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两角和差及二倍角公式讲义2


两角和与差及二倍角公式
一、【知识回顾】 1.两角和与差的三角函数
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?
; sin(? ? ? ) ? ; cos(? ? ? ) ? ; tan(? ? ? ) ? ; ; ;

2.二倍角公式:在 sin(? ? ? ),cos(? ? ? ), tan(? ? ? ) 中令 ? ? ? ,可得相应的二倍角公式。
sin 2? ?
cos 2? ? tan 2? ?
; = 。 =

3.降幂公式
sin 2 ? ?


cos 2 ? ?

.

注意:二倍角公式具有“升幂缩角“作用,降幂公式具有“降幂扩角”作用

4.辅助角公式
y ? a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ?) ,(其中 a , b 不能同时为 0)
证明: y ? sin x ? cos x ?
a ?b (
2 2

a a ?b
2 2

sin x ?

b a ?b
2 2

cos x)

? a 2 ? b2 (cos ? sin x ? sin ? cos x)
? a2 ? b2 sin( x ? ?)
其中, cos ? ?
a a ?b
2 2

, sin ? ?

b a ?b
2 2

, tan ? ?

b 且角 ? 终边过点 ( a, b) a

在使用时,不必死记结论,而重在这种收缩(合二为一)思想 如: sin ? ? cos ? ? ; sin ? ? cos ? ? 。

5.公式的使用技巧
(1)连续应用: sin(? ? ? ? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? (2)“1”的代换: sin ? ? cos ? ? 1 , sin
2 2

?
2

? 1, tan

?
4

?1

(3)收缩代换: y ? sin x ? cos x ?

a2 ? b2 sin( x ? ?) ,(其中 a , b 不能同时为 0)



1、求值:(1) cos 15

?

(2) cos 80

?

cos 20? ? sin 80? sin 20?

(3) cos130

?

cos10 ? ? sin 130 ? sin 10 ?

(4)cos105 °

(5)sin75°

(6)

sin 15? cos15?

(7)

1 ? 2 sin 2 75?

(8) cos

2

?
8

? sin 2

?
8



(9)cos75°cos105°+sin75°sin105°

(10)

cos 91? cos 29? ? sin 91? sin 29?

(11)

sin 72? cos 42? ? cos 72? sin 42?

(12)

2 tan 22.5 ? 1 ? tan2 22.5 ?



2. (1)已知 sinθ

15 = 17

? ,且θ 为第二象限角,求 cos(θ - 3

)的值.

(2)已知 sin(30°+α )=

3 5

,60°<α <150°,求 cosα .

3. 化简 (1)cos(36°+α )cos(α -54°)+sin(36°+α )sin(α -54°).

(2)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB.



sin? ?

cos(? ? ? )

4. 已 知

2 3

? ??


3 ?? ? ? 3? ? ,? ? ? ? ?? , cos ? ? ? ? 2 ? ,求 ? ?2 ? , 5 ,

的值.

5. 已知

? , ? 都是锐角,

cos ? ?

1 1 cos(? ? ? ) ? ? 3, 5 ,求 cos ?

的值

sin ? ? ?
6、(1)已知

3 5 ,?

sin(
是第四象限角,求

?
4

??)
的值。



cos(? ? ? ) ?
7、已知

5 4 , cos ? ? , ? , ? 均为锐角,求sin?的值。 13 5

sin ? ?
8、已知

5 ?? ? ,? ? ? , ? ? 13 ? 2 ? ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值

9、若 tan ? = 3,求 sin2? ? cos2? 的值

王新敞
奎屯

新疆





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