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北京市海淀区2016届高三上学期期末考试数学理试题


海淀区高三年级第一学期期练习

数学(理科)2016.1
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项。 1. 已知 (1 ? bi)i ? ?1 ?

i( b ? R) ,则 b 的值为 A. 1 B. ?1 C. i D. ?i

2. 抛物线 x 2 ? 4 y 的准线与 y 轴的交点的坐标为 A. (0, ? )

1 2

B. (0, ?1)

C. (0, ?2)

D. (0, ?4)
D

E

???? ??? ? ??? ? 3. 如图,正方形 ABCD 中, E 为 DC 的中点,若 AD ? ? AC ? ? AE ,
则 ? ? ? 的值为 A. 3 B. 2 C. 1 D. ?3

C

A

B

4. 某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的 a 值为 1,则输 出的 a 值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

开始 输入

5. 已知数列 A : a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,其中 ai ?{?1,0,1}, i ? 1,2,3,4,5 , 则 满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3 的不同数列 A 一共有


A. 15 个

B. 25 个

C. 30 个

D. 35 个
输出



6. 已知圆 C: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 直线 l1 : y ? 3 x , l2 : y ? kx ? 1 若 l1 , l2 被圆 C 所截得的弦的长度之比为 1 : 2 ,则 k 的值为 A.

结束

3

B.1

C.

1 2

D.

3 3

? x ? y +2 ? 0, ? 7. 若 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? y ? 2 | x | 的最大值为 ? y ? 0, ?
A. ?8 B. ?4 C. 1 D. 2

8. 已知正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , 记过点 A 与三条直线 AB, AD, AA ' 所成角都相等的直线条数为 m , 过点 A 与三个平面 ..AB ', AC , AD ' 所成角都相等的直线的条数为 n ,则下面结论正确的是 A. m ? 1, n ? 1 C. m ? 3, n ? 4 B. m ? 4, n ? 1 D. m ? 4, n ? 4

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 已知双曲线 x 2 ? 10. 在 ( x ?

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线过点 (1,2) ,则 b ? ___, 其离心率为 __. b2

1 6 ) 的展开式中,常数项为____.(用数字作答) x2
2 2 主视图 1 1 左视图

11. 已知等比数列 ?an ? 的公比为 2 ,若 a2 ? a3 ? 4 ,则 a1 ? a4 ? ___. 12. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥中最长棱的棱长为 ___. 13. 已知函数 f ( x ) ? ? 则 a ? __. 14. 已知 ?ABC ,若存在 ?A1 B1C1 ,满足 一个“友好”三角形.

?2 x ? a, x ? 0, ? 2 ? ? x ? ax, x ? 0.

若 f ( x ) 的最小值是 a ,
俯视图

cos A cos B cos C ? ? ? 1 ,则称 ?A1 B1C1 是 ?ABC 的 sin A1 sin B1 sin C1

(i) 在满足下述条件的三角形中,存在“友好”三角形的是____:(请写出符合要求的条件的 序号) ① A ? 90? , B ? 60? , C ? 30? ;② A ? 75? , B ? 60? , C ? 45? ; ③ A ? 75? , B ? 75? , C ? 30? . (ii) 若等腰 ?ABC 存在“友好”三角形,且其顶角的度数为___.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 2 cos x sin( x ? ) ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [

π 4

π π , ] 上的最大值与最小值的和. 12 6

16. (本小题满分 13 分) 已知某种动物服用某种药物一次后当天出现 A 症状的概率为 . 为了研究连续服用该 药物后出现 A 症状的情况,做药物试验.试验设计为每天用药一次,连续用药四天为一个用 药周期. 假设每次用药后当天是否出现 A 症状的出现与上次用药无关. (Ⅰ)如果出现 A 症状即停止试验”,求试验至多持续一个用药周期的概率; (Ⅱ)如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次 A 症状,则这个用药周期结束后终止试验,试验至多 持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为 ? ,求 ? 的期望.

