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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义四.4.6


数学

北(理)

§4.6 正弦定理和余弦定理
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
c a b 1. 正弦定理: sin A = sin B = sin C =2R,1.在三角形中,大角对大边,
难点正本 疑点清源

其中 R 是三角

形外接圆的半径.由正 弦定理可以变形:(1)a∶b∶c=

大边对大角;大角的正弦 值也较大,正弦值较大的 角也较大, 即在△ABC 中, A>B?a>b?sin A>sin B. 的形状, 主要有两种途径: (1) 化 边 为 角 ; (2) 化 角 为 边, 并常用正弦(余弦)定理 实施边、角转换. 2.根据所给条件确定三角形

sin A∶sin B∶sin C

; ( 2 ) a =

2Rsin A , b= 2Rsin B , c= 2Rsin C ;
b a (3)sin A= 2R ,sin B= 2R ,sin C= c 2R

等形式,以解决不同的三角形

问题.
基础知识

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题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A , b2 1.在三角形中,大角对大边, =

a2+c2-2accos

B ,c =

2

a2+b2-

大边对大角;大角的正弦 值也较大,正弦值较大的 角也较大, 即在△ABC 中, A>B?a>b?sin A>sin B.

2abcos C .余弦定理可以变形:
2 2 2

a +c -b b +c -a 2.根据所给条件确定三角形 cos A= , cos B = , 2 ac 2bc a2+b2-c2 2ab cos C= .

2

2

2

的形状, 主要有两种途径: (1) 化 边 为 角 ; (2) 化 角 为 边, 并常用正弦(余弦)定理 实施边、角转换.

基础知识

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要点梳理
难点正本 疑点清源

1 1 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B 1.在三角形中,大角对大边, 2 2 2 大边对大角;大角的正弦 abc 1 值也较大,正弦值较大的 = = (a+ b+ c)· r(r 是三角形内切 4R 2
角也较大, 即在△ABC 中, A>B?a>b?sin A>sin B. 2.根据所给条件确定三角形 的形状, 主要有两种途径: (1) 化 边 为 角 ; (2) 化 角 为 边, 并常用正弦(余弦)定理 实施边、角转换.

圆的半径),并可由此计算 R、r.

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基础知识·自主学习
要点梳理 4.在△ABC中,已知a、b和A时,解 的情况如下:
A 为锐角 A 为钝角 或直角

难点正本 疑点清源
1.在三角形中,大角对大边, 大边对大角;大角的正弦 值也较大,正弦值较大的 角也较大, 即在△ABC 中, A>B?a>b?sin A>sin B. 2.根据所给条件确定三角形 的形状, 主要有两种途径:
a≥ b a>b

图形 关系 式 解的 个数 一解 两解 一解 一解 a= bsin A bsin A< a< b

(1) 化 边 为 角 ; (2) 化 角 为 边, 并常用正弦(余弦)定理 实施边、角转换.

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基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
2
2 -4 14 5
2 7

解析

C

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题型分类·深度剖析
题型一 利用正弦定理解三角形
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 在△ABC 中, a= 3, b= 2, B=45° .求角 A、C 和边 c.

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练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用正弦定理解三角形
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 在△ABC 中, a= 3, b= 2, B=45° .求角 A、C 和边 c.

已知两边及一边对角或已知两 角及一边,可利用正弦定理解 这个三角形,但要注意解的个 数的判断.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一 利用正弦定理解三角形
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 在△ABC 中, a= 3, b= 2,

B=45° .求角 A、C 和边 c. a b 3 2 解 由正弦定理得 = , = , sin A sin B sin A sin 45° 3 ∴sin A= . 2

∵a>b,∴A=60° 或 A=120° .
6+ 2 bsin C 当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c= = ; sin B 2

当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,
6- 2 bsin C c= = . sin B 2
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题型分类·深度剖析
题型一 利用正弦定理解三角形
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 在△ABC 中, a= 3, b= 2, B=45° .求角 A、C 和边 c.

(1)已知两角及一边可求第三角, 解这样的三角形只需直接用正弦 定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角 形时,利用正弦定理求另一边的 对角时要注意讨论该角,这是解 题的难点,应引起注意.

