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2015高三二轮复习数列求和方法汇总


一、等差等比求和 1.(15?汕头)等差数列{an}满足 a2=3,a3+a4=12.(1)求{an}的通项公式;(2)设 bn=2
an+1

6.(14?蚌埠)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=1,且 a1,a2,a5 成等比数列. ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)求 a1+a4+a7+…+a3n﹣

2.

裂项相消法求和 2.(15?福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.(Ⅰ)求 an;(Ⅱ)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

1、已知数列{an }的通项公式为 an

?

1 n(n ? 1)

,则数列{an }的前 n 项和 Sn 为

2、数列{an}的前 n 项和为 Sn, a n 3.(15?大庆)已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 S7=77,且 a1,a3,a11 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;(2)若 bn= 2
an

?

10 1 且 Sn ? ,则 n= 21 (2n ? 1)(2n ? 1)

,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 3、数列{an}的通项公式为 an

?

1 n ?1 ? n

,已知它的前 n 项和 Sn=6,则项数 n 等于______

4.(15?河南)公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,又 a2,a4,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.(2)设 bn= 2
an

4、求和: 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n

___________ .

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

5、 S n

?

1 2 ?1
2

?

1 4 ?1
2

? ... ?

1 ( 2n) 2 ? 1

5.(15?泸州)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且对任意 n∈N 时,点(an,Sn)都在函数 f(x)= ?
*

1 1 x? 2 2

的图象上.

6、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n-1,数列{an}满足 b1=1, (1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的通项公式;(3)求

bn ? bn?1 ? n(n ? 2)

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设 bn=lg(1﹣2Sn)+2,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最大值.

1 1 1 ? ? ... ? b1 b2 bn

的值.

7、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2,;数列{bn}中,b1=1 点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列 {

12.(15?郑州)已知数列{an}中,an>0,a1=2,a4=16,且有 an =an﹣1an+1 .

2

bn ? 1 1 1 1 } 的前 n 和为 Sn,求 ? ? ... ? 2 S1 S 2 Sn

(1)求数列{an}的通项公式;(2)令 bn=log2an,cn=

1 b n b n ?1

求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

8、已知:数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n(n∈ N*) (1)求:通项{an}(2)

1 1 1 ? ? ... ? a1a2 a2 a3 an?1an
13.(15?张掖)已知数列{an}与{bn},若 a1=3 且对任意正整数 n 满足 an+1﹣an=2,数列{bn}的前 n 项和 Sn=n +an.(Ⅰ)求
2

数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列{ 9、已知数列{an}的前 n 项的 Sn= n .(1)求数列{an}的通项公式;(2)若 b ? n
2

1 b n b n ?1

}的前 n 项和 Tn.

2 ,记数列{bn}的前 n 项和 (2n ? 1)an

Tn,使 Tn

?

9 成立的最小正整数 n 值。 10

14.(15?遂宁)已知数列{an}为等差数列,其中 a1=1,a7=13

10、已 知数列{an}的前 n 项和 ,Sn= n

2

? 2n ? 1 。(1)求数列{an}的通项公式 an;(2)记
,求 Tn.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=

1 a n a n ?1

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,当不等式 λ Tn<n+8(n∈N )

*

Tn ?

1 1 1 ? ? ... ? a1a2 a2 a3 an?1an

恒成立时,求实数 λ 的取值范围.

11 已知等差数列

?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn .
(Ⅱ)令 bn=

(Ⅰ)求 n 及

a

Sn ;

1
2 an

?1

(n

? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
*

15.(14?福建)等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9,(Ⅰ)求{an}通项公式; (Ⅱ)设 bn=

1 nan

,求数列{bn}前 n 项和 Sn.

16.(14?长春)数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a2,a3,a4+1 等比数列.

二、错位相减求和

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设 bn=

2 n ( a n ? 2)

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

1、

1 2



3 2
2



5 2
3

,……

2n ? 1 2n

,……求和

17.(14?河北)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+an=1,数列{bn}满足 bn+log2an=0,

(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{

1 b n b n ?1

}的前 n 项和 Tn.

2、 S n

? a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ... ? nan ,

18.(15?成都)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, 3.已知数列{an}满足Sn=1-an其中Sn为数列{an}的前n项和.

2

1 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ bn

}的前 n 项和. (1)求{an}通项公式; (2)若{bn}满足 bn=

n an

:,求{bn}前n项和Tn .

19.已知数列{an}的首项为 1, 前 n 项和 Sn 满足 设 bn

(Ⅰ)求 Sn 与数列{an}的通项公式; (Ⅱ) Sn ? Sn?1 ? 1(n ? 2) .

4.设

且 a1 ? b {an } 是等差数列,{bn } 是各项都为正数的等比数列, 1 ? 1 ,a3 ? b5 ? 21 ,a5 ? b3 ? 13(Ⅰ)

?

1 (n∈N*),求使不等式 b1 ? b2 ? an an ?1

? bn ?

