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2.3 等差数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)


2.3 等差数列的前n项和(一)

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掌握数列的前n项和的概念,会根据前n项和求 通项.理解并掌握等差数列的前n项和公式,掌握公 式的推证方法——倒序相加法,掌握等差数列前n项 和公式的简单应用.

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自学导引
1.一般地数列 an 的前 n 项和为 Sn=a1+a2+a3 +…+an,当 n≥2 时,Sn-1=a1+a2+…+an- 1,
? ? ∴an=? ? ?
? ? ? ? ? ?

?n=1? . ?n≥2?

答案:S1

Sn-Sn-1

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2.等差数列的前n项和公式Sn=________= ________.
n?a1+an? 答案: 2 n?n-1?d na1+ 2

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自主探究
1.推导等差数列的前n项和公式用了什么方 法?应用了等差数列的什么性质? 答案:倒序相加法.推导公式时用了等差数列 的一重要性质:当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 时,有am+an=ap+aq

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n?n-1? 2.在公式 Sn=na1+ d 中,Sn 一定是关于 2 n 的二次函数吗?

答案:不一定,若d=0,则有Sn=na1.

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预习测评
1.在等差数列 an 中,S10=120,那么 a1+a10=(
? ? ? ? ? ?

)

A.12

B.24

C.36

D.48

10?a1+a10? 解析:Sn= =120,∴a1+a10=24. 2

答案:B

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2.1+4+7+10+…+(3n+4)+(3n+7)等于(
n?3n+8? A. 2 ?n+3??3n+8? C. 2 ?n+2??3n+8? B. 2 n?3n-1? D. 2

)

解析:本题的项数为n+3项,这一点很关键. 答案:C

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3.若数列 an 的通项公式为 an=n,则其前 n 项 和 Sn= 1 A. n 2 C.n
2

? ? ?

? ? ?

( 1 2 B. n 2 1 2 1 D. n + n 2 2

)

?a1+an?n ?1+n?n 1 2 1 解析:Sn= = = n + n. 2 2 2 2
答案:D

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4.数列 2n-1 的前 4 项的和为( A.1 B.3 C.7

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

) D.16

1+?2n-1? 解析:Sn= · n=n2,所以 S4=16. 2
答案:D

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要点阐释
1.数列的前n项和
对于公式
?S 1 ? an=? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1? ?n≥2?

,一是理解掌

握公式得出的思想方法, 二是应用时注意检验 a1 是否 满足 n≥2 时的 an.

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2.等差数列的前n项和公式
(1)倒序相加法: 如果一个数列 an 中, 与首末两 项等距离的两项之和等于首末两项之和,可把正着 写和倒着写的两个式子相加,就得到一个常数列的 和.
? ? ? ? ? ?

(2)等差数列的前 n 项和公式 n?a1+an? ①公式 1:Sn= . 2 n?n-1? ②公式 2:Sn=na1+ d. 2

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(3)由等差数列的前n项和公式及通项公式可 知.若已知a1、d、n、an、Sn中三个便可求出其余的 两个,即“知三求二”,“知三求二”的实质是方程思 想,即建立方程或方程组求解.
(4)在运用等差数列的前 n 项和公式来求和时, 一 n?a1+an? 般地若已知首项 a1 及末项 an 用公式 Sn= 较 2 简便;若已知首项 a1 及公差 d 用公式 Sn =na1 + n?n-1? d 较好. 2

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典例剖析
题型一 利用Sn求an
【例 1】 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=3+2n,求 an.
? ? ? ? ? ?

解:∵Sn=3+2n, ∴Sn-1=3+2n 1,an=Sn-Sn-1 =2n-1(n≥2),而 a1=S1=5,
?5 ? ∴an=? n-1 ?2 ?


?n=1? ?n≥2?

.

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方法点评:a1=S1是求数列通项的必经之路,an =Sn-Sn-1,一般是针对n≥2时的自然数n而言的, 因此,要注意验证n=1时是否也适合,若不适合 时,则应分段写出通项公式.

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1.已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2+5n-1,求 数列的通项公式.

? ? ?

? ? ?

解:a1=S1=5, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1 =n2+5n-1-[(n-1)2+5(n-1)-1] =2n+4
而当 n=1 时,2n+4=6≠a1,
?5 ?n=1? ? ∴an=? ?2n+4 ?n≥2? ?

.

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题型二 等差数列前n项和公式的应用
【例 2】 在等差数列 an 中,
? ? ? ? ? ?

