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高中数学竞赛讲义1


高中数学竞赛讲义(一)
──集合与简易逻辑

一、基础知识 定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写 字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素 在集合 A 中,称 属 于 A,记为 ,否则称 不属于 A,记作 。例如,通常用 N,Z,Q,B,Q+分别

表示自然数集、整数集、

有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集, 用 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法: 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表 示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方 法。例如{有理数}, 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元 素,则 A 叫做 B 的子集,记为 ,例如 。规定空集是任何集合的子集,如果 A

是 B 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素 不属于 A,则 A 叫 B 的真子集。 定义3 交集, 定义4 并集, 定义5 补集,若 定义6 差集, 定义7 集合 记作闭区间 。 记作开区间 ,R 记作 ,集合 称为 A 在 I 中的补集。

定理1 集合的性质:对任意集合 A,B,C,有: (1) (3) (4) (2) ;

【证明】这里仅证(1)(3) 、 ,其余由读者自己完成。 (1)若 ,即 ,则 ,且 ;反之, 或 ,所以 ,则 或

或 (3)若

, 即

且 ,则



, 即 或 ,即

且 ,所以

, 即 或 ,所以 ,反之也有

,又

,所以

定理2 加法原理:做一件事有 类办法,第一类办法中有 办法中有 有 种不同的方法,…,第 类办法中有 种不同的方法。 定理3 乘法原理:做一件事分 个步骤,第一步有 不同的方法,…,第 步有 种不同的方法。 二、方法与例题 1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例1 设 (1) (2) (3)若 [证明](1)因为 (2)假设 有相同的奇偶性,所以 ,假设不成立,所以 (3)设 ,则 ; ; ,则 ,且 ,则存在 ,使 ,求证:

种不同的方法,第二类

种不同的方法,那么完成这件事一共

种不同的方法,第二步有



种不同的方法,那么完成这件事一共有

,所以 ,由于 和

是奇数或4的倍数,不可能等于

(因为

) 。

2.利用子集的定义证明集合相等,先证 例2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足

,再证

,则 A=B。

,求集合 M(用 A,B 表示) 。 【解】先证 ,所以 再证 ,若 ;2)若 综上, 3.分类讨论思想的应用。 例3 若 【解】依题设, 因为 因为 若 ,则 综上所述, ,所以 , 所以 或 或 ,求 ,再由 ,所以 , 若 ,解得 ; 或 。 , 则 解得 ,所以 或 或2,所以 , 即 , 或3。 , , ,则 ,则 ,若 ; 1)若 。所以 ,则 ,因为 ,所以

4.计数原理的应用。 例4 集合 A,B,C 是 I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集, (1)若 求有序集合对(A,B)的个数; (2)求 I 的非空真子集的个数。 【解】 (1)集合 I 可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A, 中的每个元素恰属 ,

于其中一个子集,10个元素共有310种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以 集合对有310个。 (2)I 的子集分三类:空集,非空真子集,集合 I 本身,确定一个子集分十步,第一步, 1或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2也有两种,…,第10步,0也有两种,由 乘法原理,子集共有 5.配对方法。 个,非空真子集有1022个。

例5 给定集合

的 个子集:

,满足任何两个子集的交集

非空,并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 同在这 个子集中,因此, 对,每一对不能

;其次,每一对中必有一个在这 个子集中出现,否则, ,则 。综上, 。 ,从而可以在 个

若有一对子集未出现,设为 C1A 与 A,并设 子集中再添加 ,与已知矛盾,所以

6.竞赛常用方法与例问题。 定理4 容斥原理;用 表示集合 A 的元素个数,则 , 需要 xy 此结论

可以推广到 个集合的情况,即

定义8 集合的划分:若 则这些子集的全集叫 I 的一个 -划分。

,且



定理5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理6 抽屉原理:将 个元素放入 个抽屉,必有一个抽屉放有不少于 个元素;将无穷多个元素放入 个抽屉必有一

个元素,也必有一个抽屉放有不多于 个抽屉放有无穷多个元素。

例6 求1,2,3,…,100中不能被2,3,5整除的数的个数。 【解】 记 ,由容斥原理, ,

,所以不能被2,3,5整除的数有

个。 例7 S 是集合{1,2,…,2004}的子集,S 中的任意两个数的差不等于4或7,问 S 中 最多含有多少个元素? 【解】 将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。 由题目条件可知每相邻两个数至多 有一个属于 S,将这11个数按连续两个为一组,分成6组,其中一组只有一个数,若 S 含有 这11个数中至少6个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以 S 至多含有其中5个数。又 因为2004=182× 11+2,所以 S 一共至多含有182× 5+2=912个元素,另一方面,当 时, 恰有 所以最少含有912个元素。 例8 求所有自然数 ,使得存在实数 满足: , S 满足题目条件, 且

【解】 当

时, 。下证当

; 当

时, 时,不存在

; 当 满足条件。

时,

令 所以必存在某两个下标

,则 , 使得 , 所以 或

,即

,所以







(ⅰ)若 ,即 故只有 考虑 ,有 或 , 推出矛盾, 设 所以 故当 ,设

,考虑 ,则

,有

或 ,导致矛盾,

,即 , 则

,设

,则 , 又推出矛盾,

时,不存在满足条件的实数。

(ⅱ)若

,考虑

,有







,这时 或 , 所以

,推出矛盾,故 ,即 =3,于是

。考虑

,有

,矛盾。因此 , 所以 。

, 这又矛盾, 所以只有

故当

时,不存在满足条件的实数。

例9 设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在 A 中取三个数,B 中取两 个数组成五个元素的集合 【解】 设 B 中每个数在所有 ( )则 , 在 中最多重复出现 次,则必有 出现的所有 } 。若不然,数 出现 次 , 求 的最小值。