12 成立的最小正整数 n. 25



{an } , {bn } 的通项公式;(Ⅱ)求数列{

an bn

}的前 n 项和

Sn .

5.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{

an 2
n

}前 n 项和.

11.(15?云南)已知等比数列{an}中,a1=2,a4=16(1)求公比 q; (2)若{bn}为等差数列,且满足 b2=a2﹣1,

bn ?

5 8

a3,

求{bn}的通项公式;(3)求数列{an?bn}的 n 前项和 Tn.

6.已知 {an } 为等比数列,其前 式;(Ⅱ)若 bn

n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? a (n ? N* ) .(Ⅰ)求 a 的值及数列 {an } 的通项公
12. (15?黔东南)数列{an}的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 2Sn+an=1,数列{bn}中,b1=1,b2=

? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

1 2



2 b n ?1

?

1 1 ? ?0 bn bn ? 2

(n∈N ).(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)数列{cn}满足 cn=

*

an bn

,且 Tn=c1+c2+c3+…+cn,求 Tn?

7.若数列{an}前 n 项和 Sn=2n(I)求{ n }的通项公式;(Ⅱ)令 bn=nan, ,求数列 {bn } 的前 10 项和.

a

13.(15?江西)已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(
an

an

, a n ?1 )(n∈N )在函数 y=x +1 的图象上.数列{bn}
* 2

满足 b1=1,bn+1=bn+2 .(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}满足 cn=an?bn,求{cn}的前 n 项和 Sn. 8.(14?邯郸)已知{an}为正项等比数列,a2=3,a6=243,Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和,b1=3,S5=35.(1)求{an}和{bn} 的通项公式;(2)设 Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,求 Tn.

14. (15?马鞍山)在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,已知 a5=﹣3,S7=﹣14.数列{bn}满足 bn+1﹣2bn=0,b2+b4=20. (Ⅰ) 9.(15?武汉)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 Sn+an=1(n≥1). 求数列{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)设 cn= (Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)设 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

an bn

求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

10.(15?惠州)递增等差数列{an}中的 a2,a5 是函数 f(x)=x ﹣7x+10 的两个零点.数列{bn}满足,点(bn,Sn)在直线 y=﹣x+1 上,其中 Sn 是数列{bn}的前 n 项和.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)令 cn=an?bn,求{cn}的前 n 项和 Tn. 15.(15?安康)设数列{an}的前 n 项和为 sn,满足点(n,sn)在函数 f(x)=x ﹣8x 图象上,{bn}为等比数列,且 b1=a5, b2+a3=﹣1(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设 cn=anbn,求数列的前项 n 和 Tn.
2

2

16. (14?甘肃)已知数列{an}满足首项为 a1=2,an+1=2an(n∈N ).设 bn=3log2an﹣2(n∈N ),数列{cn}满足 cn=anbn. (Ⅰ) 求证:数列{bn}成等差数列;(Ⅱ)求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

*

5.(14?重庆)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=a4+6,且 a1,a4,a13 成等比数列.(Ⅰ)求数列{an} 的通项公式;(Ⅱ)设 bn=2 +1,求数列{bn}的前 n 项和.
an

17.设数列{

an }的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1 , S n?1 ? 4an ? 2
? a n?1 ? 2a n 证明数列{ b n }是等比数列
(2)求数列{ nbn }的前 n 项和 Tn .

6.(2014?南充)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225.

(1)设 bn

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设 bn

? 3 an ? 2n 求数列{b }的前 n 项和 T .
n n

7.(14?揭阳)设数列{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3﹣a2=12. (四)、分组求和 (1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn.

1.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列. (Ⅰ)求数列{an}和{bn} 的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和. 8.(15?湖北)已知{an}是首项为 17,公差为﹣2 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn;(2)设{bn﹣an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}的通项公式及 前 n 项和 Tn. ,n∈N . (Ⅰ)求{an}的通项; (Ⅱ)设 bn= 2
*

n2 ? n 2.{an}前 n 项和 Sn= 2

an

? (?1) an ,求数列{bn}的前 2n 项和.

n

3. (14?张掖){an}对任意 n∈N*,满足 an+1=an+1,a3=2. (1)求{an}通项公式; (2)若 bn 公式及前 n 项和.

1 ? ( ) an ? n ,求{bn}的通项 3

9.(14?北京)已知{an}是等差,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.(Ⅰ)求数列{an} 和{bn}的通项公式;(Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和.

(五) 、倒序相加 (Ⅱ) 若数列 ?bn ? ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,a4 ? 2a3 ,S2 ? 6 。(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 1.已知函数

4.已知等比数列

f

? x? ?

2x (1)证明: 2 ? 2
x

f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1;

满足: n

b ? an ? log 2 an ,求数列 ?bn ?

的前

n 项和 Tn .

(2)求

? 1 ? ? 2 ? f ? ?? f ? ?? ? 10 ? ? 10 ?

? 8 ? ? 9 ? 的值. ? f ? ?? f ? ? ? 10 ? ? 10 ?


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