16 V 9

D. d ?

3

21 V 11

3 4 d 3 6V a 6b 6?9 由V ? ? ( ) ,得d ? , 设选项中常数为 , 则? = ;A中代入得? = =3.375, 3 2 ? b a 16 6 ?1 6 ?157 6 ?11 B中代入得? = =3,C中代入得? = =3.14, D中代入得? = =3.142857, 2 300 21 由于D中值最接近?的真实值,故选择D。
4.【2012 高考真题陕西理 11】 观察下列不等式

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1?
??

照此规律,第五个 不等式为 ...

.

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? . 2 2 32 4 2 5 2 6 2 6 1 1 1 1 1 11 【解析】通过观察易知第五个不等式为 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? . 2 3 4 5 6 6
【答案】 1 ? 5.【2012 高考真题湖南理 16】设 N=2 (n∈N ,n≥2) ,将 N 个数 x1,x2,?,xN 依次放入编号为 1,2,?,N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,
n
*

N N 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3?xN-1x2x4?xN,将此操作称 2 2 N 为 C 变换,将 P1 分成两段,每段 个数,并对每段作 C 变换,得到 p2 ;当 2≤i≤n-2 时, 2 N i 将 Pi 分成 2 段, 每段 i 个数, 并对每段 C 变换, 得到 Pi+1, 例如, 当 N=8 时, P2=x1x5x3x7x2x6x4x8, 2
并按原顺序依次放入对应的前 此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; n (2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置. 【答案】 (1)6; (2) 3 ? 2 【解析】 (1)当 N=16 时,
n?4

? 11

P 0 ? x1 x2 x3 x4 x5 x6
P 1 ? x1 x3 x5 x7

x16 ,可设为 (1, 2,3, 4,5,6,
x16 ,即为 (1,3,5,7,9,

,16) , 2, 4,6,8, ,16) , ,16) , x7 位于 P2 中的第 6 个

x15 x2 x4 x6

P2 ? x1 x5 x9 x13 x3 x7 x11x15 x2 x6
位置,;

x16 ,即 (1,5,9,13,3,7,11,15, 2,6,

(2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3 ? 2

n?4

? 11 个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 6. 【2012 高考真题湖北理 13】 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如 22, 121, 3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个:101,111, 121,?,191,202,?,999.则 (Ⅰ )4 位回文数有 【答案】90, 9 ? 10
n

个; 个.

(Ⅱ ) 2n ? 1 (n ? N? ) 位回文数有

【解析】 (Ⅰ )4 位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为 0, 有 9(1~9)种情况,第二位有 10(0~9)种情况,所以 4 位回文数有 9 ? 10 ? 90 种。 答案:90 (Ⅱ )法一、由上面多组数据研究发现,2n+1 位回文数和 2n+2 位回文数的个数相同,所 以可以算出 2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前 n+1 位的排列情况,第一位不能为

0 有 9 种情况,后面 n 项每项有 10 种情况,所以个数为 9 ? 10 .
n

法二、可以看出 2 位数有 9 个回文数,3 位数 90 个回文数。计算四位数的回文数 是可以看出在 2 位数的中间添加成对的“00,11,22,??99” ,因此四位数的回文数有 90 个 按此规律推导 个数,因此 ,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加 0~9 这十 ,则答案为 9 ? 10 .
n

7.【2012 高考真题北京理 20】 (本小题共 13 分)

【答案】 解: (1) 由题意可知 r1 ? A? ? 1.2 ,r2 ? A? ? ?1.2 ,c1 ? A? ? 1.1 ,c2 ? A? ? 0.7 ,c3 ? A? ? ?1.8 ∴ k ? A? ? 0.7 (2)先用反证法证明 k ? A?≤ 1: 若 k ? A? ? 1 则 | c1 ? A? |?| a ? 1|? a ? 1 ? 1 ,∴ a ? 0 同理可知 b ? 0 ,∴ a ? b ? 0 由题目所有数和为 0 即 a ? b ? c ? ?1 ∴ c ? ?1 ? a ? b ? ? 1 与题目条件矛盾 ∴ k ? A?≤ 1. 易知当 a ? b ? 0 时, k ? A? ? 1 存在 ∴ k ? A? 的最大值为 1 (3) k ? A? 的最大值为

2t ? 1 . t?2 2t ? 1 首先构造满足 k ( A) ? 的 A ? {ai , j }(i ? 1, 2, j ? 1, 2,..., 2t ? 1) : t?2 t ?1 a1,1 ? a1,2 ? ... ? a1,t ? 1, a1,t ?1 ? a1,t ? 2 ? ... ? a1,2 t ?1 ? ? , t?2

a2,1 ? a2,2 ? ... ? a2,t ?

t 2 ? t ?1 , a2,t ?1 ? a2,t ?2 ? ... ? a2,2t ?1 ? ?1 . t (t ? 2)

经计算知, A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且

| r1 ( A) |?| r2 ( A) |?

