当前位置:首页 >> 数学 >>

高中新课标数学基础知识归纳


你只要用心做,这些事根本难不倒你!

高中新课标数学基础知识归纳
第一部分
1.主要性质和运算律 (1) 包含关系:

集合

A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C; A B ? A, A B ? B; A B ? A, A B

? B.
(2) 等价关系:

A ? B ? A B ? A ? A B ? B ? CU A B ? U

(3) 集合的运算律:

( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ); ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C )
A∪? ? ? UA=U ? UU=φ Uφ =U UU(? UA)=A ? ? U(A∩B)= (? UA)∪(? UB) U(A∪B)= (? UA)∩(? UB) (4) 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况.
n n

(5) 集合 {a1 , a2 ,

, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;

非空子集有 2 –1 个;非空真子集有 2 –2 个. 2. ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

第二部分
⑤换元法 ;⑥利用均值不等式
ab ?

函数

1.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;
a?b a 2 ? b 2 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距 ? 2 2
x

离、绝对值的意义等) ;⑧利用函数有界性( a 、 sin x 、 cos x 等) ; 2.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不 等式 a≤g(x)≤b 解出② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域。 ( 2 )复合函数单调性的判定:①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数:内函数

u ? g ( x) 与外函数 y ? f (u ) ;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同性
则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意:外函数 y ? f (u ) 的定义域是内函数 u ? g ( x) 的值域。
3.分段函数:值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 4.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ; .... ⑵ f ( x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (? x) ? ?1 ;
f ( x) f ( ? x) ⑶ f ( x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? ?1 ; f ( x)

⑷奇函数 f ( x) 在原点有定义,则 f (0) ? 0 ; ⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; ⑹若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性; ⑺奇偶函数的图象特征: 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原 点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数.
高中新课标数学基础知识 第 1 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你! 5.函数的单调性 ⑴单调性的定义: f ( x) 在区间 M 上是增(减)函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0(? 0) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ;
x1 ? x2

⑵单调性的判定定义法:注意:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式, 以利于判断符号; ②复合函数法 ;③图像法。 6.函数的周期性 (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常数) ,则 称函数 f ( x) 为周期函数,T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。 如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期 ① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ; ④ y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ) : T ?

? 2? ;⑤ y ? tan?x : T ? ; |? | |? |

⑶函数周期的判定:①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论) ⑷与周期有关的结论: ① f ( x ? a) ? f ( x ? a) 或 f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0) ? f ( x) 的周期为 2 a ; ② y ? f ( x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称 ? f ( x) 周期 2 a ? b ; ③ y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a, x ? b 轴对称 ? f ( x) 周期为 2 a ? b ; ④ y ? f ( x) 的图象关于点 ( a,0) 中心对称,直线 x ? b 轴对称 ? f ( x) 周期 4 a ? b ; ⑤如果 f ( x ? a) ? ? f ( x) ,或 f ( x ? a) ? 则 f ( x ) 的周期 T=2a; 7.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: y ? x ? ( ? ? R) ;

1 1 ( f ( x) ? 0) , ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? f ( x) f ( x)

高中新课标数学基础知识

第 2 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你! ⑵指数函数

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1
4.5

0<a<1
4.5

图 象

4

4

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1

1

y=1

0.5

0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4
-0.5

-0.5
-1

-1

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. (5)在 R 上是增函数 (5)在 R 上是减函数
m n m? n

指数运算法则 ① a ? a ? a ;② a m ? a n ? a m?n ;③ (am )n ? amn ;④ ambm ? (ab)m ⑶对数函数 y=logax 的图象和性质; 对数运算: loma (MN ) ? loga M ? loga N , lom a

M ? log a M ? log a N , N

loma M n ? n loga | M | , lom a n M ?
换底公式: loma N ?

