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2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 第五章 数 列(单元总结与测试)


2014 年高考一轮复习考点热身训练: 第五章 数 列(单元总结与测试)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.(2013·南平模拟)数列 1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为( ( )an=2n-1 (C)an=(-1) (2n-1)
n

/>)

(B)an=(-1) (1-2n) (D)an=(-1) (2n+1) )
n

n

2.已知各项均为正数的等比数列{an}中,lg(a3a8a13)=6,则 a1a15 的值为( ( )100 (B)1 000 (C)10 000 (D)10 3.(2013·株洲模拟)已知数列{an},an=2 +1,则
n

1 1 1 +…+ =( ? a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n ?1 ? a n

)

1 2n 1 (C)1- n 2
( )1 ?

(B)1-2 (D)1+2

n

n

4.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则

a 2 ? a1 的值为( b2

)

?A?

1 1 1 1 1 ??????????? B ? ? ?????????? C ? 或 ? ???????????? D ? 2 2 2 2 4
)

5.已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,a1=2,若数列{1+an}也是等比数列,则 Sn 等于( n+1 n ( )2n (B)3n (C)2 -2 (D)3 -1 6.由 a1 ? 1,a n ?1 ?

an 得出的数列{an}的第 34 项为( 3a n ? 1
(B)100 (C)

)

( )

34 103

1 100

(D)

1 104
)

7. (2012·大庆模拟)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S 9=-36,S13=-104,则 a5 与 a7 的等比中项为( ( )4 2 (B) ?2 2 (C) ?4 2 (D)32 )

8 .已知数列{an}的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 Sn ?

1 ?1 ? a n ? ,则数列{an}的通项公式为( 2

1 3 1 (C) a n ? ( ) n ?1 3

( ) a n ? ( ) n ?1

(B) a n ? ( ) n (D) a n ? 3g( ) n ?1

1 3

1 3

9. (2012· 福州模拟) 已知正项等比数列{an}满足: 7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 a m a n ? 4a1 , 则 a 的最小值为( )

1 4 ? m n

1

?A?

3 5 25 ?????????? B ? ????????? C ? ??????????? D ? 不存在 2 3 6 1 n(n+1)(2n+1)吨, 但如果年产量超过 150 吨, 将会给环境造成危害.为保护 2

10.(易错题)某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线 连续生产 n 年的产量为 f(n)=

环境,环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是( ) ( )5 年 (B)6 年 (C)7 年 (D)8 年 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11. 已知{an}为等差数列, a3=-6,a6=0.等比数列{bn}满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,则{bn}的前 n 项和 Sn=_______. 且 12.(2012·漳州模拟)在等比数列{an}中,若 a 3 ?

3 9 ,S3 ? , 则公比q ? ____ . 2 2

13.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,若 n≥2 时,an 是 Sn 与 Sn-1 的等差中项,则 S5=_______. * 14.2012· ( 唐山模拟) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2an-1,n∈N ,数列{(n+1)an}的前 n 项和 Tn=________. 15.已知函数 f(x)对应关系如表所示,数列{an}满足 a1=3,an+1=f(an),则 a2 013=_______. x f(x) 1 3 2 2 3 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (13 分) (2012·蚌埠模拟)已知{an}是公比大于 1 的等比数列,a1,a3 是函数 f (x)=x+

9 -10 的两个零 x

点. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=log3an+n+2,且 b1+b2+b3+…+bn≥80,求 n 的最小值. * 17. (13 分) (预测题)在等比数列{an}中,an>0(n∈N ) ,且 a1a3=4,a3+1 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=an+1+log2an(n=1,2,3,…) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn. , 18.(13 分) (2012·厦门模拟)已知等差数列{an}是递增数列,且满足 a4·a7=15,a3+a8=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 b n ?

1 (n ? 2) 1 ? , 求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ,b 9a n ?1a n 3
*

1

19. (13 分) (探究题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的 n∈N ,点(an,Sn)都在直线 2x-y-2=0 上. (1)求{an}的通项公式; (2)是否存在等差数列{bn},使得 a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·2 +2 对一切 n∈N 都成立?若存在,求出{bn} 的通项公式;若不存在,说明理由. 20. (14 分) (2012·佛山模拟)已知等差数列{an}中,前 n 项和 Sn 满足: S10+S20=1 590,S10-S20=-930. (1)求数列{an}的通项公式以及前 n 项和公式. (2)是否存在三角形同时具有以下两个性质,如果存在,请求出三角形的三边长和 b 值;如果不存在,请 说明理由. * ①三边是数列{an+b}中的连续三项,其中 b∈N ; ②最小角是最大角的一半.
2
n+1 *

