当前位置:首页 >> 数学 >>

2016高考


第6讲
最新考纲

离散型随机变量的均值与方差
1.理解取有限个值的离散型随机变量的均

值、方差的概念;2.能计算简单离散型随机变量的均 值、方差,并能解决一些简单实际问题.

基础诊断

考点突破

课堂总结

知 识 梳 理

>1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X P (1)均值 x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X 称E(X)=______________________________ 数学期望 ,它反映了离散型随机变量取值的 的均值或__________ 平均水平 . __________
基础诊断 考点突破 课堂总结

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

(2)方差
2 ∑ ( x - E ( X )) pi 为随机变量 X 的方差,它刻 i i= 1 称 D(X)=_________________ n

平均偏离程度 , 画了随机变量 X 与其均值 E(X)的______________ 其算术
标准差 . 平方根 D(X)为随机变量 X 的_______ 2.均值与方差的性质 aE(X)+b . (1)E(aX+b)=_________ a2D(X) (a,b为常数). (2)D(aX+b)=_______ 3.两点分布与二项分布的均值、方差

p(1-p) . (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=_______ np(1-p). (2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=________
基础诊断 考点突破 课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 示 精彩PPT展

× (
(

(1)期望值就是算术平均数,与概率无关.
它不确定.

)
)

(2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量, √ (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离 均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量平均 √ 程度越小. ( ) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情 × 况,因此它们是一回事.
基础诊断 考点突破

(

)

课堂总结

2.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的
值为 X P A.5 解析 B.6 4 0.5 C.7 a 0.1 9 b D.8 ( )

由分布列性质知:0.5+0.1+b=1,∴b=0.4.

∴E(X)=4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3.∴a=7.

答案

C

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.(2014· 陕西卷)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差

分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,
10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为 A.1+a,4 C.1,4 解析 B.1+a,4+a D.1,4+a ( )

将每个数据都加上a后均值也增加a,方差不变, A

故选A.
答案

基础诊断

考点突破

课堂总结

1 4.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= (k=2,4,6,8, 5 10),则 D(X)等于 ( )

A.5

B.8

C.10

D.16

解析

1 ∵E(X)= (2+4+6+8+10)=6, 5

1 ∴D(X)= [(-4)2+(-2)2+02+22+42]=8. 5
答案 B

基础诊断

考点突破

课堂总结

5.(人教A选修2-3P69B1改编)抛掷两枚骰子,当至少一枚

5点或一枚6点出现时,就说这次试验成功,则在10次试
验中成功次数的均值为________.

解析 抛掷两枚骰子,当两枚骰子不出现 5 点和 6 点时的 4 4 4 概率为 × = , 所以至少有一次出现 5 点或 6 点的概率为 6 6 9 4 5 1- = ,用 X 表示 10 次试验中成功的次数, 9 9 则
? 5? 5 50 ? ? X~B 10, ,E(X)=10× = . 9? 9 9 ?

50 答案 9
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点一

离散型随机变量的均值与方差

【例1】 (2013· 浙江卷)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个

蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2
分,取出一个蓝球得3分. (1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每 球取到的机会均等)2个球,记随机变量X为取出此2球所得 分数之和,求X的分布列;
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球, 记随机变量 5 5 Y 为取出此球所得分数.若 E(Y)= ,D(Y)= ,求 a∶b∶c. 3 9

基础诊断

考点突破

课堂总结



(1)由题意得 X=2,3,4,5,6.

3×3 1 2×3×2 1 故 P(X=2)= = ,P(X=3)= = , 4 3 6×6 6×6 2×3×1+2×2 5 P(X=4)= = , 18 6×6 2×2×1 1 1×1 1 P(X=5)= = ,P(X=6)= = . 9 6×6 6×6 36
所以X的分布列为
X P 2 1 4 3 1 3 4 5 18 5 1 9 6 1 36

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)由题意知Y的分布列为
Y P 1 a a+b+c 2 b a+b+c 3 c a+b+c

a 2b 3c 5 所以 E(Y)= + + = , a+ b+c a+b+c a+b+c 3
? ? 5? 2 a 5? 2 b ? ? ? ? D(Y) = 1- · + 2- · + 3? 3 ? ? ? a+b+c a+ b+ c ? 5?2 c 5 ?3- ? · = . 3? ? a+b+c 9

基础诊断

考点突破

课堂总结

? ? ?2a-b-4c=0, ?a=3c, 化简得? 解得? ? ? ?a+4b-11c=0. ?b=2c,

故 a∶b∶c=3∶2∶1.

