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高中数学竞赛辅导讲义第十三章 排列组合与概率


第十三章
一、基础知识

排列组合与概率

1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的 方法,在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方 法。 2.乘法原理:做一件事,完成它需要分 n 个步骤,

第 1 步有 m1 种不 同的方法,第 2 步有 m2 种不同的方法,……,第 n 步有 mn 种不同的 方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照 一定顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列, 从 n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)元素的所有排列个数, 叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 Anm 表示, Anm =n(n-1)… (n-m+1)=
n! ,其中 m,n∈N,m≤n, (n - m)!

注:一般地 An0 =1,0!=1, Ann =n!。 4.N 个不同元素的圆周排列数为
n An =(n-1)!。 n

5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元 素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集合的一个子集。从 n 个

不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数,用 C nm 表示:
m Cn =

n(n - 1) L (n - m + 1) n! = . m! m!(n - m)!

6.组合数的基本性质: (1) C nm = C nn -m ; (2) C nm-1 = C nm + C nn-1 ; (3)
n k -1 k C n -1 = C n k

; ( 4 )

n k 0 1 Cn + Cn + L + Cn = ? Cn = 2 n k =0

n

; ( 5 )

+1 -k C kk + C kk-1 + L + C kk+ m = C kk+ m +1 ; (6) C nk C km = C nn-m 。

7.定理 1:不定方程 x1+x2+…+xn=r 的正整数解的个数为 C rn--11 。 [证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A, 不定方程 x1+x2+…+xn=r 的正整数解构成的集合为 B,A 的每个装法对 应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因 此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,…,xn),将 xi 作为第 i 个盒子中 球的个数,i=1,2,…,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射,所以是 一一映射,将 r 个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个 空格中选 n-1 个,将球分 n 份,共有 C rn--11 种。故定理得证。 推论 1 推论 2 不定方程 x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数为 C nr+ r -1 . 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n

个不同元素的 m 可重组合,其组合数为 C nm+ m-1 . 8 . 二 项 式 定 理 : 若 n ∈ N+, 则

1 (a+b)n= C n0 a n + C n a n -1b + C n2 a n -2 b 2 + L + C nr a n -r b r + LC nn b n . 其 中 第 r+1 项

Tr+1= C nr a n -r b r , C nr 叫二项式系数。 9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事 件。 在大量重复进行同一试验时, 事件 A 发生的频率
m 总是接近于某 n

个常数, 在它附近摆动, 这个常数叫做事件 A 发生的概率, 记作 p(A),0 ≤p(A)≤1. 10.等可能事件的概率, 如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果, 其中事件 A 包含的结果有 m 种,那么事件 A 的概率为 p(A)= . 11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不 相容事件。如果事件 A1,A2,…,An 彼此互斥,那么 A1,A2,…,An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An). 12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫 对立事件,记 A 的对立事件为 A 。由定义知 p(A)+p( A )=1. 13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的 概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概 率, 等于每个事件发生的概率的积。 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1, 即 A2,…,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率为 p(A1?A2? … ?An)=p(A1)?p(A2)? … ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖
m n

于其他各次试验的结果,则称这 n 次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p, 那么在 n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= C nk ?pk(1-p)n-k. 17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量 来表示,那么这样的变量叫随机变量,例如一次射击命中的环数ξ就 是一个随机变量,ξ可以取的值有 0,1,2,…,10。如果随机变量的可 能取值可以一一列出,这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地, 设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1,x2,…,xi,…,ξ取每一 个值 xi(i=1,2,…)的概率 p(ξ=xi)=pi,则称表 ξ p x1 p1 x2 p2 x3 p3 … … xi pi … …

为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列,称 Eξ=x1p1+x2p2+… +xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望,称 Dξ=(x1-E ξ)2?p1+(x2-Eξ)2?p2+…+(xn-Eξ)2pn+…为ξ的均方差,简称方差。
Dx 叫随机变量ξ的标准差。

18.二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次 独 立 重 复 试 验 中 , 这 个 事 件 恰 好 发 生 k 次 的 概 率 为 p( ξ =k)= C nk p k q n -k , ξ的分布列为