21.(14 分) (2011·山东高考)等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(1)求数列{an}的通项公式; n (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1) lnan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

答案解析 1.【解析】选 B.观察各项的符号及大小知 an=(-1) ·(2n-1)=(-1) ·(1-2n). 2.【解析】选 C.∵lg(a3a8a13)=6,
3 ∴a3a8a13= a 8 =10 ,∴a8=100, 2 ∴a1a15= a 8 =10 000.
6 n+1 n

3.【解析】选 C.an+1-an=2 +1-(2 +1) n+1 n n =2 -2 =2 , ∴

n+1

n

1 1 1 ? ??? a 2 ? a1 a 3 ? a 2 a n ?1 ? a n

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 2 =2 ? 1 ? ( )n ? 1 ? n . 1 2 2 1? 2
= 4. 【解析】选 .由题意知 3(a2-a1)=-4-(-1)=-3, ∴a2-a1=-1, 又 b 2 =(-1)×(-4)=4,且 b2<0, 2 ∴b2=-2,∴

a 2 ? a1 1 ? . b2 2

5. 【解析】选 .设数列{an}的公比为 q, ∵数列{1+an}是等比数列, 2 2 ∴(1+2q) =3(1+2q )? q=1,∴Sn=2n. 6.【解析】选 C.由 a n ?1 ?

an 1 1 得 ? ? 3, 3a n ? 1 a n ?1 a n
3

∴数列 {

1 }是以 1 为首项,公差为 3 的等差数列, an



1 1 ? 1 ? 33 ? 3 ? 100,? a 34 ? . a 34 100

7. 【解析】选 C.∵ S9 ? ∴a5=-4, ∵ S13 ?

9 ? a1 ? a 9 ? ? 9a 5 ? ?36, 2

13 ? a1 ? a13 ? ? 13a 7 ? ?104, 2

∴a7=-8,∴a5·a7=32, 故 a5 与 a7 的等比中项为 ?4 2 . 【变式备选】在 3 和 9 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则这两个数的 和是( ) ( )

45 4

(B)

27 4

(C)

9 2

(D)9

9 ? x? ? 45 ? 2 或 ? x ? ?3 (舍去) 2 【解析】选 .设中间两数为 x,y,则 x =3y,2y=x+9,解得 ? ,所以 x+y= . ? 27 ? y ? 3 4 ?y ? ? ? 4
8. 【解析】选 B.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

1 1 1 1 ?1 ? a n ? ? ?1 ? a n ?1 ? ? ? a n ? a n ?1, 化简得 2an=-an+an-1,即 2 2 2 2

1 1 1 1 an 1 所以数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列. ? . 又由 S1 ? a1 ? ?1 ? a1 ? ,得 a1= , 2 3 3 3 a n ?1 3
所以 a n ?

1 1 n ?1 1 n ?( ) ? ( ) . 3 3 3

9.【解析】选 .设等比数列{an}的公比为 q,则 q>0,且 a 5q 2 ? a 5q ? 2a 5 , 即q 2 ? q ? 2 ? 0, 得 q=2,

? a m a n ? 4a1 ? a 3 ,? m ? n ? 6,
1 4 1 1 4 1 n 4m 1 3 ? ? ( ? ) ? m ? n ? ? (1 ? 4 ? ? ) ? ?5 ? 4? ? . m n 6 m n 6 m n 6 2
当且仅当 n =4m ,即 m=2,n=4 时等号成立. 10.【解题指南】令第 n 年的年产量为 an,根据题意先求 an,再解不等式 an≤150,从而得出答案. 【解析】选 C.令第 n 年的年产量为 an,则由题意可知第一年的产量 a1=f(1)= n(n=2,3,…)年的产量 an=f(n)-f(n-1)=
2 2

1 ×1×2×3=3(吨) ;第 2

1 1 2 n(n+1)(2n+1)(n-1)·n·(2n-1)=3n (吨). 2 2
4

令 3n ≤150,则结合题意可得 1≤n≤ 5 2 . 又 n∈N ,所以 1≤n≤7,即生产期限最长为 7 年. 【变式备选】甲型 H1N1 流感病毒是寄生在宿主的细胞内的,若该细胞开始时是 2 个,记为 a0=2,它们按 以下规律进行分裂,1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个,2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个,3 小时后分裂成 * 1 0 个并死去 1 个,…,记 n(n∈N )小时后细胞的个数为 an,则 an=________(用 n 表示). 【解析】按规律,a1=4-1=3,a2=2×3-1=5,a3=2×5-1=9,…,an+1=2an-1, ∴an+1-1=2(an-1), n n 即 {an-1} 是 等 比 数 列 , 其 首 项 为 2 , 公 比 为 2 , 故 an-1=2 , ∴ an=2 +1 . ( 本 题 也 可 由 2 3 n a1=3=2+1,a2=5=2 +1,a3=9=2 +1,…,猜想出 an=2 +1.) n 答案:2 +1 11. 【解析】设等差数列{an}的公差为 d,
*

2

因为 a3=-6,a6=0,所以 ?

