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高中数学竞赛讲义(16)平面几何


高中数学竞赛讲义(十六) ──平面几何 一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 长线上的点,若 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延 三点共线,则

梅涅劳斯定理的逆定理 三点共线。 塞瓦定理 设 上的点,若 塞瓦定理的逆定理 其延长线上的点, 若 行。 角元形式的塞瓦定理 在直线上的点,则

条件同上,





分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线 三线平行或共点,则 设 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或 则 三线共点或互相平

分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 所 平行或共点的充要条件是

广义托勒密定理

设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB?CD+BC?AD≥

AC?BD,当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 则有 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点, 不同于 B, P C,

1

AP2=AB2? 西姆松定理

+AC2?

-BP?PC.

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三

边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共

线,则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点

的三条连线段的中点,这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。(到两圆的幂(即切

线长)相等的点构成集合为一条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 Δ ABC 的外心 O, 垂心 H, 重心 G 三点共线, 且 二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然 后证明它与已知图形或点重合。 例 1 在Δ ABC 中,∠ABC=700,∠ACB=300,P,Q 为Δ ABC 内部两 点,∠QBC=∠QCB=100,∠PBQ=∠PCB=200,求证:A,P,Q 三点共线。 [证明] 设直线 CP 交 AQ 于 P1,直线 BP 交 AQ 于 P2,因为∠ACP= ∠PCQ=100,所以 理有 ,①在Δ ABP,Δ BPQ,Δ ABC 中由正弦定

,②

,③



2

由②,③,④得

。又因为 P1,P2 同在线段 AQ 上,所以

P1,P2 重合,又 BP 与 CP 仅有一个交点,所以 P1,P2 即为 P,所以 A, P,Q 共线。 2.面积法。 例2 见图 16-1, ◇ABCD 中, F 分别是 CD, 上的点, BE=DF, E, BC 且

BE 交 DF 于 P,求证:AP 为∠BPD 的平分线。 [证明] 设 A 点到 BE,DF 距离分别为 h1,h2,则

又因为

S◇ABCD=SΔ ADF,又 BE=DF。

所以 h1=h2,所以 PA 为∠BPD 的平分线。 3.几何变换。 例 3 (蝴蝶定理)见图 16-2,AB 是⊙O 的一条弦,M 为 AB 中点, CD,EF 为过 M 的任意弦,CF,DE 分别交 AB 于 P,Q。求证:PM=MQ。 [证明] 由题设 OM AB。不妨设 称点 。 ,则 要证 PM=MQ, 。作 D 关于直线 OM 的对

连结 只需证 圆。 因为∠ OM。AB// =1800)

,又∠MDQ=∠PFM,所以只需证 F,P,M, 共

=1800-∠

=1800-∠

。(因为

所以 F,P,M,

四点共圆。所以Δ

≌Δ MDQ。所以 MP=MQ。
3

例 4

平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样

的两个相似三角形,它们的相似比为 1995,而且每个三角形三个顶 点同色。 [证明] 在平面上作两个同心圆,半径分别为 1 和 1995,因为小 圆上每一点都染以红、蓝两色之一,所以小圆上必有五个点同色,设 此五点为 A,B,C,D,E,过这两点作半径并将半径延长分别交大圆 于 A1,B1,C1,D1,E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨设 为 A1,B1,C1,则Δ ABC 与Δ A1B1C1 都是顶点同色的三角形,且相似比 为 1995。 4.三角法。 例5 设 AD,BE 与 CF 为Δ ABC 的内角平分线,D,E,F 在Δ ABC

的边上,如果∠EDF=900,求∠BAC 的所有可能的值。 [解] 见图 16-3,记∠ADE=α ,∠EDC=β ,

由题设∠FDA= -α ,∠BDF= -β ,

由正弦定理:





, ,又 ,所以

又由角平分线定理有


4

化简得 所以

,同理

,即

,所以 sinβ cosα -cosβ sinα =sin(β -α )=0. ,所以 A= π 。

又-π <β -α <π ,所以β =α 。所以 5.向量法。 例6

设 P 是Δ ABC 所在平面上的一点,G 是Δ ABC 的重心,求证:

PA+PB+PC>3PG. [证明] 因为 , G 又 为Δ ABC 重心,所以 ( 事 实 上 设 AG 交 BC 于 E , 则 ) 所 以 , 所 以 ,所以

又因为 PA+PB+PC>3PG。 6.解析法。

不全共线,上式“=”不能成立,所以

例 7 H 是Δ ABC 的垂心,P 是任意一点,HL PA,交 PA 于 L,交 BC 于 X,HM PB,交 PB 于 M,交 CA 于 Y,HN PC 交 PC 于 N,交 AB 于 Z,求证:X,Y,Z 三点共线。 [解] 以 H 为原点,取不与条件中任何直线垂直的两条直线为 x

轴和 y 轴,建立直角坐标系,用(xk,yk)表示点 k 对应的坐标,则直线
5

PA 的斜率为

,直线 HL 斜率为

,直线 HL 的方程为

x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.