1 3

17. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PB ? 底面 ABCD , 底面 ABCD 为梯形,AD ??BC ,AD ? AB , 且 PB ? AB ? AD ? 3, BC ? 1 . (Ⅰ)若点 F 为 PD 上一点且 PF ? PD , 证明: CF ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求二面角 B ? PD ? A 的大小; (Ⅲ)在线段 PD 上是否存在一点 M ,使得 CM ? PA ? 若存在,求出 PM 的长;若不存在,说明理由.
B C A P

1 3

F

D

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? kx ? (k ? 1)ln x ? (Ⅰ)当 k ?

1 . x

1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; 2

(Ⅱ)求证:当 0 ? k ? 1 时,关于 x 的不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解. (其中 e ? 2.71828? )

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 W :

x2 y2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左顶点 A 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 16 上. 2 a b 2
y

(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q . 是否存在点 P ,使得

| PQ | ? 3? | AP |

A

O

B

x

若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 若实数数列 {an } 满足 an?2 ? an?1 ? an (n ? N* ) ,则称数列 {an } 为“ P 数列”. (Ⅰ)若数列 {an } 是 P 数列,且 a1 ? 0, a4 ? 1 ,求 a 3 , a 5 的值; (Ⅱ) 求证:若数列 {an } 是 P 数列,则 {an } 的项不可能全是正数,也不可能全是负数; (Ⅲ) 若数列 {an } 为 P 数列,且 {an } 中不含值为零的项,记 {an } 前 2016 项中值为负数的项的个数 为 m ,求 m 所有可能取值.

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学(理科) 2016.1 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11 12 13 14 ②; 45?

2; 5

15

6

2 3

?4

说明:第 9,14 题第一空 3 分,第二空 2 分 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? 2 2 cos x sin( x ? ) ? 1

π 4

? 2 2 cos x[

2 (sin x ? cos x )] ? 1 …………………………….1 分 2

? 2cos x(sin x ? cos x ) ? 1 ? 2cos x sin x ? 2cos2 x ? 1 …………………………….5 分
(两个倍角公式,每个各 2 分)

? sin 2 x ? cos 2 x

π ? 2 sin(2 x ? ) …………………………….6 分 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 分

2π ?π. |? |

…………………………….7

π π π π π π π , ] ,所以 2 x ?[ , ] ,所以 (2 x ? ) ?[? , ] . ………………………….8 分 12 6 6 3 4 12 12 π π π …………………………….10 分 当 2 x ? ? ? 时,函数 f ( x ) 取得最小值 2 sin( ? ) ; 4 12 12 π π π …………………………….12 分 当 2x ? ? 时,函数 f ( x ) 取得最大值 2 sin , 4 12 12
(Ⅱ)因为 x ? [

π π ) ? 2 sin( ) ? 0 , 12 12 π π 所以函数 f ( x ) 在区间 [ , ] 上的最大值与最小值的和为 0 . …………………………….13 分 12 6
因为 2 sin(?

16.解: …………………………….1 (Ⅰ) 设持续 i 天为事件 Ai , i ? 1,2,3,4 , 用药持续最多一个周期为事件 B , 分

1 2 3 3 65 ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? . 则 P( B) ? P( A1) 81

所以 P( A1 ) ? ,P( A2 ) ? ? ,P( A3 ) ? ? ( )2,P( A4 ) ? ? ( )3 ,…………………………….5 分 …………………………….6 分

1 3

1 2 3 3

1 2 3 3

法二:设用药持续最多一个周期为事件 B ,则 B 为用药超过一个周期,…………………………….1 分

16 , 81 2 65 . 所以 P( B) ? 1 ? ( )4 ? 3 81
所以 P( B) ? ( )4 ? (Ⅱ)随机变量 ? 可以取 1, 2 ,…………………………….7 分 所 以

2 3

…………………………….3 分 …………………………….6 分

P(? ?

3 ? C4

1 3

?

?1

3

2 3

) ,

1 3

4

P(? ? 2) ? 1 ?