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法

(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确

定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正 确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意性质的应用:

若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均
值是aE(X)+b,方差为a2D(X).

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练1】 袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10
个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一 球,X表示所取球的标号.

(1)求X的分布列、期望和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值. 解 (1)X的分布列为

X P

0 1 2

1 1 20

2 1 10

3 3 20

4 1 5

基础诊断

考点突破

课堂总结

1 1 1 3 1 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =1.5. 2 20 10 20 5 1 1 1 2 2 D(X)= (0-1.5) × + (1-1.5) × + (2-1.5) × + (3- 2 20 10
2

3 1 2 1.5) × +(4-1.5) × =2.75. 20 5
2

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)由 D(Y)=a2D(X), 得 a2×2.75=11,即 a=± 2. 又 E(Y)=aE(X)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
? ?a=2, ? ?a=-2, ∴? 或? ? ?b=-2 ? ?b=4,

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点二

与二项分布有关的均值、方差

【例 2】 (2013· 福建卷)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方 2 设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中 3 2 奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 5 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会, 每次抽奖中奖与否互不影响, 晚会结束后凭分数兑换奖 品.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们

的累计得分为X,求X≤3的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽 奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较 大?



2 (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率 3

2 为 ,且两人中奖与否互不影响. 5 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 的对立事件为“X=5”,
基础诊断 考点突破 课堂总结

2 2 4 因为 P(X=5)= × = , 3 5 15 11 所以 P(A)=1-P(X=5)= , 15 11 即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15
(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方 案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽 奖累计得分的数学期望为E(3X2).

基础诊断

考点突破

课堂总结

? ? 2? 2? 由已知可得,X1~B?2, ?,X2~B?2, ?, 3? 5? ? ?

2 4 2 4 所以 E(X1)=2× = ,E(X2)=2× = , 3 3 5 5 8 12 因此 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= . 3 5 因为 E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望 较大.

基础诊断

考点突破

课堂总结

法二

设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为

Y1,都选择方案乙所获得的累计得分为Y2,则Y1,Y2的

分布列为:
Y1 P 0 1 9 2 4 9 4 4 9

Y2 P

0 9 25

3 12 25

6 4 25

1 4 4 8 ∴E(Y1)=0× +2× +4× = , 9 9 9 3 9 12 4 12 E(Y2)=0× +3× +6× = , 25 25 25 5 因为 E(Y1)>E(Y2), 所以二人都选择方案甲抽奖,累计得分的数学期望较大.
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X

是否服从二项分布,如果X~B(n,p),则用公式E(X)= np;D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练2】 (2014· 辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的销

售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所
示.

基础诊断

考点突破

课堂总结

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量

相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100 个且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随 机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).



(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件

“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连 续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50

个”,因此

基础诊断

考点突破

课堂总结

P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,

P(A2)=0.003×50=0.15,
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

(2)X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为
3 P(X=0)=C0 · (1 - 0.6) =0.064, 3 2 P(X=1)=C1 3·0.6(1-0.6) =0.288, 2 P(X=2)=C2 · 0.6 (1-0.6)=0.432, 3 3 P(X=3)=C3 · 0.6 =0.216. 3

基础诊断

考点突破

课堂总结

分布列为 X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216

因为X~B(3,0.6),所以数学期望E(X)=3×0.6=1.8, 方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.

基础诊断

考点突破

课堂总结

考点三

均值与方差在决策中的应用

【例3】 (2014· 湖北卷)计划在某水库建一座至多安装3台发 电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流 量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单

位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10
年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年 份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概 率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机 最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X 发电机最多 可运行台数 40<X<80 1 80≤X≤120 2 X>120 3

若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台
发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总 利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

基础诊断

考点突破

课堂总结



10 (1)依题意,p1=P(40<X<80)= =0.2, 50

35 p2=P(80≤x≤120)= =0.7, 50 5 p3=P(X>120)= =0.1. 50 由二项分布, 在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为
4 1 3 p= C0 4 (1 - p3) + C 4 (1 - p3) p3 = ?