ξ p

0
0 Cn p 0 q n

1
1 C n p 1 q n -1

… …

xi
k C n p k q n-k

… …

N
n Cn p n

此时称ξ服从二项分布, 记作ξ~B(n,p).若ξ~B(n,p), Eξ=np,D 则 ξ=npq,以上 q=1-p. 19.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的 次数ξ也是一个随机变量,若在一次试验中该事件发生的概率为 p, 则 p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…),ξ的分布服从几何分布,Eξ= ,Dξ =
q (q=1-p). p2 1 p

二、方法与例题 1.乘法原理。 例1 有 2n 个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,

有多少种不同的结对方式? [解] 将整个结对过程分 n 步,第一步,考虑其中任意一个人的配对

者,有 2n-1 种选则;这一对结好后,再从余下的 2n-2 人中任意确定 一个。第二步考虑他的配对者,有 2n-3 种选择,……这样一直进行 下去,经 n 步恰好结 n 对,由乘法原理,不同的结对方式有 (2n-1)×(2n-3)×…×3×1=
(2n)! . 2 n × (n!)

2.加法原理。 例2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断路

的可能性共有几种? [解] 断路共分 4 类:1)一个电阻断路,有 1 种可能,只能是 R4;2)

有 2 个电阻断路,有 C 42 -1=5 种可能;3)3 个电阻断路,有 C 43 =4 种; 4)有 4 个电阻断路,有 1 种。从而一共有 1+5+4+1=11 种可能。 3.插空法。 例3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈, 要求每两个舞蹈之间至少安

排一个演唱,有多少种不同的安排节目演出顺序的方式? [解] 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 A66 种排法, 再从演唱节目之

间和前后一共 7 个位置中选出 4 个安排舞蹈有 A74 种方法,故共有
6 A6 ? A74 =604800 种方式。

4.映射法。 例4 如果从 1,2,…,14 中,按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3 使同

时满足: 2-a1≥3,a3-a2≥3, a 那么所有符合要求的不同取法有多少种? [解] 设 S={1,2,…,14},S ' ={1, …, 2, 10}; T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3

' ' ' ∈S,a2-a1 ≥3,a3-a2 ≥3}, T ' ={( a1' , a 2 , a3' )∈ S ' | a1' , a 2 , a3' ? S ' , a1' < a 2 < a3' }, ' ' 若 (a1' , a 2 , a3' ) ? T ' ,令 a1 = a1' , a 2 = a 2 + 2, a3 = a3' + 4 ,则(a1,a2,a3)∈T,这样

就建立了从 T ' 到 T 的映射,它显然是单射,其次若(a1,a2,a3)∈T,令
' ' ' ' a1 = a1' , a 2 = a 2 - 2, a3 = a3 - 4 ,则 (a1' , a 2 , a3 ) ? T ' ,从而此映射也是满射,

3 因此是一一映射,所以|T|= | T ' |= C10 =120,所以不同取法有 120 种。

5.贡献法。 例5 已知集合 A={1,2,3,…,10},求 A 的所有非空子集的元素

个数之和。 [解] 设所求的和为 x,因为 A 的每个元素 a,含 a 的 A 的子集有 29

个,所以 a 对 x 的贡献为 29,又|A|=10。所以 x=10×29. [另解]
k A 的 k 元子集共有 C10 个,k=1,2,…,10,因此,A 的子集的 9

1 2 10 1 元素个数之和为 C10 + 2C10 + L + 10C10 = 10(C90 + C9 + L + C99 ) = 10×2 。

6.容斥原理。 例6 由数字 1,2,3 组成 n 位数(n≥3),且在 n 位数中,1,2,3

每一个至少出现 1 次,问:这样的 n 位数有多少个? [解] 用 I 表示由 1,2,3 组成的 n 位数集合,则|I|=3n,用 A1,A2,

A3 分别表示不含 1,不含 2,不含 3 的由 1,2,3 组成的 n 位数的集 合, 则|A1|=|A2|=|A3|=2n, 1 I A2|=|A2 I A3|=|A1 I A3|=1。 1 I A2 I A3|=0。 |A |A 所以由容斥原理|A1 U A2 U A3|= ? | Ai | - ? | Ai I A j |+ | A1 I A2 I A3 | =3×
i =1 i? j 3

2n-3.所以满足条件的 n 位数有|I|-|A1 U A2 U A3|=3n-3×2n+3 个。 7.递推方法。 例7 用 1,2,3 三个数字来构造 n 位数,但不允许有两个紧挨着的

1 出现在 n 位数中,问:能构造出多少个这样的 n 位数?