1 8 ? , 9 9

…………………………….11 分 以 …………………………….13

1 E? ? 1? ? 2 ? ? . 9 9 9
分 17.解: (Ⅰ)过点 F 作 FH ?? AD ,交 PA 于 H ,连接 BH , 因为 PF ?

8

P H F

1 1 PD ,所以 HF ? AD ? BC .…………………………….1 分 3 3
B

A

D

又 FH ?? AD , AD ??BC ,所以 HF ? BC .…………………………….2 分 所以 BCFH 为平行四边形, 所以 CF ? BH .…………………………….3 分

C

又 BH ? 平面 PAB , CF ? 平面 PAB ,………………….4 分(一个都没写的,则这 1 分不给)

所以 CF ? 平面 PAD .

…………………………….5 分
P

z

(Ⅱ)因为梯形 ABCD 中, AD ??BC , AD ? AB ,所以 BC ? AB . 因为 PB ? 平面 ABCD ,所以 PB ? AB,PB ? BC ,

F y A B C x D

如图,以 B 为原点,

BC , BA, BP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,…………………………….6 分
所以 C (1,0,0), D(3,3,0), A(0,3,0), P(0,0,3) . 设平面 BPD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,平面 APD 的一个法向量为 m ? (a, b, c) , 因为 PD ? (3,3, ?3), BP ? (0,0,3),

?

??

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ?3 x ? 3 y ? 3z ? 0 ? PD ? n ? 0 ? ? 所以 ? ??? ,即 ? ,…………………………….7 分 ? ?3z ? 0 ? BP ? n ? 0
取 x ? 1 得到 n ? (1, ?1,0) ,…………………………….8 分 同理可得 m ? (0,1,1) ,…………………………….9 分

?

??

? ?? ? ?? n?m 1 所以 cos ? n, m ?? ? ?? ? ? ,…………………………….10 分 2 | n || m |
因为二面角 B ? PD ? A 为锐角,

π .…………………………….11 分 3 ???? ? ??? ? (Ⅲ)假设存在点 M ,设 PM ? ? PD ? (3? ,3? , ?3? ) ,
所以二面角 B ? PD ? A 为 所以 CM ? CP ? ? PM ? (?1 ? 3? ,3? ,3 ? 3? ) ,…………………………….12 分 所以 PA ? CM ? ?9? ? 3(3 ? 3? ) ? 0 ,解得 ? ? 所以存在点 M ,且 PM ? 18.解:(Ⅰ)

???? ?

??? ?

???? ?

??? ? ???? ?

1 ,…………………………….13 分 2

1 3 3 .…………………………….14 分 PD ? 2 2

1 , x k ? 1 1 kx 2 ? ( k ? 1) x ? 1 ? 2 ? 所以 f '( x ) ? k ? ,…………………………….1 分 x x x2
因为 f ( x) ? kx ? (k ? 1)ln x ? 当k ?

1 1 ( x ? 2)( x ? 1) .…………………………….2 分 时, 2 f '( x ) ? 2 2 x



1 ( x ? 2)( x ? 1) ,得 x1 ? 1, x2 ? 2 ,…………………………….3 分 f '( x ) ? 2 ?0 2 x

所以 f '( x ), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(0,1)

1

(1, 2)

2

(2, +?)

?
?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?

…………………………….6 分 所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值 f (1) ? ? 在 x ? 2 处取得极小值 f (2) ?

1 , 2

1 3 ? ln 2 .…………………………….7 分 2 2
f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 为

函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0,1) , (2, ??) ,

(1, 2) .…………………………….8 分
(Ⅱ)证明: 不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解,等价于 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上恒成立, 即函数 f ( x ) 在区间 [1,e] 上的最大值小于等于 1.