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题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C π 6 所对的边, 若 a=1, b= 3, A+C=2B, 则角 A 的大小为_______ .
π 解析 ∵A+C=2B 且 A+B+C=π,∴B= . 3 asin B 1 由正弦定理知:sin A= = , b 2

π 又 a<b,∴A<B,∴A= . 6

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
思维启迪 解析 探究提高

在△ABC 中,a、b、c 分别 cos B 是角 A、B、C 的对边,且 = cos C b - . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

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题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
思维启迪 解析 探究提高

在△ABC 中,a、b、c 分别 cos B 是角 A、B、C 的对边,且 = cos C b - . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

cos B b 由 =- , 利用余弦定 cos C 2a+c 理转化为边的关系求解.

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题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
思维启迪 解析 探究提高

在△ABC 中,a、b、c 分别 cos B2 2 2 2 2 2 是角 A、B、C 的对边,且 a +c = - b a + b - c cos C 解 (1)由余弦定理知:cos B= ,cos C= . 2 ac 2 ab b - . B cos b 2 a + c 将上式代入 =- 得: cos C 2a+c (1)求角 B 的大小; 2 2 a2+ c - b ab b (2)若 b· = 2 13 ,a+ c = 4 ,求△ ,ABC 2 2 2=- 2ac a +b -c 2a+c 的面积. 整理得:a2+c2-b2=-ac.
a2+c2-b2 -ac 1 ∴cos B= = =- . 2ac 2ac 2 2 ∵0<B<π,∴B= π. 3
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题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
思维启迪 解析 探究提高

在△ABC 中,a、b、c 分别 cos B 是角 A、B、C 的对边,且 = cos C 2 2 2 2 (2)将 b= 13 , a + c = 4 , B = π 代入 b = a + c -2accos B, b 3 - . 2a+c
2 求角 B 得 b(1) = (a+c )2的大小; -2ac-2accos B,

(2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC ? 1? ? ∴13 =16-2ac?1-2? 的面积. ?,∴ac=3. ? ?
1 3 3 ∴S△ABC= acsin B= . 2 4

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题型二
【例 2】

利用余弦定理求解三角形
思维启迪 解析 探究提高

在△ABC 中,a、b、c 分别 cos B 是角 A、B、C 的对边,且 = cos C b - . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积.

(1)根据所给等式的结构特点利 用余弦定理将角化边进行变形 是迅速解答本题的关键. (2) 熟 练 运 用 余 弦 定 理 及 其 推 论, 同时还要注意整体思想、 方 程思想在解题过程中的运用.

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 2A a,b,c,且 2cos +cos A=0. 2 (1)求角 A 的值;(2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. 2A 解 (1)由 2cos +cos A=0, 2 1 得 1+cos A+cos A=0,即 cos A=- , 2 2π ∵0<A<π,∴A= . 3 (2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A, 2π A= ,则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 3

有 12=42-bc,则 bc=4, 1 故 S△ABC= bcsin A= 3. 2
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题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析

【例 3】 (2012· 课标全国)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A,B, C 的对边,acos C+ 3asin C-b -c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3, 求 b,c.

探究提高

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题型分类·深度剖析
题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析

【例 3】 (2012· 课标全国)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A,B, C 的对边,acos C+ 3asin C-b -c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3, 求 b,c.

探究提高

利用正弦定理将边转化为角, 再利用 和差公式可求出 A; 面积公式和余弦 定理相结合,可求出 b,c.

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题型分类·深度剖析
题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析

【例 3】 (2012· 课标全国)已知 a, b,


探究提高

c 分别为△ABC 三个内角 A,B, C 的对边,acos C+ 3asin C-b

(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+

-c=0. 因为 B=π-A-C, (1)求 A; 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3, ? ? 1 π ? A - 由于 sin C≠0,所以 sin? ? ?=2. 6 ? ? 求 b,c. π 又 0<A<π,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8.
解得 b=c=2.
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3sin Asin C-sin B-sin C=0.

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题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用
思维启迪 解析

【例 3】 (2012· 课标全国)已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A,B, C 的对边,acos C+ 3asin C-b -c=0. (1)求 A;

探究提高

在已知关系式中,若既含有边又含 有角.通常的思路是将角都化成边 或将边都化成角,再结合正、余弦

(2)若 a=2,△ABC 的面积为 3, 定理即可求角. 求 b,c.