[解]

设能构造 an 个符合要求的 n 位数, a1=3, 则 由乘法原理知 a2=3

×3-1=8.当 n≥3 时:1)如果 n 位数的第一个数字是 2 或 3,那么这 样的 n 位数有 2an-1;2)如果 n 位数的第一个数字是 1,那么第二位 只能是 2 或 3,这样的 n 位数有 2an-2,所以 an=2(an-1+an-2)(n≥3).这 里数列{an}的特征方程为 x2=2x+2,它的两根为 x1=1+ 3 ,x2=1- 3 ,故
n n an=c1(1+ 3 ) + c2(1+ 3 ) ,由 a1=3,a2=8 得 c1 =

2+ 3 2 3

, c2 =

3-2 2 3

,所以

an =

1 4 3

[(1 + 3 ) n + 2 - (1 - 3 ) n + 2 ].

8.算两次。 例8
r 1 r r 0 m,n,r∈N+,证明: C r = C n0 C m + C n C m-1 + C n2 C m-2 + L + C nr C m .
n+m



[证明]

从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 C nr+ m 种;另一方

r 面,从这 n+m 人中选出 k 位太太与 r-k 位先生的方法有 C nk C m-k 种,

k=0,1, … ,r 。 所 以 从 这 n+m 人 中 选 出 r 位 的 方 法 有
0 r 1 r r 0 C n C m + C n C m-1 + L + C n C m 种。综合两个方面,即得①式。

9.母函数。 例9 一副三色牌共有 32 张,红、黄、蓝各 10 张,编号为 1,2,…,

10,另有大、小王各一张,编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌, 按如下规则计算分值: 每张编号为 k 的牌计为 2k 分, 若它们的分值之 和为 2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。 [解] 对于 n∈{1,2,…,2004},用 an 表示分值之和为 n 的牌组的数
0 1 10

目,则 an 等于函数 f(x)=(1+ x 2 )2?(1+ x 2 )3?…?(1+ x 2 )3 的展开式中

xn 的 系 数 ( 约 定 |x|<1 ) 由 于 f(x)= , ?(1+ x 2 )]3=
10

0 1 1 [ (1+ x 2 )(1+ x 2 )? … 1+ x

11 11 1 1 3 3 (1 - x 2 ) = (1 - x 2 ) 。 3 2 2 (1 + x)(1 - x) (1 - x )(1 - x)

而 0≤2004<211,所以 an 等于 于

1 的展开式中 xn 的系数,又由 2 (1 - x )(1 - x)
2

1 1 1 = =(1+x2+x3+ … +x2k+ … )[1+2x+3x2+ … ? 2 2 2 (1 - x )(1 - x) (1 - x) 1- x
2

+(2k+1)x2k+ … ], 所 以

x2k 在 展 开 式 中 的 系 数 为

a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,从而,所求的“好牌”组的个 数为 a2004=10032=1006009. 10.组合数 C nk 的性质。 例 10 [证明]
ti

证明: C 2k -1 是奇数(k≥1).
m

k C 2m -1 =

(2 m - 1)(2 m - 2) L (2 m - 1 - k + 1) 2 m - 1 2 m - 2 2m - k = × ×L× ×令 1× 2 ×L× k 1 2 k

t 2 m - ti - p i 2 m - i 2m - 2 i p i i= 2 ?pi(1≤i≤k),pi 为奇数,则 = = ,它的 i pi 2 ti p i

分子、分母均为奇数,因 C 2k -1 是整数,所以它只能是若干奇数的积,
m

即为奇数。 例 11 [证明] 对 n≥2,证明: 2 n < C 2nn < 4 n. 1)当 n=2 时,22< C 42 =6<42;2)假设 n=k 时,有 2k< C 2kk <4k,
[2(k + 1)]! 2 ? (2k + 1)! 2(2k + 1) k = = × C2k . (k + 1)!(k + 1)! (k + 1)!×k! k +1

当 n=k+1 时,因为 C 2k(+k1+1) = 又2 <

2(2k + 1) <4,所以 2k+1< 2C 2kk < C 2k(+k1+1) < 4C 2kk < 4 k +1 . k +1

所以结论对一切 n≥2 成立。 11.二项式定理的应用。 例 12
1 若 n∈N, n≥2,求证: 2 < ?1 + ? < 3. ? ÷ è n? 1 1 1 1 1 首 先 ?1 + ? = C n0 + C n × + C n2 × 2 + L + C nn × n > 2, 其 次 因 为 ? ÷ n n n è n?
n n n