? 9 ?4 ? 9 ?3 ?1? ? + 4× ? ? × ? ? = ?10? ?10? ?10?

0.947 7.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元). ①安装1台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1, 对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000.

②安装2台发电机的情形.
依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5 000- 800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当 X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5 000×2=10 000,因此 P(Y=10 000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下 Y 4 200 10 000

P

0.2

0.8

所以,E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840.
基础诊断 考点突破 课堂总结

③安装3台发电机的情形. 依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P(Y=3 400)=P(40<X<80)=p1=0.2; 当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5 000×2-800=9 200,因此P(Y=9 200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7; 当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5 000×3=15 000,因 此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1.因此得Y的分布列如下 Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2台.
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

随机变量的均值反映了随机变量取值的平均

水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从

整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案
取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同, 再用方差来决定.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【训练3】 某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到

“低碳”项目上,现有两个项目供选择:

项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到 年底可能获利 30%,也可能亏损 15%,且这两种情况发生 7 2 的概率分别为 和 ; 9 9 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年 底可能获利 50%,可能损失 30%,也可能不赔不赚,且这 3 1 1 三种情况发生的概率分别为 , 和 . 5 3 15

基础诊断

考点突破

课堂总结

针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理 的项目,并说明理由.


列为

若按“项目一”投资,设获利为X1万元.则X1的分布
X1 P 300 7 9 -150 2 9

7 2 ∴E(X1)=300× +(-150)× =200(万元). 9 9

基础诊断

考点突破

课堂总结

若按“项目二”投资,设获利X2万元, 则X2的分布列为:

X2 P

500 3 5

-300 1 3

0 1 15

3 1 1 ∴E(X2)=500× +(-300)× +0× =200(万元). 5 3 15 7 2 2 D(X1)=(300-200) × +(-150-200) × =35 000, 9 9
2

3 1 2 D(X2)= (500 - 200) × + (- 300 - 200) × + (0 - 200)2 × 5 3
2

1 =140 000. 15
基础诊断 考点突破 课堂总结

所以E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2), 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.

基础诊断

考点突破

课堂总结

微型专题

概率的创新题型

近年来,概率统计已成为高考的重点、热点.注意考 查学生分析数据,提取信息,解决实际问题的应用能力.它 可以与其他知识相互融合,形成一些背景、样式新颖的题 型.

基础诊断

考点突破

课堂总结

【例4】 (2013· 四川卷)某算法的程序框图如图所示,其中输

入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机
产生.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率
Pi(i=1,2,3); (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程

序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的
频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数

30
? 2 100

14
? 1 027

6
? 376

10
? 697

基础诊断

考点突破

课堂总结

乙的频数统计表(部分)
运行次数n 30 ? 2 100 输出y的值 为1的频数 12 ? 1 051 输出y的值 输出y的值为 为2的频数 3的频数 11 ? 696 7 ? 353

当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编 程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表 示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的 可能性较大;

基础诊断

考点突破

课堂总结

(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值

为2的次数X的分布列及数学期望.
点拨 (1)运行程序框图,分别数出输出y的值为1,2,3 的数的个数,即事件包含的基本事件个数,利用古典概 型公式求解. (2)利用已知条件中频数统计表得出各小组频数,利用频

率公式得频率,再与(1)的结论比较,得出结论.

基础诊断

考点突破

课堂总结

k n- (3) 利用独立重复试验概率公式 P(X = k) = C k p (1 - p ) n k

(0≤k≤n)求出分布列,再用数学期望公式求解.



(1)变量 x 是在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中随机

产生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 1 12 个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 P1= ; 2 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时, 1 输出 y 的值为 2,故 P2= ; 3
基础诊断 考点突破 课堂总结

当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 1 3,故 P3= . 6 1 所以,输出 y 的值为 1 的概率为 ,输出 y 的值为 2 的概率 2 1 1 为 ,输出 y 的值为 3 的概率为 . 3 6
(2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=
1,2,3)的频率如下:

基础诊断

考点突破

课堂总结

甲 乙

输出 y 的值 为 1 的频率 1 027 2 100 1 051 2 100

输出 y 的值 输出 y 的值 为 2 的频率 为 3 的频率 376 697 2 100 2 100 696 353 2 100 2 100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要 求的可能性较大.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(3)随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3. 10 23 0 ? P(X=0)=C3× ? ×? ? =
?3? ? ? ?3? ? ? ?3? ? ? ?3? ?3? ? ? ?3? ? ? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ?