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变式训练 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状. π 解 (1)∵c=2,C= , 3 ∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4. 1 又∵△ABC 的面积为 3,∴ absin C= 3,ab=4. 2 2 2 ? ?a +b -ab=4, 联立方程组? 解得 a=2,b=2. ? ab = 4 , ? (2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A,

得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,
即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A· (sin A-sin B)=0, ∴cos A=0 或 sin A-sin B=0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状. 当 cos A=0 时,∵0<A<π,
π ∴A= ,△ABC 为直角三角形; 2

当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,

由正弦定理得 a=b,
即△ABC 为等腰三角形.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
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题型分类·深度剖析
易错警示 6.代数化简或三角运算不当致误

典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试 判断△ABC 的形状.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 6.代数化简或三角运算不当致误

典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试 判断△ABC 的形状.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)先对等式化简,整理成以单角的形式表示. (2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断,也可以根据角的关系判 断,所以可以从以下两种不同方式切入:一、根据余弦定理,进行角化 边;二、根据正弦定理,进行边化角.

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易错警示 6.代数化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试 判断△ABC 的形状.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒



∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],
∴2sin Acos B· b2=2cos Asin B· a2, 即 a2cos Asin B=b2sin Acos B. 方法一 由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,
又 sinAsin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B.
基础知识 题型分类 思想方法
8分 4分

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 6.代数化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试 判断△ABC 的形状.

规 范 解 答 易 错 分 析 在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, π ∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 A+B= . 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形.

温 馨 提 醒

12分

方法二 由正弦定理、余弦定理得: 2 2 2 2 2 2 2 b +c -a 2 a +c -b ab =b a , 2bc 2ac ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0.
即 a=b 或 a2+b2=c2.

6分 10分

∴△ABC 为等腰或直角三角形.

12分

基础知识

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题型分类·深度剖析 题型分类·深度剖析
易错警示 6.代数化简或三角运算不当致误
典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试 判断△ABC 的形状.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时,对所给的边角关系式一般 都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系,再判断. (2)本题也可分析式子的结构特征,从式子看具有明显的对称性,可判 断图形为等腰或直角三角形. (3)易错分析:①方法一中由 sin 2A=sin 2B 直接得到 A=B,其实学生 忽略了 2A 与 2B 互补的情况,由于计算问题出错而结论错误.方法二 中由 c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)不少同学直接得到 c2=a2+b2,其实 是学生忽略了 a2-b2=0 的情况,由于化简不当致误.②结论表述不 规范.正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形,而不少学生回 答为:等腰直角三角形. 思想方法 题型分类 练出高分 基础知识

题型分类·深度剖析
高考圈题 4.高考中的解三角形问题
典例:(12 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值;(2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析

解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

基础知识

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高考圈题 4.高考中的解三角形问题
典例:(12 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值;(2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析

解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理,考查转化能力和运 算求解能力.

基础知识

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高考圈题 4.高考中的解三角形问题
典例:(12 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值;(2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析

解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

根据三角形内角和定理可直接求得 B;利用正弦定理或余弦定理转 化到只含角或只含边的式子,然后求解.

基础知识

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思想方法

练出高分

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高考圈题 4.高考中的解三角形问题
典例:(12 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值;(2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析


解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

(1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180° ,解得 B=60° ,
4分
2

1 所以 cos B= . 2 1 (2)方法一 由已知 b =ac,及 cos B= , 2
根据正弦定理得 sin2B=sin Asin C,

8分 12分

3 所以 sin Asin C=1-cos B= . 4
2

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练出高分

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高考圈题 4.高考中的解三角形问题
典例:(12 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值;(2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析
方法二
2

解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

1 由已知 b =ac,及 cos B= , 2

a2+c2-b2 a2+c2-ac 1 根据余弦定理得 cos B= = = , 2ac 2ac 2
解得 a=c,
8分 12分

3 所以 A=C=B=60° ,故 sin Asin C= . 4

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 4.高考中的解三角形问题
典例:(12 分)(2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cos B 的值;(2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

考 点 分 析

解 题 策 略

规 范 解 答

解 后 反 思

(1)在解三角形的有关问题中,对所给的边角关系式一般要先化为只含边之 间的关系或只含角之间的关系,再进行判断. (2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.