[证明]
k Cn ×

1 n(n - 1) L (n - k + 1) 1 1 1 1 ? 1? = < ? = - (k ? 2) ,所以 ?1 + ÷ = k k k! k (k - 1) k - 1 k n n × k! è n? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n + L + Cn × n < 2 + - + - + L + - = 3 - < 3. 得证。 2 1 2 2 3 n -1 n n n n

2+ C n2 × 例 13

证明: ? C nm--kh × C kh = C nm++1 (h ? m ? n). 1
k =0

n

[证明]

首先,对于每个确定的 k,等式左边的每一项都是两个组合

数的乘积,其中 C nm--kh 是(1+x)n-k 的展开式中 xm-h 的系数。 C kh 是(1+y)k 的展开式中 yk 的系数。从而 C nm--kh ? C kh 就是(1+x)n-k?(1+y)k 的展开式中 xm-hyh 的系数。 于是, ? C nm--kh × C kh 就是 ? (1 + x) n -k (1 + y ) k 展开式中 xm-hyh 的系数。
k =0 k =0 n n

另一方面, ? (1 + x) n -k (1 + y ) k =
k =0 n +1 k k n +1

n

(1 + x) n +1 - (1 + y ) n +1 = (1 + x) - (1 + y )

?C
k =0

n +1

k n +1

k x k - ? C n +1 y k k =0

n +1

x- y

=

x k - y k n +1 k k-1 k-2 k-1 m-h h ? C x ? x - y = ? C n+1 (x +x y+…+y ),上式中,x y 项的系数 k =0 k =0

恰为 C nm++1 。 1 所以 ? C nm--kh × C kh = C nm++1 . 1
k =0 n

12.概率问题的解法。 例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品,采用有放回的抽样

方式从中抽取 n 件产品,问:恰好有 k 件是次品的概率是多少? [解] 把 k 件产品进行编号,有放回抽 n 次,把可能的重复排列作为 基本事件,总数为(a+b)n(即所有的可能结果) 。设事件 A 表示取出 的 n 件产品中恰好有 k 件是次品,则事件 A 所包含的基本事件总数 为 C ?a b
k n

k n-k

k C n a k b n-k . ,故所求的概率为 p(A)= ( a + b) n

例 15

将一枚硬币掷 5 次,正面朝上恰好一次的概率不为 0,而且与

正面朝上恰好两次的概率相同,求恰好三次正面朝上的概率。 [解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为 p,则掷 5 次恰好有 k 次正面 朝 上 的 概 率 为 C5k p k (1-p)5-k(k=0,1,2, … ,5) , 由 题 设
1 C 52 p 2 (1 - p ) 3 = C 5 p(1 - p ) 4 ,且 0<p<1,化简得 p =

1 ,所以恰好有 3 次正 3

1 2 40 面朝上的概率为 C ? ? ? ? ? = . ? ÷ ? ÷ 343 è3? è 3?
3 5

3

2

例 16

甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜

的概率为 0.6,乙胜的概率为 0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜 制,问:在哪一种比赛制度下,甲获胜的可能性大? [解] (1)如果采用三局两胜制,则甲在下列两种情况下获胜:A1— 2:0(甲净胜二局) 2—2:1(前二局甲一胜一负,第三局甲胜). ,A
1 p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= C 2 ×0.6×0.4×0.6=0.288.

因为 A1 与 A2 互斥,所以甲胜概率为 p(A1+A2)=0.648. (2)如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜:B1—3:0(甲 净胜 3 局) 2—3:1(前 3 局甲 2 胜 1 负,第四局甲胜) 3—3:2 ,B ,B (前四局各胜 2 局,第五局甲胜) 。因为 B1,B2,B2 互斥,所以甲胜概 率为 p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+ C32 ×0.62×0.4×0.6+ C 42 × 0.62×0.42×0.6=0.68256. 由(1)(2)可知在五局三胜制下,甲获胜的可能性大。 , 例 17 有 A,B 两个口袋,A 袋中有 6 张卡片,其中 1 张写有 0,2 张

