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任意角的三角函数


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180 ? ? rad , 1? ? ? rad 180
?

1 rad ? ( 180 )? ?

? 0.01745 rad .

? 57.30? ? 57?18? .

角 度 弧 度

0? 30? 45? 60? 90? 120? 13

5? 150 ?180 ? 270? 360?

0

? ? 6 4

? ? 3 2

2? 3? 5 ? 3 4 6

?

3? 2 ? 2

扇形弧长公式:l = ? R;
R O S

l

1 面积公式 : S ? lR , 2

S ? 1 | ? | R2 2

1.2.1 任意角的三角函数(1)

初中我们已经学习过锐角三角函数,知道它们 都是以锐角α 为自变量,以比值为函数值,定义 了角α 的正弦、余弦、正切的三角函数.
角的范围已经推广,那么对任一角α是否也能 像锐角一样定义三角函数呢? 本节课我们研究当角α 是一个任意角时,其三 角函数的定义及其几何表示.

1. 任意角的三角函数的定义
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴 重合,那么α的终边在第一象限,在α的终边上任意一点 P(a,b)(除开顶点O),它与原点(即顶点)的距离是r(r>0),那么 根据初中所学过的三角函数的定义,有
y
a r b ) α

P(a,b
x

O

b (1)正弦:sinα= ; r a (2)余弦:cosα= ; r b (3)正切:tanα= . a

由相似三角形的知识知道,这些比值不会随点P的位 置改变而改变,所以通常取r=1的位置。

1. 任意角的三角函数的定义
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴 重合,那么α的终边在第一象限,在α的终边上的点P(a,b)与 原点(即顶点)的距离是1,那么根据初中所学过的三角函数 的定义,有 MP y (1)正弦:sinα= =b ; OP P(a,b OM 1 ) (2)余弦:cosα= =a ; α OP
0 M A(1,0) x

MP b ? . (3)正切:tanα= OM a

我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.

1、任意角的三角函数的定义
设α是任意一个角,α的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么 y (1)正弦:sinα=y ;
P(x,y ) 0 α A(1,0) x

(2)余弦:cosα=x ;
y (3)正切:tanα= (x≠0). x

三角函数 定义域

sinα [-1,1]

cosα [-1,1]

tanα R

正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量,以单位 圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它 们统称为三角函数。

角的概念推广后,实际上是把角的集合 与实数集R之间建立了一一对应的关系: 正角 零角 正实数 零 负实数

负角

角的集合

实数集R

例1.求下列角的正弦、余弦和正切值: 5? 3? (1) ; (2) ? ; (3) . 3 2 5? (1)在直角坐标系中,作 ?AOP ? (如图), 解: 3 1 3 ). 得的终边与单位圆的交点坐标为 P ( , ? 2 2

5? 3 sin ?? , 3 2

5? 1 cos ? , 3 2 5? tan ? ? 3. 3

例1.求下列角的正弦、余弦和正切值: 5? 3? (1) ; (2) ? ; (3) . 3 2 在直角坐标系中, (2)∵ 当 ? ? ? 时, 解: 角? 的终边与单位圆的交点坐标为 P ( ?1, 0). ? sin ? ? 0, cos? ? ? 1, tan ? ? 0.
y

3? 在直角坐标系中, ( 3) ∵ 当 ? ? 时, 2 角? 的终边与单位圆的交点坐标为 P (0, ?1). 3? 3? 3? ? sin ? ? 1, cos ? 0, tan 不存在. 2 2 2

O

x

例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值. 解:如图,设角α的终边与单位圆交于点P(x, y),
分别过点P、P0作x轴的垂线MP,M0P0, 则
y M

| OP0 |? 5,| M0 P0 |? 4,| MP |? ? y , M0 | OM0 |? 3,| OM |? ? x , 且 ?OMP ∽ ?OM0 P0 , 4 | M 0 P0 | | MP | y ?? ; ?? sin ? ? y ? ? ? 5 | OP0 | | OP | 1 3 | OM 0 | | OM | x ?? ; cos ? ? x ? ? ? ?? 5 | OP | 1 | OP0 | P0(-3,-4) y sin ? 4 tan ? ? ? ? . x cos ? 3

0

x

P(x,y)

特殊角的三角函数值

α
弧度

0? 30 ? 45 ? 60 ? ? ? ? 0 0
1
6 1 2 3 2 3 3 4 2 2 2 2 3

90 ? 180 ? 270 ? 360 ?
?
2

?
0
?1

3? 2

2?

sinα cosα tanα

3 2 1 2

1

?1

0
1

0
不存在

0
不存在

0

1

3

0

0

(见教材13页) 三角函数的坐标定义 : 一般地,设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它 到原点(顶点)的距离为r>0,则

y x y sinα= ;cosα= ;tanα= . r r x

例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.

解法2:点P0(-3,-4),到原点的距离为
r ? ( ?3) ? ( ?4) ? 5.
2 2

y

故由三角函数的坐标定义知:

M0

0

x

.

3 x y 4 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , 5 r 5 r

y 4 tan ? ? ? . x 3

P0(-3,-4)

例3. 若角的终边落在直线 y=2x上,求α的三角函数值.
①若角的终边在第一象限, 解:
y

.
O

可在其终边上取一点 P(1 , 2),
则 r ?| PO | ? 1 ? 2 ? 5 ,
2 2

P x

由三角函数坐标定义得: y 2 5 2 ? , sin ? ? ? 5 r 5 5 1 x ? , cos ? ? ? 5 r 5 y tan ? ? ? 2 . x

例3. 若角的终边落在直线 y=2x上,求α的三角函数值.
②若角的终边在第三象限, 解:
y

可在其终边上取一点 P(-1 , -2),
则 r ?| PO | ? 1 ? 2 ? 5 ,
2 2

P

.

O

x

由三角函数坐标定义得: y ?2 2 5 ?? , sin ? ? ? 5 r 5 5 ? 1 x ?? , cos ? ? ? 5 r 5 y tan ? ? ? 2 . x

2、三角函数值的符号
(1)正弦:sinα=y ; (2)余弦:cosα=x ;
y (3)正切:tanα= (x≠0). x

y

sinα
0

均为正
x

tanα

cosα

完成P13探究内容

口诀:“一全、二正、三切、四余”

? sin ? ? 0 思考:若 ? 成立时,角θ为第几象限角? ? tan ? ? 0 解: ? sin ? ? 0 由? ? tan ? ? 0



θ的终边在第三或第四象限或与x轴的非正半轴重合
θ的终边在第一或第三象限

故角θ为第三象限角.

思考:

10 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3) (x≠0),且 cos θ= x, 10 求 sin θ,tan θ.
x 10 x 解 ∵r= x +9,cos θ= r ,∴ x= 2 . 10 x +9 ∵ x≠ 0, ∴ x= ± 1.
2

∵y=3>0,∴θ 是第一或第二象限角, 3 10 当 θ 为第一象限角时,sin θ= ,tan θ=3; 10 3 10 当 θ 为第二象限角时,sin θ= ,tan θ=-3. 10

课后作业
2.《乐学》1.2.1(1)

1.教材第20页 习题1.2 A组 2、6、7(书上)


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