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2013-2014学年高中数学同步课堂活页训练:第三章 三角恒等变换3.1.1 (苏教版必修4) Word版含解析


双基达标 1.cos 75° 的值为________. 解析 = 6- 2 4 . 答案 6- 2 4

?限时15分钟?

2 3 21 cos 75° =cos(45° +30° )=cos 45° 30° cos -sin 45° 30° 2 ·2 - 2 · sin = 2

2.-cos 70° 20° cos

+sin 110° 20° sin =________. 解析 答案 原式=-cos 70° 20° cos +sin 70° 20° sin =-cos(70° +20° )=0. 0

1 1 3.已知 cos(α+β)=3,cos(α-β)=4,则 cos αcos β=________. 解析 1 1 cos(α+β)+cos(α-β)=3+4,

7 即 2cos αcos β=12. 7 ∴cos αcos β=24. 答案 7 24

2 5 ?π ? 4.若 a 为锐角且 cos α= 5 ,则 cos?4-α?=________. ? ? 解析 2 5 5 π ?π ? 由 α 为锐角且 cos α= 5 ,可得 sin α= 5 .于是 cos?4-α?=cos4cos α ? ?

π 2 2 5 2 5 3 10 +sin αsin = × + × = . 4 2 5 2 5 10 答案 3 10 10

5.cos 70° 335° cos +sin 110° 25° sin 的结果是__________. 解析 cos 70° 335° cos +sin 110° 25° sin

=cos 70° (360° cos -25° )+sin(180° -70° 25° )sin =cos 70° 25° cos +sin 70° 25° sin =cos (70° -25° )

2 =cos 45° 2 . = 答案 2 2

11 4 3 π π π 6.已知 cos(2α-β)=-14,sin(α-2β)= 7 ,且4<a<2,0<β<4,求 cos(α +β)的值. 解 π π π ∵4<α<2,0<β<4,

π π π ∴ <2α-β<π,- <α-2β< , 4 4 2 11 5 3 ∴由 cos(2α-β)=-14得 sin(2α-β)= 14 ; 4 3 1 由 sin(α-2β)= 7 得,cos(α-2β)=7. ∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) 11 1 5 3 4 3 1 =-14×7+ 14 × 7 =2. 综合提高 ?限时30分钟?

7.cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α 等于________. 解析 答案 将 α+β 看作一个整体.因此原式=cos(α+β-α)=cos β. cos β

3 1 8.若 sin α+sin β=1- 2 ,cos α+cos β=2,则 cos(α-β)的值为________.

解析

?sin α+sin β=1- 23, ? 由? 1 ?cos α+cos β=2, ② ?



3 ①2+②2?cos(α-β)=- 2 . 答案 9. 3 -2

2cos 50° 3sin 10° - =________. cos 10°

解析 = = =

2cos 50° 3sin 10° 2cos?60° - -10° ?- 3sin 10° = cos 10° cos 10°

2?cos 60° 10° cos +sin 60° 10° sin ?- 3sin 10° cos 10° 2cos 60° 10° cos +2sin 60° 10° 3sin 10° sin - cos 10° cos 10° 3sin 10° 3sin 10° cos 10° + - =cos 10° =1. cos 10° 1

答案

π? 4 π 3π ? 10.已知 sin?α+4?=5,且4<α< 4 ,则 cos α=________. ? ? 解析 π? 4 π? π 3π π π ? ? ∵sin ?α+4? = 5 ,且 4 <α< 4 ,∴ 2 <α+ 4 <π,从而 cos ?α+4? =- ? ? ? ?

π? 3 ? 1-sin2?α+4?=-5. ? ? π? π? ?? ∴cos α=cos??α+4?-4? ? ? ?? π? π π? π ? ? =cos?α+4?cos4+sin?α+4?sin4 ? ? ? ? 3 2 4 2 2 =-5× 2 +5× 2 = 10 . 答案 2 10

11.已知在△ABC 中,A、B、C 分别为其三个内角,若 A-B 为锐角且 sin(A 2 3 -B)=3,cos B=4,求 cos A 的值. 解 3 ∵cos B=4, 1-cos2B= 7 ? 3? 1-?-4?2= 4 . ? ? 5 ?2? 1-?3?2= 3 . ? ?

∴sin B=

cos(A-B)= 1-sin2?A-B?= ∴cos A=cos[(A-B)+B] =cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B 5 3 2 7 3 5-2 7 = 3 ×4-3× 4 = . 12

π? 1 11 ? 12.已知 cos α=7,cos (α+β)=-14,且 α、β∈?0,2?,求 β 的值. ? ? 解 π? 1 11 ? ∵α、β∈?0,2?且 cos α=7,cos (α+β)=-14, ? ?

4 3 ∴sin α= 1-cos2α= 7 , 5 3 sin(α+β)= 1-cos2?α+β?= 14 . 又∵β=(α+β)-α,∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ? 11? 1 5 3 4 3 1 =?-14?×7+ 14 × 7 =2. ? ? π? π ? 又 β∈?0,2?,∴β=3. ? ? π cos 2x ?π ? 5 13.(创新拓展)已知 sin?4-x?=13,0<x<4.求 的值. ? ? ?π ? cos?4+x? ? ? 解 ?π ? 5 因为 sin?4-x?=13, ? ?

?π ?π ?? ?π ? 5 所以 cos?2-?4-x??=sin?4-x?=13, ? ?? ? ? ? ?π ? 5 因此 cos?4+x?=13. ? ? π π π π π π 因为 0<x<4,所以4<x+4<2,0<4-x<4, ?π ? 12 ?π ? 12 因此 sin?4+x?=13,cos?4-x?=13. ? ? ? ? 120 169 24 π ? ?π ?? 12 5 12 5 120 cos 2x ?? 从而 cos 2x=cos??4+x?-?4-x??=13×13+13×13=169, = 5 =13. ?? ? ? ?? ?π ? cos?4 +x? 13 ? ?


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