因为

1 k ( x ? )( x ? 1) , k f '( x ) ? 2 x

1 …………………………….9 分 , x2 ? 1 . k 1 因为 0 ? k ? 1 时,所以 ? 1 . k 1 ……………………….10 当 ? e 时, f '( x) ? 0 对 x ? [1,e] 成立, 函数 f ( x ) 在区间 [1,e] 上单调递减, k
令 f '( x ) ? 0 ,得 x1 ? 分 所以函数 f ( x ) 在区间 [1,e] 上的最大值为 f (1) ? k ? 1 ? 1 , 所以不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解;…………………………….11 分 当

1 ? e 时, f '( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表: k

x

1 (1, ) k
?


1 k
0
极小值

1 ( ,e) k
?


f '( x)
f ( x)

所以函数 f ( x ) 在区间 [1,e] 上的最大值为 f (1) 或 f (e) .……………………………….12 分 此时 f (1) ? k ? 1 ? 1 , f (e) ? ke ? ( k ? 1) ? 所以 f (e) ? 1 ? ke ? ( k ? 1) ?

1 , e

1 ?1 e

1 1 1 ? k (e ? 1) ? 2 ? ? (e ? 1) ? 2 ? ? e ? 3 ? ? 0 . e e e
综上,当 0 ? k ? 1 时,关于 x 的不等式 f ( x ) ? 1 在区间 [1,e] 上无解.…………………………….13 分 19.解:
2 2 (Ⅰ)因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x ? y ? 16 上,

令 y ? 0 ,得 x ? ?4 ,所以 a ? 4 .

…………………………….1 分

又离心率为

3 c 3 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 ,…………………………….2 分 2 a 2

所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,…………………………….3 分 所以 W 的方程为 (Ⅱ) 法一:设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,…………………………….5 分

x2 y2 ? ? 1. 16 4

…………………………….4 分

? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ?
2 2 2 2 化简得到 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 ,

…………………………….6 分

因 为

?4 为 上 面 方 程 的 一 个 根 , 所 以

x1 ? ( ?4) ?

?32k 2 1 ? 4k 2

, 所 以

x1 ?

4 ? 16k 2 .…………………………….7 分 1 ? 4k 2

所以 | AP |?

8 1? k2 . 1 ? 4k 2
| 4k | k2 ?1

…………………………….8 分

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

,…………………………….9 分

2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

16 8 ? ,…………………………….10 分 1? k2 1? k2

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ? 1 ,…………………………….11 分 | AP | | AP | | AP |
8
2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ?1 ? ? 3? .…………………………….13 分 2 2 2 | AP | 8 1 ? k 1? k 1? k 1? k2 1 ? 4k 2

代入得到

显然 3 ? 法二:

| PQ | 3 ? 3 . …………………………….14 分 ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 2 | AP | 1? k

设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,设直线 AP 的方程为 x ? my ? 4 ,…………………………….5 分

? x ? my ? 4 ? 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ?
2 2 化简得到 (m ? 4) y ? 8my ? 0 ,由 ? ? 64m 2 ? 0 得 m ? 0 . …………………………….6 分

显然 0 是上面方程的一个根,所以另一个根,即 y1 ? 由 | AP |? 1 ? m 2 | y1 ? 0 |?

8m .…………………………….7 分 m2 ? 4

8 1 ? m 2 | m | ,…………………………….8 分 m2 ? 4
|4| 1 ? m2
,…………………………….9 分

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

所以 | AQ |? 2 16 ? d 2 ? 2

16m2 8|m| .…………………………….10 分 ? 2 1? m 1 ? m2

因为

| PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ? 1 ,…………………………….11 分 | AP | | AP | | AP |

8|m|
代入得到

| PQ | m2 ? 4 3 1 ? m2 ? ?1 ? ?1 ? ,…………………………….13 分 2 2 | AP | 8 1 ? m | m | 1? m 1 ? m2 m2 ? 4



3 ? 3 ,则 m ? 0 ,与 m ? 0 矛盾,矛盾, 1 ? m2
| PQ | ? 3 . …………………………….14 分 | AP |

所以不存在直线 AP ,使得

法三:假设存在点 P ,使得

|y | | AQ | | PQ | ? 4 ,得 Q ? 4 . …………………………….5 分 ? 3 ,则 | AP | | AP | | yP |

显然直线 AP 的斜率不为零,设直线 AP 的方程为 x ? my ? 4 ,…………………………….6 分

? x ? my ? 4 ? 2 2 由 ? x2 y2 ,得 (m ? 4) y ? 8my ? 0 , ? ? 1 ? 16 4 ?
由 ? ? 64m 2 ? 0 得 m ? 0 ,…………………………….7 分 所以 y P ?