写有 1,3 张写有 2;B 袋中有 7 张卡片,其中 4 张写有 0,1 张写有 1,2 张写有 2。从 A 袋中取出 1 张卡片,B 袋中取 2 张卡片,共 3 张 卡片。求: (1)取出 3 张卡片都写 0 的概率; (2)取出的 3 张卡片数 字之积是 4 的概率; (3)取出的 3 张卡片数字之积的数学期望。
1 2 1 1 1 1 2 C 2 × C 2 + C 3 × C1 × C 2 C1 × C 4 1 4 = ; (3)记ξ (2) p = [解](1) p = 1 2 = ; 1 2 63 C 6 × C 7 21 C6 × C7

为取出的 3 张卡片的数字之积,则ξ的分布为 ξ p 0
37 42

2
2 63

4
4 63

8
1 42

所以 Ex = 0 ?

37 2 4 1 32 + 2? + 4? + 8? = . 42 63 63 42 63

三、基础训练题

1.三边长均为整数且最大边长为 11 的三角形有_________个。 2 . 在 正 2006 边 形 中 , 当 所 有 边 均 不 平 行 的 对 角 线 的 条 数 为 _________。 3.用 1,2,3,…,9 这九个数字可组成_________个数字不重复且 8 和 9 不相邻的七位数。 4.10 个人参加乒乓球赛,分五组,每组两个人有_________种分组 方法。 5.以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 6.今天是星期二,再过 101000 天是星期_________。 7.由 ( 3 x + 3 2 )100 展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的共有 _________项。 8.如果凸 n 边形(n≥4)的任意三条对角线不共点,那么这些对角线 在凸 n 边形内共有_________个交点。 9. 袋中有 a 个黑球与 b 个白球, 随机地每次从中取出一球 (不放回) , 第 k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率为_________。 10.一个箱子里有 9 张卡片,分别标号为 1,2,…,9,从中任取 2 张,其中至少有一个为奇数的概率是_________。 11.某人拿着 5 把钥匙去开门,有 2 把能打开。他逐个试,试三次之 内打开房门的概率是_________。

12.马路上有编号为 1,2,3,…,10 的十盏路灯,要将其中三盏关 掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,则 满足条件的关灯方法种数是_________。 13.a,b,c,d,e 五个人安排在一个圆桌周围就坐,若 a,b 不相邻有 _________种安排方式。
i 14. 已知 i,m,n 是正整数, 1<i≤m≤n。 且 证明: (1)n i Am < m i Ani ; (2)

(1+m)n>(1+n)m. 15.一项“过关游戏”规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所得到的点数之和大于 2n,则算过关。问: (1)某人在这项 游戏中最多能过几关?(2)他连过前三关的概率是多少?(注:骰 子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体) 四、高考水平训练题 1.若 n∈{1,2,…,100}且 n 是其各位数字和的倍数,则这种 n 有 __________个。 2.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取 3 个不同元素作为二次函数 y=ax2+bx+c 的系数,能组成过原点,且顶点在第一或第三象限的抛物 线有___________条。 3.四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中任取 4 个不共面的 点,有_________种取法。 4.三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中的

任意一个,经 5 次传球后,球仍回到甲手中的传法有_________种。 5.一条铁路原有 m 个车站(含起点,终点) ,新增加 n 个车站(n>1) , 客运车票相应地增加了 58 种,原有车站有_________个。
? 1 ? 6.将二项式 ? x + 4 ÷ 的展开式按降幂排列,若前三项系数成等差 ? ÷ 2 x? è
n

数列,则该展开式中 x 的幂指数是整数的项有_________个。 7.从 1 到 9 这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数, 共可得到_________种不同的对数值。 8.二项式(x-2)5 的展开式中系数最大的项为第_________项,系数最 小的项为第_________项。 9.有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的 5 节,每 节用红、 蓝三色之一涂色, 黄、 可以有_________种颜色不同的圆棒? (颠倒后相同的算同一种) 10.在 1,2,…,2006 中随机选取 3 个数,能构成递增等差数列的 概率是_________。 11.投掷一次骰子,出现点数 1,2,3,…,6 的概率均为 ,连续 掷 6 次,出现的点数之和为 35 的概率为_________。 12. 某列火车有 n 节旅客车厢, 进站后站台上有 m(m≥n)名旅客候车, 每位旅客随意选择车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是 _________。
1 6