基础知识

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思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

A 1. 应熟练掌握和运用内角和定理: A+B+C=π, + 2 B C π + = 中互补和互余的情况, 结合诱导公式可以 2 2 2 减少角的种数.
2.正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、 余弦定理结合得 sin2A=sin2B+sin2C-2sin B· sin C· cos A,可以进行化简或证明.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的

失 误 与 防 范

对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角时, 有时可能出现一解、两解,所以要进行分类讨论.
2.利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角 和定理对角的范围的限制.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 广东)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2, 则 AC 等于 A.4 3 B.2 3 C. 3 3 D. 2 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 广东)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2, 则 AC 等于 A.4 3 B.2 3 C. 3 3 D. 2 ( B )

解 析
AC BC 在△ABC 中, = , sin B sin A
2 3 2× 2 BC· sin B ∴AC= = =2 3. sin A 3 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B 等于 1 1 A.- B. C.-1 D.1 2 2 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B 等于 1 1 A.- B. C.-1 D.1 2 2 ( D )

解 析
∵acos A=bsin B,∴sin Acos A=sin Bsin B,

即 sin Acos A-sin2B=0,∴sin Acos A-(1-cos2B)=0, ∴sin Acos A+cos2B=1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a= 2bcos C,则此三角形一定是 A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a= 2bcos C,则此三角形一定是 A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ( C )

解 析
a2+b2-c2 因为 a=2bcos C,所以由余弦定理得 a=2b· ,整理得 2ab b2=c2,因此三角形一定是等腰三角形.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2012· 湖南)△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上 的高等于 3 3 3 A. B. 2 2 ( 3+ 6 C. 2 3+ 39 D. 4 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2012· 湖南)△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上 的高等于 3 3 3 A. B. 2 2 ( B ) 3+ 6 C. 2 3+ 39 D. 4

解 析
设 AB=a,则由 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B 知 7=a2+4 -2a,即 a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).

3 3 3 ∴BC 边上的高为 AB· sin B=3× = . 2 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

π 1 5. (2011· 北京)在△ABC 中, 若 b=5, ∠B= , sin A= , 则 a=________. 4 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5 2 π 1 5. (2011· 北京)在△ABC 中, 若 b=5, ∠B= , sin A= , 则 a=________. 3 4 3

解 析
a b 根据正弦定理应有 = , sin A sin B

1 5× 3 5 2 bsin A ∴a= = = . sin B 3 2 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.(2011· 福建)若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的 长度等于________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.(2011· 福建)若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的

2 长度等于________ . 解 析
由于 S△ABC= 3,BC=2,C=60° ,

1 3 ∴ 3= ×2· AC· ,∴AC=2, 2 2
∴△ABC 为正三角形.∴AB=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9 7.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC= 10 ________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9 7.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC= 10 4或5 ________.

解 析
设 BC=x, 则由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos C 9 得 5=25+x2-2· 5· x· ,即 x2-9x+20=0,解得 x=4 10 或 x=5.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满 A 2 5 → → 足 cos = ,AB· AC=3. 2 5 (1)求△ABC 的面积;(2)若 b+c=6,求 a 的值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满 A 2 5 → → 足 cos = ,AB· AC=3. 2 5 (1)求△ABC 的面积;(2)若 b+c=6,求 a 的值.

3 A 2 5 2A 解 (1)∵cos = ,∴cos A=2cos -1= , 2 5 2 5 4 → → ∴sin A= .又AB· AC=3,∴bccos A=3,∴bc=5. 5 1 1 4 ∴S△ABC= bcsin A= ×5× =2. 2 2 5

解 析

(2)由(1)知,bc=5,又 b+c=6,
根据余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A 3 =36-10-10× =20,∴a=2 5. 5
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9 2B+C 9.(12 分)在△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, 4sin 2 7 -cos 2A= . 2

(1)求 A 的度数;(2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9 2B+C 9.(12 分)在△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, 4sin 2 7 -cos 2A= . 2

(1)求 A 的度数;(2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值.
B+C π A 解 (1)∵B+C=π-A,即 = - , 2 2 2 7 7 2B+C 2A 由 4sin -cos 2A= ,得 4cos -cos 2A= , 2 2 2 2 7 2 即 2(1+cos A)-(2cos A-1)= , 2 整理得 4cos2A-4cos A+1=0,即(2cos A-1)2=0. 1 ∴cos A= ,又 0° <A<180° ,∴A=60° . 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9 2B+C 9.(12 分)在△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 的对边, 4sin 2 7 -cos 2A= . 2

(1)求 A 的度数;(2)若 a= 3,b+c=3,求 b、c 的值.
b2+c2-a2 (2)由 A=60° ,根据余弦定理 cos A= , 2 bc b2+c2-a2 1 即 = ,得 b2+c2-bc=3, 2bc 2 又 b+c=3,

解 析

① ②

∴b2+c2+2bc=9. ①-③整理得 bc=2.
? ?b=1, 解②④联立方程组得? ? ?c=2, ? ?b=2, 或? ? ?c=1.