2t ? 1 , t?2

t 2 ? t ?1 t ? 1 2t ? 1 , | c1 ( A) |?| c2 ( A) |? ... ?| ct ( A) |? 1 ? ?1? ? t (t ? 2) t ?2 t ?2
| ct ?1 ( A) |?| ct ? 2 ( A) |? ... ?| c2t ?1 ( A) |? 1 ?
下面证明

t ? 1 2t ? 1 ? . t?2 t?2

2t ? 1 是 最 大 值 . 若 不 然 , 则 存 在 一 个 数 表 A ? S (2, 2t ? 1) , 使 得 t?2 2t ? 1 k ( A) ? x ? . t?2
由 k ( A) 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x ,而两个绝对值不超过 1 的 数的和, 其绝对值不超过 2, 故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 [ x, 2] 中. 由于 x ? 1 , 故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 x ? 1 . 设 A 中有 g 列的列和为正, 有 h 列的列和为负, 由对称性不妨设 g ? h , 则 g ? t, h ? t ? 1. 另外,由对称性不妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负. 考虑 A 的第一行,由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t ? 1 个负数,每 个正数的绝对值不超过 1(即每个正数均不超过 1) ,每个负数的绝对值不小于 x ? 1 (即每个 负数均不超过 1 ? x ). 因此

| r1 ( A) |? r1 ( A) ? t ?1 ? (t ?1)(1 ? x) ? 2t ?1 ? (t ?1) x ? x ? ? 2t ?1 ? (t ? 2) x ? ? x ,
故 A 的第一行行和的绝对值小于 x ,与假设矛盾. 因此 k ? A? 的最大值为 8.【2012 高考真题湖北理】 (本小题满分 14 分) (Ⅰ )已知函数 f ( x) ? rx ? xr ? (1 ? r ) ( x ? 0) ,其中 r 为有理数,且 0 ? r ? 1 . 求 f ( x) 的 最小值; (Ⅱ )试用(Ⅰ )的结果证明如下命题: 设 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数. 若 b1 ? b2 ? 1 ,则 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 ; (Ⅲ )请将(Ⅱ )中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法 证明你所推广的命题. ..... 注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x? )? ? ? x? ?1 . 【答案】 (Ⅰ ) f ?( x) ? r ? rxr ?1 ? r (1 ? xr ?1 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

2t ? 1 。 t?2

当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, 1) 内是减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ? ?) 内是增函数. 故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? 0 . (Ⅱ )由(Ⅰ )知,当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 xr ? rx ? (1 ? r ) 若 a1 , a 2 中有一个为 0,则 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 成立; 若 a1 , a 2 均不为 0,又 b1 ? b2 ? 1 ,可得 b2 ? 1 ? b1 ,于是 在①中令 x ? ①

a1 a a , r ? b1 ,可得 ( 1 )b1 ? b1 ? 1 ? (1 ? b1 ) , a2 a2 a2

即 a1b1 a21?b1 ? a1b1 ? a2 (1 ? b1 ) ,亦即 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . 综上,对 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数且 b1 ? b2 ? 1 ,总有 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . ②

(Ⅲ ) (Ⅱ )中命题的推广形式为: 设 a1 , a2 , 若 b1 ? b2 ?
, an 为非负实数, b1 , b2 ,
b1 b2 ? bn ? 1 ,则 a1 a2

, bn 为正有理数.

bn an ? a1b1 ? a2b2 ?

? anbn .



用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,有 a1 ? a1 ,③成立. (2)假设当 n ? k 时,③成立,即若 a1 , a2 , 且 b1 ? b2 ?
b1 b2 ? bk ? 1 ,则 a1 a2

, ak 为非负实数, b1 , b2 ,

, bk 为正有理数,

bk ak ? a1b1 ? a2b2 ?

? ak bk .
, bk , bk ?1 为正有理数,

当 n ? k ? 1 时,已知 a1 , a2 , 且 b1 ? b2 ?
b1 b2 a1 a2

, ak , ak ?1 为非负实数, b1 , b2 ,

? bk ? bk ?1 ? 1 ,此时 0 ? bk ?1 ? 1 ,即 1 ? bk ?1 ? 0 ,于是
b1 b2 bk 1?bk ?1 1?bk ?1 bk ?1 ak ) ak ?1 .

bk bk ?1 b1 b2 ak ak ?1 ? (a1 a2

bk bk ?1 1?bk ?1 1?bk ?1 ak )ak a2 ?1 = (a1



b1 b2 ? ? 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1
b1 b2 bk

?

bk ? 1 ,由归纳假设可得 1 ? bk ?1 b1 b2 ? a2 ? ? 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 ? ak ?
a b ? a2 b2 ? ? ak bk bk ? 11 , 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1

1?bk ?1 a11?bk ?1 a2

1?bk ?1 ak ? a1 ?

从而 a a

b1 1

b2 2

a a

bk k

bk ?1 k ?1

? a b ? a2b2 ? ? ak bk ? ?? 11 ? 1 ? bk ?1 ? ?

1?bk ?1 bk ?1 ak ?1 .

又因 (1 ? bk ?1 ) ? bk ?1 ? 1 ,由②得

? a1b1 ? a2b2 ? ? ak bk ? ? ? 1 ? bk ?1 ? ?

1?bk ?1 bk ?1 ? ak ?1

a1b1 ? a2 b2 ? ? ak bk ? (1 ? bk ?1 ) ? ak ?1bk ?1 1 ? bk ?1

? a1b1 ? a2b2 ?
b2 从而 a1b1 a2 bk bk ?1 ak ak ?1 ? a1b1 ? a2b2 ?

? ak bk ? ak ?1bk ?1 ,

? ak bk ? ak ?1bk ?1 .

故当 n ? k ? 1 时,③成立. 由(1) (2)可知,对一切正整数 n ,所推广的命题成立. 说明: (Ⅲ )中如果推广形式中指出③ 式对 n ? 2 成立,则后续证明中不需讨论 n ? 1 的情况. 9.【2012 高考真题福建理 17】 (本小题满分 13 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1)sin 13°+cos 17°-sin13°cos17° (2)sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° (3)sin 18°+cos 12°-sin18°cos12° (4)sin (-18°)+cos 48°- sin (-18°)cos 48° (5)sin (-25°)+cos 55°- sin (-25°)cos 55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论. 【答案】
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


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