13. 某地现有耕地 10000 公顷, 规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%, 人均粮食占有量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地 平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 1 公顷)?(粮食单产 =
总产量 ) 耕地面积

五、联赛一试水平训练题 1.若 0<a<b<c<d<500,有_________个有序的四元数组(a,b,c,d) 满足 a+d=b+c 且 bc-ad=93. 2.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3} 中的 3 个不同的元素,并且该直线倾斜角为锐角,这样的直线条数是 _________。 3.已知 A={0,1,2,3,4,5,6,7},映射 f:A→A 满足: (1)若 i ≠j,则 f(i)≠f(j); (2)若 i+j=7,则 f(i)+f(j)=7,这样的映射 的个数为_________。 4.1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 具有性质:对于 1≤i≤ 4,a1,a2,…,ai 不构成 1,2,…,i 的某个排列,这种排列的个数是 _________。 5.骰子的六个面标有 1,2,…,6 这六个数字,相邻两个面上的数 字之差的绝对值叫变差,变差的总和叫全变差 V,则全变差 V 的最大 值为_________,最小值为_________。 6.某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3

名选手各比赛 2 场之后就退出了,这样,全部比赛只进行 50 场,上 述三名选手之间比赛场数为_________。 7.如果 a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}且 a≠b,b≠c,c≠d, d≠a;且 a 是 a,b,c,d 中的最小值,则不同的四位数 abcd 的个数为_________。 8.如果自然数 a 各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数” ,将所 有 的 吉 祥 数 从 小 到 大 排 成 一 列 a1,a2,a3, … , 若 an=2005 , 则 an=_________。 9.求值: ? (-1) k -1
k =1 2 n -1

n-k =_________。 k C2n 1 6

10.投掷一次骰子,出现点数 1,2,…,6 的概率均为 ,连续掷 10 次,出现的点数之和是 30 的概率为_________。 11.将编号为 1,2,…,9 这九个小球随机放置在圆周的九个等分点 上,每个等分点上各有一个小球,设周围上所有相邻两球的号码之差 的绝对值之和为 S,求 S 达到最小值的放法的概率(注:如果某种放 法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合,则认为是相同的放法) 。 12. 甲、 乙两人轮流向同一目标射击, 第一次甲射击, 以后轮流射击, 甲每次击中的概率为 p(0<p<1),乙每次击中的概率为 q(0<q<1),求 甲、乙首先击中的概率各是多少? 13 . 设 m,n ∈ N,0<m ≤ n , 求 证 :

m m m m n+ m 2 n - m C m + 2 n - m -1 C m +1 + L + 2 0 C n = C n ++1 + C n +12 + …+ C n ++1 . 1 1

六、联赛二试水平训练题

1.100 张卡片上分别写有数字 1 到 100,一位魔术师把这 100 张卡片 放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里,每个盒子里至少放 入一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个,并从中各选取一张卡片,然后宣布 这两张卡片上的两个数的和数,魔术师知道这个和数之后,便能够指 出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问:共有多少种放卡片的方 法,使得这个魔术师总能够成功?(如果至少有一张卡片被放入不同 颜色的盒子,两种方法被认为是不同的) 2.设 S={1,2,…,10},A1,A2,…,Ak 是 S 的 k 个子集合,满足: (1) |Ai|=5,i=1,2,…,k;(2)|Ai I Aj|≤2,1≤i<j≤k,求 k 的最大值。 3.求从集合{1,2,…,n}中任取满足下列条件的 k 个数{j1,j2,…,jk} 的组合数; (1)1≤j1<j2<…<jk≤n; (2)jh+1-jh≥m,h=1,2,…,k-1, 其中 m>1 为固定的正整数; (3)存在 h0,1≤h0≤k-1,使得 j h -1 - j h ≥
0 0

m+1. 4.设 n = 2 S + 2 S + L + 2 S ,其中 S1, 2, Sm 都是正整数且 S1<S2<…<Sm, S …,
1 2 m

1 1 求证组合数 C n , C n ,L, C nn 中奇数的个数等于 2m。

5.

n(n + 1) 个不同的数随机排成图 13-2 所示的三角形阵, Mk 是从上 设 2

往下第 k 行中的最大数,求 M1<M2<…<Mn 的概率。 6.证明:
n - r +1 k =1

? kC

r -1 n-k

r +1 = C n +1 .


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