1 log a M , a loga N ? N , n

logb N ,推论: loga b ? logb c ? logc a ? 1 logb a ⑷正弦函数: y ? sin x ; ⑸余弦函数: y ? cos x ; ⑹正切函数: y ? tan x ; 2 ⑺二次函数: ax ? bx ? c ? 0 ; 2 2 (1)解析式:①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c ;②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k ,( h, k ) 为顶点; ③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。 2 (2)二次函数问题解决需考虑的因素:①开口方向;② 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象的对称轴方
? b 4ac ? b 2 ? ;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 程是 x ? ? b ;顶点坐标是 ? ? ? , ? ? 4a ? ? 2a (3)二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。
2a

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象

高中新课标数学基础知识

第 3 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你! 一元二次方程

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

有两相异实根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

⑻其它常用函数:①正比例函数: y ? kx(k ? 0) ;②反比例函数: y ? 特别的 y ?

k ( k ? 0) ; x

1 a ,函数 y ? x ? (a ? 0) ; x x

8.几个常见的函数方程: (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) , f(0)=1.

f ? x ? y? ? f ? x ? y? ? 2 f ? x? f ? y ?
9.函数图象 ⑴图象作法: ①描点法 (注意三角函数的五点作图) ②图象变换法③导数法; 熟悉常用函数图象: 熟悉分式函数的图象: ⑵图象变换: ① 平移变换:ⅰ y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , ( a ? 0) ———左“+”右“-” ; ⅱ y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-” ; ② 伸缩变换: ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (?x) , ( ? ? 0) ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的
y ?0

1

ⅱ y ? f ( x) ? y ? Af ( x) , ( A ? 0) ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 A 倍;

?

倍;

?? y ? ? f (? x) ;ⅱ y ? f ( x) ??? y ? ? f ( x) ; ③ 对称变换:ⅰ y ? f ( x) ??
( 0, 0 )

? y? f ⅲ y ? f ( x) ??? y ? f (? x) ; ⅳ y ? f ( x) ???

x ?0

y?x

?1

( x) ;

④ 翻转变换: ⅰ y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———右不动,右向左翻( f ( x) 在 y 左侧图象去掉) ; ⅱ y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———上不动,下向上翻(| f ( x) |在 x 下面无图象) ; 10.函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法. 零点定理:设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且 f(a)·f(b)<0 ,.那么在开区间 (a, b) 内至少有 函数 f ( x) 的一个零点,即至少有一点 ? ( a < ? < b )使 f (? ) ? 0 .

类似:如果存在 x0使得g ? x0 ? ? f ? x0 ? ? h ? x0 ?,且g ? x0 ? ? h ? x0 ? ? A,那么f ? x0 ? ? A

高中新课标数学基础知识

第 4 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你! 第三部分 1.弧度制的定义: ? ? 三角函数、三角恒等变换与解三角形

l R

角度与弧度的换算公式: 360° =2 ? 180° = ? 1° =0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 一个式子中不能角度,弧度混用. 1 1 弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ? lR ? ?R 2 。 2 2 2.三角函数定义:角 ? 终边上任一点(非原点)P ( x, y ) ,设 | OP |? r 则: y x y sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? r r x 3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦; (简记为“全 s t c” ) 4.诱导公式记忆规律:“奇变偶不变,符号看象限” ? k? ? ? ? ? 2 5.⑴ y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴:令 ? x ? ? ? k? ? ,得 x ? ; 2 ? k? ? ? 对称中心: ( ,0)( k ? Z ) ;

?

⑵ y ? A cos(?x ? ? ) 对称轴:令 ?x ? ? ? k? ,得 x ? 对称中心: (
k? ?

k? ? ?

?
2

?



??

?

,0)(k ? Z ) ;

⑶周期公式:①函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及 y ? A cos(? x ? ? ) 的周期 T ? (A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0). ②函数 y ? A tan??x ? ? ? 的周期 T ?

2?

?

? (A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0). ?
sin x ? tan x cos x

6.同角三角函数的基本关系: sin 2 x ? cos 2 x ? 1;

7.三角函数的单调区间及对称性: ⑴ y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ,单调递减区间为 ? 2 2? ? ?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? k ? Z ,对称轴为 x ? k? ? ? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ,0 ? (k ? Z ) . ? 2 2 2? ? ⑵ y ? cos x 的单调递增区间为 ?2k? ? ? ,2k? ? k ? Z ,单调递减区间为 ?2k? ,2k? ? ? ? k ? Z ,
对称轴为 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ?

? ?

?

? , 0 ? (k ? Z ) . 2 ?

? k? ? ? ?? ⑶ y ? tan x 的单调递增区间为 ? ? k? ? , k? ? ? k ? Z ,对称中心为 ? 2 ,0 ? ?k ? Z ? . 2 2? ? ? ?