③ ④

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 1.(2012· 上海)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形 状是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

1 7 2 3 4 6 5 1.(2012· 上海)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形 状是 ( A ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定

a b c 由正弦定理知 = = =2R, sin A sin B sin C a b c ∴sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R ∵sin2A+sin2B<sin2C, a2 b 2 c2 ∴ 2+ 2< 2,∴a2+b2<c2, 4R 4R 4R a2+b2-c2 ∴cos C= <0, 2ab ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.(2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, b 2 asin Asin B+bcos A= 2a,则 等于 ( ) a A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.(2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, b 2 asin Asin B+bcos A= 2a,则 等于 ( D ) a A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2

解 析
∵asin Asin B+bcos2A= 2a,

∴sin Asin Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,
b sin B ∴sin B= 2sin A,∴ = = 2. a sin A

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

7 3 4 6 5 3.(2012· 湖北)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 ( D.6∶5∶4 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 3.(2012· 湖北)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

若三边的长为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acos A,则 sin A∶sin B∶sin C 为 A.4∶3∶2 ( D ) D.6∶5∶4 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 ∵A>B>C,∴a>b>c.

解 析

设 a=b+1,c=b-1,由 3b=20acos A b2+?b-1?2-?b+1?2 得 3b=20(b+1)× . 2b?b-1?

化简,得 7b2-27b-40=0. 8 解得 b=5 或 b=- (舍去),∴a=6,c=4. 7 ∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 4.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a,

b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc,则∠A=________,△ABC 的形状为__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 1 7 2 3 4 6 4.在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a,

60° ,△ABC b,c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc,则∠A=________
的形状为正三角形 __________.

解 析

∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac.

又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.
b2+c2-a2 bc 1 在△ABC 中,由余弦定理得 cos A= = = , 2bc 2bc 2 2 b ∴∠A=60° .由 b2=ac,即 a= , c

代入 a2-c2=ac-bc,整理得(b-c)(b3+c3+cb2)=0,
∴b=c.∴△ABC 为正三角形.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

a+b+c 5. 在△ABC 中, 若∠A=60° , b=1, S△ABC= 3, 则 sin A+sin B+sin C 的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

a+b+c 5. 在△ABC 中, 若∠A=60° , b=1, S△ABC= 3, 则 sin A+sin B+sin C 2 39 的值为________ . 3

解 析
1 ∵S△ABC= 3,即 bcsin A= 3,∴c=4. 2
由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A=13,∴a= 13,

a+b+c a 2 13 2 39 ∴ = = = . 3 sin A+sin B+sin C sin A 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7 b a 6.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + = a b tan C tan C 6cos C,则 + 的值是______. tan A tan B

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

b a 6.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + = a b tan C tan C 6cos C,则 + 的值是______. tan A tan B

解 析
b a 由 + =6cos C,得 b2+a2=6abcos C. a b
tan C tan C 化简整理得 2(a +b )=3c ,将 + 切化弦, tan A tan B
2 2 2

sin C cos A cos B sin C sin ?A+B? 得 · ( + )= · cos C sin A sin B cos C sin Asin B sin C sin C sin2C = · = . cos C sin Asin B cos Csin Asin B
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

b a 6.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + = a b tan C tan C 4 . 6cos C,则 + 的值是______ tan A tan B

解 析
sin2C c2 根据正、余弦定理得 = cos Csin Asin B a2+b2-c2 ab· 2ab
2c2 2c2 = 2 2 2= =4. a +b -c 3 2 2 c -c 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升

5 7 3 4 6 7. (13 分)(2012· 浙江)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, 2 b,c.已知 cos A= ,sin B= 5cos C. 3

(1)求 tan C 的值;(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)(2012· 浙江)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, 2 b,c.已知 cos A= ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值;(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.
2 解 (1)因为 0<A<π,cos A= , 3 5 2 得 sin A= 1-cos A= . 3

解 析

又 5cos C=sin B=sin(A+C)
5 2 =sin Acos C+cos Asin C= cos C+ sin C, 3 3

所以 tan C= 5.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)(2012· 浙江)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, 2 b,c.已知 cos A= ,sin B= 5cos C. 3 (1)求 tan C 的值;(2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

解 析
5 1 (2)由 tan C= 5,得 sin C= ,cos C= . 6 6 5 于是 sin B= 5cos C= , 6

a c 由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3. sin A sin C
1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S= acsin B= . 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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