中, 至少有一个 A 中的数出现3次, 不妨设它是1, ,其中 ,为

就有集合{1, 满足题意的集合。 20个

必各不相同,但只能是2,3,4,5,6这5个数,这不可能,所以 。当 时,如

中,B 中的数有40个,因此至少是10个不同的,所以

下20个集合满足要求: {1,2,3,7,8}, 10}, {1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5,7, 9}, {1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, 11}, {2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, 13}, {3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, 15}。 例10 集合{1,2,…,3n}可以划分成 个互不相交的三元集合 ,求满足条件的最小正整数 ,其中 {3,5,6,7,10}, {4,5,6,14, {2,4,6,7,11}, {2,5,6,12, {2,3,4,13,15}, {2,3,5,9, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,

【解】 设其中第 个三元集为

则1+2+…+

所以

。当 为偶数时,有

,所以

,当 为奇数时,有

,所以 三、基础训练题

,当错误!时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,

7},{10,14,8}满足条件,所以错误!的最小值为5。 1.给定三元集合错误!,则实数错误!的取值范围是___________。 2.若集合错误!中只有一个元素,则错误!=___________。 3.集合错误!的非空真子集有___________个。 4.已知集合错误!,若错误!,则由满足条件的实数错误!组成的集合 P=___________。 5.已知错误!,且错误!,则常数错误!的取值范围是___________。 6. 若非空集合 S 满足错误!, 且若错误!, 则错误!, 那么符合要求的集合 S 有___________ 个。 7.集合错误!之间的关系是___________。 8.若集合错误!,其中错误!,错误!且错误!,若错误!,则 A 中元素之和是___________。 9.集合错误!,且错误!,则满足条件的错误!值构成的集合为___________。 10.集合错误!,则 错误!___________。 11.已知 S 是由实数构成的集合,且满足1)错误!)若错误!,则错误!。如果错误!,S 中至少含有多少个元素?说明理由。 12.已知错误!,又 C 为单元素集合,求实数错误!的取值范围。 四、高考水平训练题 1.已知集合错误!,且 A=B,则错误!___________,错误!___________。 2.错误! 错误!,则错误!___________。 3.已知集合错误!,当错误!时,实数错误!的取值范围是___________。 4.若实数错误!为常数,且错误!___________。 5.集合错误!,若错误!,则错误!___________。 6.集合错误!,则错误!中的最小元素是___________。 7.集合错误!,且 A=B,则错误!___________。 8.已知集合错误!,且错误!,则错误!的取值范围是___________。 9.设集合错误!错误!,问:是否存在错误!,使得错误!,并证明你的结论。 10.集合 A 和 B 各含有12个元素,错误!含有4个元素,试求同时满足下列条件的集合 C 的个数:1)错误!且 C 中含有3个元素;2)错误!。 11.判断以下命题是否正确:设 A,B 是平面上两个点集,错误!,若对任何错误!,都 有错误!,则必有错误!,证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1.已知集合错误!,则实数错误!的取值范围是___________。 2.集合错误!的子集 B 满足:对任意的错误!,则集合 B 中元素个数的最大值是 ___________。 3.已知集合错误!,其中错误!,且错误!,若 P=Q,则实数错误!___________。 4.已知集合错误!,若错误!是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则错误! ___________。

5.集合错误!,集合错误!,则集合 M 与 N 的关系是___________。 6. 设集合错误!, 集合 A 满足: 错误!, 且当错误!时, 错误!, A 中元素最多有___________ 则 个。 7.非空集合错误!,≤则使错误!成立的所有错误!的集合是___________。 8.已知集合 A,B,aC(不必相异)的并集错误!, 则满足条件的有序三元组(A,B, C)个数是___________。 9.已知集合错误!,问:当错误!取何值时,错误!为恰有2个元素的集合?说明理由,若 改为3个元素集合,结论如何? 10.求集合 B 和 C,使得错误!,并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 11.S 是 Q 的子集且满足:若错误!,则错误!恰有一个成立,并且若错误!,则错误!, 试确定集合 S。 12.集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S 中的任何两 个元素至多出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集? 六、联赛二试水平训练题 1. 错误!是三个非空整数集, 已知对于1, 3的任意一个排列错误!, 2, 如果错误!, 错误!, 则错误!。求证:错误!中必有两个相等。 2.求证:集合{1,2,…,1989}可以划分为117个互不相交的子集错误!,使得(1)每 个错误!恰有17个元素; (2)每个错误!中各元素之和相同。 3.某人写了错误!封信,同时写了错误!个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信 都装错的情况有多少种? 4.设错误!是20个两两不同的整数,且整合错误!中有201个不同的元素,求集合错误!中 不同元素个数的最小可能值。 5.设 S 是由错误!个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数 为偶数。 6.对于整数错误!,求出最小的整数错误!,使得对于任何正整数错误!,集合错误!的任 一个错误!元子集中,均有至少3个两两互质的元素。 7.设集合 S={1,2,…,50},求最小自然数错误!,使 S 的任意一个错误!元子集中都 存在两个不同的数 a 和 b,满足错误!。 8.集合错误!,试作出 X 的三元子集族&,满足: (1)X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含; (2)错误!。 9.设集合错误!,求最小的正整数错误!,使得对 A 的任意一个14-分划错误!,一定存在 某个集合错误!,在错误!中有两个元素 a 和 b 满足错误!。


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