高中新课标数学基础知识

第 5 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你! 8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ?

sin ? sin ? ;

tan ? ? tan ? .(注意该公式的变形) 1 tan ? tan ? ③ sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? ;
② tan(? ? ? ) ? ④ cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? . ⑤ a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (其中,辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 所在的象限决 定, sin ? ? 9.二倍角公式: ① sin 2? ? 2 sin ? cos ? . (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2?
2

b a 2 ? b2

, cos ? ?

a a 2 ? b2

, tan ? ?

b ). a

② cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? (升幂公式).
2 2 2 2

③ cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,sin 2 ? ? (降幂公式). 2 2

10.正、余弦定理: ⑴正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径 ) sin A sin B sin C 注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; a b c a?b?c ? ? ? ③ 。 sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
⑵余弦定理: a2=b2+c2﹣2bccosA b2=a2+c2﹣2accosB cosA= cosB=

b2 ? c2 ? a 2 2bc

a2 ? c2 ? b2 2ac 2 a ? b2 ? c2 c2=a2+b2﹣2abcosC cosC= 2ab 1 1 1 11.几个公式:⑴三角形面积公式: ① S ? aha ? bhb ? chc( ha、hb、hc 分别表示 a、 b、 2 2 2 1 1 1 c 边上的高);② S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 2 S ?ABC 1 ③ S ?OAB ? (特别地, (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 ⑵内切圆半径 r= 2 a?b?c a b c a ? b ? c斜 ? ? ; r直 ? ) ; 外接圆直径 2R= sin A sin B sin C 2
12.常见三角不等式: (1)若 x ? (0,

?

) ,则 sin x ? x ? tan x .(2) 若 x ? (0, ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 2

?

13.正弦、余弦的诱导公式: 即:“奇变偶不变,符号看象限”.如 cos? ? ?
高中新课标数学基础知识

? ?

??

? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? . 2?
第 6 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你!

2 tan ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? cos 2 ? ? ; ;tan 2? ? (正切倍角公式) . 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ? ? sin ? 1 ? cos ? ? 15.半角公式: tan ? . 2 1 ? cos ? sin ?
14.万能公式: sin 2? ? 16.三角函数变换: ①相位变换: y ? sin x 的图象

??????????? y ? sin?x ? ? ? 的图象;
1 横坐标伸长 ?0?? ?1?或缩短 ?? ?1?到原来的 倍

向左?? ?0 ?或向右 ?? ?0 ?平移 ? 个单位

? ?? y ? sin ?x 的图象; ②周期变换: y ? sin x 的图象 ???????????? 纵坐标伸长 ? A?1?或缩短 ?0? A?1?到原来的 A倍 ③振幅变换: y ? sin x 的图象 ????????????? y ? A sin x 的图象. 17.在△ABC 中,有
C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) ; 2 2 2 ② a ? b ? sin A ? sin B (注意是在 ?ABC 中).
① A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ? ③在锐角三角形△ABC 中,A+B>

? ,sinA>cosB,sinB>cosA, 2 第四部分 直线与线性规划

1.直线方程⑴点斜式: y ? y? ? k ( x ? x? ) ;⑵斜截式: y ? kx ? b ;⑶截距式: ? ⑷两点式:

x a

y ?1 ; b

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

;⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 , (A,B 不全为 0) 。

2 2 2 注意: 若 y ? ? x ? 2 是一直线的方程, 则这条直线的方程是 y ? ? x ? 2 , 但若 y ? ? x ? 2( x ? 0) 3 3 则不是这条线. 2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件; (2)作可行域,写目标函数; (3)确定目标函数的最优解。 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域: 3

设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异 号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C 异 号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

第五部分

平面向量

几个概念:零向量、单位向量(与 AB 共线的单位向量是 ? AB ,特别:)、平行(共线)向量(无 | AB | 传递性,是因为有 0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、 1.平面上两点间的距离公式: d A, B ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ,其中 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) .