8m .…………………………….9 分 m2 ? 4 8m ,…………………………….11 分 m2 ? 1

同理可得 yQ ?

所以由

| yQ | | yP |

?4得

m2 ? 4 ? 4 ,…………………………….13 分 m2 ? 1

则 m ? 0 ,与 m ? 0 矛盾, 所以不存在直线 AP ,使得 20.解: (Ⅰ)因为 {an } 是 P 数列,且 a1 ? 0, 所以 a3 ?| a2 | ?a0 ?| a2 | , 所以 a4 ? a3 ? a2 ? a2 ? a2 , 所以 a2 ? a2 ? 1 ,解得 a2 ? ? 所

| PQ | ? 3 . …………………………….14 分 | AP |

1 , 2

…………………………….1 分 以

a3 ?

1 1 , a ?| a | ?a ? . 2 2

…………………………….3 分

5

(Ⅱ) 假设 P 数列 {an } 的项都是正数,即 an ? 0, an?1 ? 0, an?2 ? 0 , 所以 an?2 ? an?1 ? an , an?3 ? an?2 ? an?1 ? ?an ? 0 ,与假设矛盾. 故 P 数列 {an } 的项不可能全是正数,…………………………….5 分 假设 P 数列 {an } 的项都是负数, 则 an ? 0, 而 an?2 ? an?1 ? an ? 0 ,与假设矛盾,…………………………….7 分 故 P 数列 {an } 的项不可能全是负数. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 P 数列 {an } 中项既有负数也有正数, 且最多连续两项都是负数,最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数 k 满足 ak ? 0, ak ?1 ? 0 ( k ? 5 ). 设 ak ? ?a, ak ?1 ? b(a, b ? 0) ,则

ak ?2 ? b ? a, ak ?3 ? a, ak ?4 ? ?b, ak ?5 ? b ? a .
ak ?6 ? b ? a ? b, ak ?7 ? b ? a ? a, ak ?8 ? a ? b, ak ?9 ? ?a, ak ?10 ? b ,
故有 ak ? ak ?9 , 即数列 {an } 是周期为 9 的数列…………………………….9 分 由上可知 ak , ak ?1, ???, ak ?8 这 9 项中 ak , ak ?4 为负数,ak ?5,ak ?8 这两项中一个为正数, 另一个为负数, 其余项都是正数. 因为 2016 ? 9 ? 224 , 所以当 k ? 1 时, m ? 224 ? 3 ? 672 ; 当 2 ? k ? 5 时, a1, a2 , ???, ak ?1 这 k ? 1 项中至多有一项为负数,而且负数项只能是 ak ?1 , 记 ak , ak ?1, ???, a2016 这 2007 ? k 项中负数项的个数为 t , 当 k ? 2,3,4 时,若 ak ?1 ? 0, 则 b ? ak ?1 ? ak ? ak ?1 ? ak ? a ,故 ak ?8 为负数, 此时 t ? 671 , m ? 671+1=672 ; 若 ak ?1 ? 0, 则 b ? ak ?1 ? ak ? ak ?1 ? ak ? a ,故 ak ?5 为负数. 此时 t ? 672 , m ? 672 , 当 k ? 5 时, ak ?1 必须为负数, t ? 671 , m ? 672 ,…………………………….12 分

综上可知 m 的取值集合为 {672} .…………………………….13 分

说明:1. 正确给出 m 的值,给 1 分 2. 证明中正确合理地求出数列 {an } 的周期给 2 分,但是通过特例说明的不给分 3. 正确合理说明 m 取值情况给 2 分


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