?a1 ? 2d ? ?6 , ?a1 ? 5d ? 0

解得 a 1=-10,d=2, 所以 an=-10+(n-1)·2=2n-12. 设等比数列{bn}的公比为 q, 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,即 q=3, 所以{bn}的前 n 项和为 Sn ? 答案:4(1-3 ) 12.【解析】由已知可得 S3 ? a 3 ? a 2 ? a1 ? a 3 ?
n

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ). 1? q

a3 a3 1 1 ? 2 ? a 3 (1 ? ? 2 ), q q q q

?1 ?

1 1 1 ? 2 ? 3, 解得 q=1 或 q ? ? . 2 q q
1 2

答案:1 或-

13. 【解析】由题意知 n≥2 时,2an=Sn+Sn-1, ∴2an+1=Sn+1+Sn,∴2an+1-2an=an+1+an, ∴an+1=3an(n≥2), 又 n=2 时,2a2=S2+S1,∴a2=2a1=2, n-2 ∴数列{an}中,a1=1,a2=2,an=2×3 (n≥2), ∴S5=81. 答案:81 14. 【解析】∵Sn=2an-1 ,∴Sn+1=2an+1-1, ∴an+1=2an+1-2an,即 an+1=2an. 又∵S1=2a1-1 得 a1=1, n-1 ∴ an=2 , 0 1 2 n-1 Tn=2×2 +3×2 +4×2 +…+(n+1)×2 ,
5

则 2Tn=2×2 +3×2 +…+n×2 +(n+1)×2 , 2 n-1 n ∴-Tn=2+(2+2 +…+2 )-(n+1)×2 =2?

1

2

n-1

n

2(1 ? 2n ?1 ) ? ? n ? 1? ? 2n ? ? n ? 2n 1? 2
n

∴Tn=n×2 . n 答案:n×2 15. 【解题指南】解答此类题目应先找规律,即先求 a2,a3,a4,从中找出周期变化的规律. 【解析】由题意知 a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1, ∴数列{an}是周期为 2 的数列, ∴a2 013=a1=3. 答案:3 16. 【解析】(1)∵a1,a3 是函数 f ? x ? ? x ?
2

9 ? 10 的两个零点, x

∴a1,a3 是方程 x -10x+9=0 的两根, 又公比大于 1,故 a1=1,a3=9,则 q=3. n-1 ∴等比数列{an}的通项公式为 an=3 . (2)由(1)知 bn=log3an+n+2=2n+1, ∴数列{bn}是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 2 ∴b1+b2+…+bn=n +2n≥80, 解得 n≥8 或 n≤-10(舍) 故 n 的最小值是 8. 17. 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q.由 a1a3=4 可得 a 2 =4, 2 因为 an>0,所以 a2=2, 依题意有 a2+a4=2(a3+1),得 2a3=a4=a3q 因为 a3>0,所以 q=2, n-1 所以数列{an}的通项公式为 an=2 . (2) b n ? a n ?1 ? log 2a n ? 2n ? n ? 1 ,

2(1 ? 2n ) ? n ? 1? n 可得 Sn ? (2 ? 2 ? 2 ??? 2 ) ? 1 ? 2 ? 3 ??? ? n ? 1?] [ ? ? 1? 2 2
2 3 n

=2

n ?1

?2?

n ? n ? 1? . 2

18. 【解析】(1)根据题意:a3+a8=8=a4+a7,a4·a7=15,知: a4,a7 是方程 x -8x+15=0 的两根,且 a4<a7, 解得 a4=3,a7=5, 设数列{an}的公差为 d,由 a7=a4+(7-4)·d, 得d ?
2

2 . 3

故等差数列{an}的通项公式为:an=a4+(n-4)·d
6

2 2n ? 1 ? 3 ? ? n ? 4 ?? ? . 3 3

1 9a n ?1a n 9( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 3 3 3 3 1 1 1 1 ? ? ( ? ). ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ? 1 2n ? 1
(2)当 n≥2 时, b n ?

1

?