2.向量的平行与垂直: 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则: 两非零向量平行(共线)的充要条件 a // b ? a ? ? b ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 两个非零向量垂直的充要条件 a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b | ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
高中新课标数学基础知识 第 7 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你! 特别:零向量和任何向量共线. a ? ? b 是向量平行的充分不必要条件! 3.a· b=|a||b|cos<a,b>= x 1 x2+y1y2; 注:① |a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的正射影。即:

a在b上的投影 ?| a | cos ? a, b ??

a ? b x1 x2 ? y1 y2 .;|b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向上的正射影; ? 2 2 |b| x2 ? y2

②a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的正射影|b|cos<a,b>的乘积。 4.cos<a,b>=

a ?b | a || b |



5.三点共线的充要条件:P,A,B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB且x ? y ? 1;

6、线段的定比分点坐标公式
设 P(x,y) 、P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,且 PP ? ? PP2 , 1

x1 ? ? x2 y ? ? y2 1 ? ? MP 2 . , MP ? MP ,y? 1 1? ? 1? ? 1? ? 特别:分点的位置与 ? 的对应关系.
则x?
x ?x ? x? 1 2 ? 1 ? MP 2 2 , MP ? MP 中点坐标公式 ? ? P 为 PP 1 2 的中点. ? 2 y ? y 2 ?y ? 1 ? ? 2

与AB共线的单位向量是 ?

AB . PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心;特别 3 | AB |

PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心. PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ? ( AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线); | AB | | AC |
S
ABC

?

1 1 AB AC sin A ? 2 2

AB AC ? ( AB ? AC ) 2 .

2

2

第六部分
1、等差、等比数列: 等差数列 {an }为等差数列 ? an?1 ? an ? d (常数) 定义 通项 公式 求和 公式 (n-1) d= ak + (n-k) d= dn + a1 -d an = a1 +

数列
等比数列
{an }为等比数列 ? an?1 ? q(常数) an

an ? a1q n?1 ? ak q n?k
(q ? 1) ?na1 ? n s n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?
G 2 ? ab 。推广: an ? an?m ? an?m
若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq 。
第 8 页
2

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 中项 a?b A= 推广:2 an = an?m ? an?m 公式 2 质 性 质 1 若 m+n=p+q 则 am ? an ? a p ? aq sn ?
高中新课标数学基础知识

你只要用心做,这些事根本难不倒你! 2 若 {k } 成 A.P (其中 k n ? N ) 则 {a kn } 也 n 为 A.P。 3 . s ,s ? s ,s ? s n 2n n 3n 2 n 成等差数列。 4 a ? a1 a m ? a n d? n ? ( m ? n) n ?1 m?n 5 a ,a ,a k k ?m k ? 2 m , ?成等差数列, d ' ? md 若 {k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) ,则

{a kn } 成等比数列。
sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列。
q n ?1 ? an , a1
q n?m ? an am

(m ? n)

ak , ak ?m , ak ?2m ,?成等比数列, q' ? q m

2、 等差数列特有性质: ①项数为 2n 时: S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);S 偶 ? S奇 ? nd ; ②项数为 2n-1 时:S2n-1=(2n-1) a中 ; S奇 - S偶 ? a中 ;

S奇

S偶

?

an ; a n ?1

S奇 S偶

?

n ; n -1

③若 an ? m, am ? n, (m ? n),则am?n ? 0 ;若 S n ? m, S m ? n, 则S m?n ? ?(m ? n) ; 若 S n ? S m , (m ? n),则S m?n ? 0 。 3.数列通项的求法:注意: an ? (an ? an ?1) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ?

? (a2 ? a1) ? a1 ;

an ?

an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2

?

a2 ? a1 . a1

⑴分析法; ⑵定义法(利用 AP,GP 的定义) ; ⑶公式法: S1 (n=1) a= Sc S (n≥2) 累加法( an ?1 n? an ? ; n- n-1 n

an?1 ;⑸构造法( an?1 ? kan ? b 型) ; (6)迭代法; ? cn 型) an 1 1 ⑺间接法(例如: a n ?1 ? a n ? 4a n a n ?1 ? ;⑻作商法( a1a2 ?an ? cn 型) ? ? 4) an an?1
⑷叠乘法( ⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。 注:当遇到 an?1 ? an?1 ? d或 an?1 ? q 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。 an?1 4.前 n 项和的求法: ⑴拆、并、裂项法;如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联, 那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 ?1? 1 , ② ? 1 (1 ? 1 ) , n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ③ 2 ? 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? , k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k 1 1 1 1 ? [ ? ] ,, ④ n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ⑤ an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) ,

高中新课标数学基础知识 第 9 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你! ⑵倒序相加法: 在数列求和中, 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与 组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公 式的推导方法). ⑶错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法,将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解(注意:一般错位相减 后,其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差” ! ) (这也是等比数列前 n 和公式的推导 方法之一). 5.等差数列前 n 项和最值的求法:
a n ? 0 ? ?a n ? 0 ? ⑴? ? 或? ? ? ? ? ?a n ?1 ? 0? ?a n ?1 ? 0 ?