(1)已知d=3,an=20,Sn=65,求n; (2)已知a11=-1,求S21; (3)已知an=11-3n,求Sn.
解:(1)∵d=3,an=20,Sn=65, ?a1+an?n ∴由 Sn= , 2

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n[20-3?n-1?+20] 65= , 2 13 得 n=10,n= (舍去). 3 (2)∵a1+a21=2a11,a11=-1, ∴a1+a21=-2. 21?a1+a21? ∴S21= =-21. 2 (3)∵an=11-3n,∴a1=8, n?a1+an? 3 2 19 ∴Sn= =- n + n. 2 2 2

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方法点评:等差数列的通项公式,求和公式要 掌握并能熟练运用,特别是有关性质的灵活运用, 可以提高运算速度.

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2.(1)已知等差数列 an 的前 5 项之和为 25,第 8 项等于 15,求第 21 项. (2)等差数列-16,-12,-8,…,前几项的和 为 72?

? ? ?

? ? ?

解:(1)a1+a2+…+a5=5a3=25, ∴a3=5,∵a8=15, ∴d=2,∴an=2n-1,∴a21=41.
n?-16+4n-20? (2)an=4n-20,∴ =72. 2 ∴n=12.

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题型三 求数列的前n项和
3 2 【例 3】 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=- n + 2
? ? ? ? ? ?

205 n,求数列 |an | 的前 n 项和 Tn. 2 3 205 解:a1=S1=- ×12+ ×1=101.当 n≥2 时, 2 2
? ? ? ? ? ?

an=Sn-Sn-1
? 3 2 205 ? ? 3 ? 2 205 =?- n + n ?-?- ?n-1? + ?n-1?? 2 ? ? 2 2 ? 2 ?

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=-3n+104. ∵n=1也适合上式, ∴数列通项公式为an=-3n+104(n∈N*). 由an=-3n+104≥0,得n≤34.7. 即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0. (1)当n≤34时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an
3 2 205 =Sn=- n + n; 2 2

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(2)当n≥35时, Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn
3 205 3 2 205 2 =2(- ×34 + ×34)-(- n + n) 2 2 2 2 3 2 205 = n - n+3 502. 2 2

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? 3 2 205 ?-2n + 2 n 故 Tn=? ?3n2-205n+3 502 ?2 2

?n≤34且n∈N*? . ?n≥35且n∈N*?

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方法点评:此类求和问题先由an的正负去掉绝 对值符号,然后分类讨论转化为an求和问题,另 外,本题在利用前n项和Sn求an时,易忽视分n=1和 n≥2两种情况讨论,应引起注意.

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3.已知数列 an 中,Sn=-n2+10n,数列 bn 的每 一项都有 bn=|an|,求数列 bn 的前 n 项之和 Tn 的表达 式.

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

解:由Sn=-n2+10n得an=Sn-Sn-1=11-2n, n∈N*.验证a1=9成立. ∴当n≤5时,an>0,此时Tn=Sn=-n2+10n;

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当n>5时,an<0,此时Tn=2S5-Sn=n2-10n +50.

?-n2+10n ? Tn=? 2 ? n -10n+50 ?

?n≤5? ?n>5?

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误区解密 对定义把握不准
【例4】 已知一个数列的前n项和为Sn=n2+n -1,求它的通项公式,问它是等差数列吗?
错解:an=Sn-Sn- 1=(n2+n-1)-[(n-1)2+ (n-1)-1]=2n,又 an-an-1=2n-2(n-1)=2, 即数列每一项与前一项的差是同一个常数,∴ an 是等差数列.
? ? ? ? ? ?

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错因分析:已知数列的前n项和Sn,求数列的通 项an时,需分类讨论,即分n≥2与n=1两种情况. 正解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)- [(n-1)2+(n-1)-1]=2n; ?1,n=1 ? 当 n=1 时,a1=S1=1,∴an=? . ?2n,n≥2 ?
∵a2-a1=4-1=3≠2,

∴数列中每一项与前一项的差不是同一个常数, ∴不是等差数列.

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课堂总结
?推导方法:倒序相加法 ? ?公式Sn=na1+n?n-1? d;Sn=n?a1+an? 2 2 等差数列? ? ?利用公式求和?知三求二? 前n项和 ? ? ?应用? 等差数列 an ,求 |an | 的和 ? ? ? 简单应用 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?


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