1 1 1 ? (1 ? ), 3 2 3 ? Sn ? b1 ? b 2 ??? b n 又b1 ? 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ??? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1
19. 【解析】 (1)由题意得 2an-Sn-2=0, 当 n=1 时,2a1-S1-2=0 得 a1=2, 当 n≥2 时,由 2an-Sn-2=0 ①得 2an-1-Sn-1-2=0 ② ①-②得 2an-2an-1-an=0 即 an=2an-1, 因为 a1=2,

an ? 2, 所以{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, a n ?1
n-1 n

所以 an=2·2 =2 . n+1 * (2)假设存在等差数列{bn},使得 a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·2 +2 对一切 n∈N 都成立, 2 则当 n=1 时,a1b1=(1-1)·2 +2 得 b1=1, 当 n≥2 时,由 a1b1+a2b2+…+anbn n+1 =(n-1)·2 +2 ③得 n a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-1-1)·2 +2 ④ ③-④得 a n b n ? n ?2n 即 bn=n, 当 n=1 时也满足条件,所以 bn=n, * 因为{bn}是等差数列,故存在 bn=n(n∈N )满足条件. 【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式 对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化,构造出等差数列或等比数列. 一般根据递推式子的特点采取以下方法: (1)递推式为 an+1=qan(q 为常数) :作商构造; (2)递推式为 an+1= an+f(n):累加构造; (3)递推式为 an+1=pan+q(p,q 为常数) :待定系数构造; n (4)递推式为 an+1=pan+q (p,q 为常数) :辅助数列构造; (5)递推式为 an+2=pan+1+qan:待定系数构造; 思路: an+2=pan+1+qan 可以变形为:n+2-α an+1=β (an+1-α an), 设 a 就是 an+2=(α +β )an+1-α β an, 则可从 ? 解得α ,β ,于是{an+1-α an}是公比为β 的等比数列,就转化为前面的类型. * (6)递推式为 an+1=f(n)an(n∈N ):累乘构造;
7

?? ? ? ? p ? ?? ? ? ? q

(7)递推式为 an-an-1+panan-1=0(p 为常数) :倒数构造. 20. 【解析】(1)由 S10+S20=1 590,S10-S20=-930 得 S10=330,S20=1 260, 设{an}的公差为 d,则 ?

?10a1 ? 45d ? 330 得 a1=6,d=6, ?20a1 ? 190d ? 1 260

故 a n ? 6n,Sn ? 3n 2 ? 3n. (2)假设存在三角形三边为:6n-6+b,6n+b,6n+6+ b,内角为α ,π -3α ,2α , 则由正弦定理得:

6n ? 6 ? b 6n ? 6 ? b 6n ? 6 ? b ? ? cos? ? , sin? sin2? 2 ? 6n ? 6 ? b ?
2 2 2

6n ? 6 ? b ? 6n ? 6 ? b ? ? ? 6n ? b ? ? ? 6n ? 6 ? b ? ? n ? 5 ? b , 由余弦定理得 cos? ? ? 2 ? 6n ? 6 ? b ? 2 ? 6n ? 6 ? b ?? 6n ? b ? 6
由于 n,b∈N ,故有 ?
*

?n ? 4,3, 2,1 对应的三角形边长为 24、30、36 可以验证这个三角形满足条件. , ?b ? 6,12,18, 24
a2 a3 ? ? 3 ,通项公式为 an=2·3n-1; a1 a 2
n

21.【解析】 (1)由题意可知 a1=2,a2=6,a3=18,公比 q ?
n n-1 n n-1 n-1

(2)bn=an+(-1) lnan=2×3 +(-1) ln(2×3 )=2×3 +(-1) [ln2+(n-1)ln3] * 当 n=2k(k∈N )时,Sn=b1+b2+…+b2k 2k-1 =2(1+3+…+3 )+{1+(-2+3)+…+[-(2k-2)+(2k-1)]}ln3 = 2?

1 ? 32k n ? kln3 ? 3n ? 1 ? ln3 , 1? 3 2
*

当 n=2k-1(k∈N )时,Sn=b1+b2+…+b2k-1 2k-2 =2(1+3+…+3 )+{(1-2)+…+[(2k-3)-(2k-2)]}ln3-ln2 = 2?

1 ? 32k ?1 ? ? k ? 1? ln3 ? ln2 1? 3

= 3 ?1 ?
n

? n ? 1? ln3 ? ln2
2

n ? n ?3 ? 1 ? 2 ln3, n为偶数 ? . 故 Sn ? ? ?3n ? 1 ? ? n ? 1? ln3 ? ln2, n为奇数 ? ? 2

8


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