;⑵利用二次函数的图象与性质。 第七部分 不等式

1.均值不等式:

2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? (a, b ? 0) a?b 2 2 2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? (a, b ? 0) 。 a?b 2 2

注意:①一正二定三相等;②变形:

2.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有: (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值

1 2 s . 4

2 3.解一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) :若 a ? 0 ,则对于解集不是全集或空集时,对应的

解集为“大两边,小中间”.如:当 x1 ? x 2 , ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x1 ? x ? x2 ;

?x ? x1 ??x ? x2 ? ? 0 ? x ? x2或x ? x1 .
② x ?a ? x ?a ? x ?a或
2 2

2 2 4.含有绝对值的不等式:当 a ? 0 时,有:① x ? a ? x ? a ? ?a ? x ? a ;

x ? ?a .

5.分式不等式: ( 1)

f ?x ? f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ; (2) g ?x ? g ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0 f ?x ? f ?x ? ( 3) ; (4) . ?0?? ?0?? g ?x ? g ?x ? ? g ?x ? ? 0 ? g ?x ? ? 0
(1)当 a ? 1 时, a

6.指数不等式与对数不等式
f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
g ( x)

(2)当 0 ? a ? 1 时, a

f ( x)

?a

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

3.不等式的性质: ⑴ a ? b ? b ? a ;⑵ a ? b, b ? c ? a ? c ;⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d

? a ? c ? b ? d ;⑷ a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0, c ? d ? 0
高中新课标数学基础知识 第 10 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你!

? ac ? bd ;⑸ a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0(n ? N ? ) ;⑹ a ? b ? 0 ?
第十一部分 概率

n

a ? n b (n ? N ? )

1.事件的关系: ⑴事件 B 包含事件 A:事件 A 发生,事件 B 一定发生,记作 A ? B ; ⑵事件 A 与事件 B 相等:若 A ? B, B ? A ,则事件 A 与 B 相等,记作 A=B; ⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生或 B 发生,记作 A ? B (或 A ? B ) ; ⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件 A 发生且 B 发生,记作 A ? B (或 AB ) ; ⑸事件 A 与事件 B 互斥:若 A ? B 为不可能事件( A ? B ? ? ) ,则事件 A 与互斥; ⑹对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,则 A 与 B 互为对立事件。 2.概率公式: ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);

A包含的基本事件的个数 ; 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体 积等) ⑶几何概型: P( A) ? ; 试验的全部结果构成的 区域长度(面积或体积 等)
⑵古典概型: P( A) ? 第十二部分 统计与统计案例 1.抽样方法: ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数表法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的规则,从 每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号;④按预 先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况, 将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ?

n N

注:以上三种抽样的共同特点是:在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 2.频率分布直方图:⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。直方 图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商, (而不是频率),横轴一般是数据的大小,小矩 形的面积表示频率。 茎叶图.⑵当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两 边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上长 出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图。 3.总体特征数的估计:总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率. ⑴样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i ;
n n
i ?1
n ⑵样本方差 S ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( xi ? x )2 ; n n i ?1
2

n

n ⑶样本标准差 S ? 1 [(x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ? ? ( xn ? x )2 ] = 1 ( x ? x )2 ? i

n

n

i ?1

高中新课标数学基础知识

第 11 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你! 4.相关系数(判定两个变量线性相关性) :

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? ( xi ? x )2 ? ( yi ? y )2
i ?1 i ?1

n

n

?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi 2 ? nx 2 )(? yi 2 ? ny 2 )
i ?1 i ?1

n

n

注:⑴ r >0 时,变量 x , y 正相关; r <0 时,变量 x , y 负相关;⑵当 | r | 越接近于 1,两个变量 的线性相关性越强;当 | r | 越接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 5. 回归直线方程
n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ? i ?1 ?b ? ? n 2 y ? a ? bx ,其中 ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