又直线 HA 的斜率为

,所以直线 BC 的斜率为

,直线 BC 的

方 程 为 xxA+yyA=xAxB+yAyB, ② 又 点 C 在 直 线 BC 上 , 所 以 xCxA+yCyA=xAxB+yAyB. 同理可得 xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC. 又因为 X 是 BC 与 HL 的交点,所以点 X 坐标满足①式和②式,所 以 点 X 坐 标 满 足 xxP+yyP=xAxB+yAyB. ④ 同 理 点 Y 坐 标 满 足 xxP+yyP=xBxC+yByC.⑤点 Z 坐标满足 xxP+yyP=xCxA+yCyA. 由③知④,⑤,⑥表示同一直线方程,故 X,Y,Z 三点共线。 7.四点共圆。 例8 见图 16-5,直线 l 与⊙O 相离,P 为 l 上任意一点,PA,PB

为圆的两条切线,A,B 为切点,求证:直线 AB 过定点。 [证明] 过 O 作 OC l 于 C,连结 OA,OB,BC,OP,设 OP 交 AB

于 M,则 OP AB,又因为 OA PA,OB PB,OC PC。 所以 A,B,C 都在以 OP 为直径的圆上,即 O,A,P,C,B 五点共 圆。 AB 与 OC 是此圆两条相交弦,设交点为 Q, 又因为 OP AB,OC CP, 所以 P,M,Q,C 四点共圆,所以 OM?OP=OQ?OC。 由射影定理 OA2=OM?OP,所以 OA2=OQ?OC,所以 OQ= (定值)。
6

所以 Q 为定点,即直线 AB 过定点。 三、习题精选 1.⊙O1 和⊙O2 分别是Δ ABC 的边 AB,AC 上的旁切圆,⊙O1 与 CB, CA 的延长线切于 E,G,⊙O2 与 BC,BA 的延长线切于 F,H,直线 EG 与 FH 交于点 P,求证:PA BC。 2. 设⊙O 的外切四边形 ABCD 的对角线 AC, 的中点分别为 E, BD F, 求证:E,O,F 三点共线。 3.已知两小圆⊙O1 与⊙O2 相外切且都与大圆⊙O 相内切,AB 是⊙ O1 与⊙O2 的一条外公切线,A,B 在⊙O 上,CD 是⊙O1 与⊙O2 的内公切 线,⊙O1 与⊙O2 相切于点 P,且 P,C 在直线 AB 的同一侧,求证:P 是Δ ABC 的内心。 4.Δ ABC 内有两点 M,N,使得∠MAB=∠NAC 且∠MBA=∠NBC,求 证:

5.Δ ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 相交于点 H,直线 ED 和 AB 相交于点 M,直线 FD 和 AC 相交于点 N,求证:(1)OB DF, OC DE;(2)OH MN。 6.设点 I,H 分别是锐角Δ ABC 的内心和垂心,点 B1,C1 分别是边 AC,AB 的中点,已知射线 B1I 交边 AB 于点 B2(B2≠B),射线 C1I 交 AC 的延长线于点 C2, 2C2 与 BC 相交于点 K, 1 为Δ BHC 的外心。 B A 试证: A, I,A1 三点共线的充要条件是Δ BKB2 和Δ CKC2 的面积相等。

7

7.已知点 A1,B1,C1,点 A2,B2,C2,分别在直线 l1,l2 上 ,B2C1 交 B1C2 于点 M,C1A2 交 A1C2 于点 N,B1A2 交 B2A1 于 L。求证:M,N,L 三 点共线。 8. ABC 中, Δ ∠C=900, ∠A=300, BC=1, 求Δ ABC 的内接三角形 (三 个顶点分别在三条边上的三角形)的最长边的最小值。 9.Δ ABC 的垂心为 H,外心为 O,外接圆半径为 R,顶点 A,B,C 关于对边 BC,CA,AB 的对称点分别为 线的充要条件是 OH=2R。 ,求证: 三点共

8


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