8 , 27 9 9

11 22 4 1 ? P(X=1)=C3× ? ×? ? = , 12 21 2 2 ? P(X=2)=C3× ? ×? ? = , 13 20 3 ? P(X=3)=C3× ? ×? ? = 1 . 27

基础诊断

考点突破

课堂总结

故X的分布列为
X P 0 8 27 1 4 9 2 2 9 3 1 27

8 4 2 1 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× =1. 27 9 9 27 即 X 的数学期望为 1.

基础诊断

考点突破

课堂总结

点评

(1)本题将程序框图,古典概型,独立重复试验及

随机变量分布列结合起来考查,具有一定的综合性,同 时形式也比较新颖.(2)本题注重考查学生的识图,用图 能力,数据处理能力,分析问题解决问题的能力等基本 能力.

基础诊断

考点突破

课堂总结

[思想方法]

1.掌握下述均值与方差有关性质,会给解题带来方便:
(1)E(aX+b)=aE(X)+b,E(X+Y)=E(X)+E(Y), D(aX+b)=a2D(X); (2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 2.基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,
可直接按定义(公式)求解;

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX

+b的均值、方差和标准差,可直接用均值、方差的性质
求解; (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分 布),可直接利用它们的均值、方差公式求解. [易错防范]

1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.
2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般要 将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求出随机变

量的分布列,然后按定义计算出随机变量的均值、方
差.
基础诊断 考点突破 课堂总结


相关文章:
2016高考详细分析
2016高考详细分析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016高考前分析 2016 高考前瞻——新课标Ⅰ卷【导语】 高考卷分全国卷和自主命题。全国卷又分新课标Ⅰ卷和新...
2016年全国高考卷一文综
2016年全国高考卷一文综_高考_高中教育_教育专区。2016年全国高考卷一文综 绝密★启封并使用完毕前 试题类型: 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科综合能力...
2016年高考全国一卷作文的解析
2016 年在高考作文备考中,任务驱动性作文是主角,老师、学生可能把主要的精力放在了 任务驱动性作文的训练和写作上,漫画作文的出现也并非“奇葩”,漫画只是一种形式...
2016高考必备素材:2015年十大时政作文素材
2016高考必备素材:2015年十大时政作文素材_计划/解决方案_实用文档。2016 高考必备素材:2015 年十大时政作文素材 2016 高考必备素材:2015 年十大时政作文素材 1....
2016高考历史核心考点
2016 高考历史核心考点 必修一 一、古代中国的政治制度★考点 1、西周时期的政治制度 西周的建立:公元前 BC1046 年(1)分封制 ①内容:周武王把王畿以外地区和...
2016上海高考语文(含答案)
2016上海高考语文(含答案)_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016上海高考语文(含答案)_高考_高中教育_教育专区。绝密★启封并使用完毕...
2016年高考地理专题复习
从 2015 年高考可以看出地形、气候、河流、农业、工业、城市、交通、自然灾害等这些主干知 识仍然 2016 年最有可能考查的知识。而作为地球运动内容,难度下降,不...
2016年高考新课标1文数试题及答案
2016高考新课标1文数试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2016高考新课标1文数试题及答案 绝密★启封并使用完毕前 试题类型: 2016 年普通高等学校招生全国统一...
【语文】_2016年高考语文答题技巧(非常有用,绝对精品)
【语文】_2016高考语文答题技巧(非常有用,绝对精品)_高考_高中教育_教育专区。【语文】 2015 年高考语文答题技巧(非常有用) 2015 年高考语文答题技巧现代文阅读...
2016广东高考全国卷考纲
2016广东高考全国卷考纲_高考_高中教育_教育专区。语文一、全国卷与广东卷的相同点 1.命题依据相同。 二者都是以 《普通高等学校招生全国统一考试语文考试大纲 (...
更多相关标签:
2016年高考 | 2016高考分数线 | 2016高考作文 | 高考没考上怎么办 | 高考前准备 | 国外高考 | 2016高考全国卷 | 2016高考时间 |