第十三部分 算法初步 一 程序框图 1 定义:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来表示算法的图形 3.算法的基本逻辑结构 —顺序结构、条件结构、循环结构。 二 输入、输出语句和赋值语句 (一) 、输入语句 INPUT 语句。这个语句的一般格式是: 变量=INPUT( “提示内容” ); 其中, “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。 (二) 、输出语句 PRINT 语句是输出语句。它的一般格式是:
PRINT (提示内容,变量 1,变量 2, 。 。 。 );

同输入语句一样,表达式前也可以有“提示内容” 。 输出语句的用途: (1)输出常量,变量的值和系统信息。(2)输出数值计算的结果。 (三) 、赋值语句 用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。 除了输入语句, 赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是:
变量=表达式

赋值语句中的“=”叫做赋值号。 赋值语句的作用:先计算出赋值号右边表达式的值,然后把这个值赋给赋值号左边的变量, 使该变量的值等于表达式的值。 注:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。 ②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。 ③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方 程等) IF 条件 语句 1 ④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。 ELSE 四 条件语句和循环语句 语句 2 (一) 、条件语句 END
高中新课标数学基础知识 第 12 页

你只要用心做,这些事根本难不倒你! 算法中的条件结构是由条件语句来表达的, 是处理条件分支逻辑结构的算法语句。 它的一般 格式是:(IF-THEN-ELSE 格式) 当计算机执行上述语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,就执行 THEN 后 的语句 1,否则执行 ELSE 后的语句 2。 在某些情况下,也可以只使用 IF-THEN 语句:(即 IF-THEN 格式) IF 条件 计算机执行这种形式的条件语句时, 也是首先对 IF 后的条件进行判 语句 END 断,如果条件符合,就执行 THEN 后的语句,如果条件不符合,则直接 结束该条件语句,转而执行其他语句。 条件语句的作用:在程序执行过程中,根据判断是否满足约定的条 件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断,并按判断后的不同 情况进行不同的处理。 (二) 、循环语句 算法中的循环结构是由循环语句来实现的。 循环体 WHILE 语句的一般格式是: 满足条件? WHILE 条件 循环体 END 框图格式 否 是

框图格式 循环体 DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 满足条件? 是 否

注:循环结构分为:Ⅰ.当型——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型——先执行一次循环体,再判断条件。

高中新课标数学基础知识

第 13 页


相关文章:
高中数学全知识点归纳总结(新课标人教A版).
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教 A 版 纸上得来终觉浅引言 1.课程内容:必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、 对、幂...
高考必看 高中数学知识点总结 高中新课标理科数学知识点大全
高中新课标理科数学 (必修+选修) 所有知识点总结 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修 ...
高中数学知识点总结(最全版)
www.gaokaoq.com 高考圈-让高考没有难报的志愿 高中新课标理科数学 (必修+选修) 所有知识点总结 第 - 1 - 页共 110 页 www.gaokaoq.com 高考圈-让高考...
2015年新人教版高中数学知识点总结
2015年新人教版高中数学知识点总结_数学_高中教育_教育专区。集合的概念, 集合...0 ,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最...
2014年高中新课标理科数学所有知识点总结
2014年高中新课标理科数学所有知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学 必修...0 ,从而确定函数的值域或最值. 3 ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域...
2015年新人教版高中数学知识点总结[1]
2015年新人教版高中数学知识点总结[1]_数学_高中教育_教育专区。中国首家中小学...0 ,从而确定函数的值域 ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤...
人教版高中数学知识点大全
人教版高中数学知识点大全_数学_高中教育_教育专区。高中数学 必修 1 知识点大全...0 ,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最...
高中新课标文科数学所有知识点总结
高中新课标文科数学所有知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学 必修 1 ...0 ,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最...
2014年高中新课标理科数学所有知识点总结[1]
2014年高中新课标理科数学所有知识点总结[1]_数学_高中教育_教育专区。高中数学...1.1.2 程序框图 1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称...
(最新)高中数学人教版知识点总结
(最新)高中数学人教版知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学总结 你不会后悔的 高中数学教材人教版知识点总结必修 1 第一章、集合与函数概念 §...
更多相关标签:
高中生物基础知识归纳 | 高考语文基础知识归纳 | 高中语文知识点归纳 | 高中地理重点知识归纳 | 高中化学知识点归纳 | 会计基础知识重点归纳 | 高中物理知识点归纳 | 初中物理基础知识归纳 |