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平面几何(竞赛题定理)


平面几何的定理
模型 1: 【内心与外接圆】设 I 为△ABC 的内心,射线 AI 交△ABC 外接圆于 A′,则有 A ′I=A′B=A′C.换言之, 点 A′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆也成立). A

I

B

C

模型 2【内切圆与旁切圆】 三角形的一条内角平分线与另

两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常 常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切. A 性质: (1)设 AIA 的连线交△ABC 的外接圆于 D,则 DIA=DI=DB=DC; (2)△ABC 的∠A 的内角平分线交外接圆于点 D,以点 D 为圆心,DC 为半径作圆,与直线 AD 相交于两点 I 和 IA,则这两点 I 和 IA 恰好是△ABC 的内心和旁心。
I B C

A'

D

IA

模型 【垂心性质】 3 △ABC 垂心 H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上, 关于三边中点的对称点在△ABC 的外接圆上;三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的 2 倍(AH=|2RcosA|)。

A F O B M H D H' C B' E

1

模型 4【圆幂定理】 从一定点 P 引直线与定圆 O 交于两点 A、B,(A、B 可能重合为一个点), (记 OP=d) , 则 PA· 等于点 P 对于⊙O 的幂:d2-r2 PB

?? 0,P在圆外 ? P的幂 ? ?? 0,P在圆上 ? ? 0,P在圆内 ?

所以上面的几个定理(相交弦定理、切割线定理、割线定理及切线长定理)也统称圆幂定理.

模型 5【多圆问题】 相交两圆的性质 性质 1:相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 性质 2:相交两圆的公共弦所在直线平分外公切线线段。 性质 3:过相交两圆的两个交点分别作割线,交两圆于四点,同一圆上的两点的弦互相平行。 性质 4:相交两圆的内接三角形(以一交点为顶点,过另一交点的割线为对边的三角形)相似。 性质 5:蒙日定理(根心定理) :平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交于一点, 这个点叫它们的根心;若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行。

模型 6【密克点】

密克定理:设在一个三角形每边所在直线上取一点,过三角形的每个顶点与两条邻边所 在直线所取的点作圆,则这三个圆交于一点。该点称为密克点。
A

D

F B E C

2

推论:四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点,且由该点向四条直线 所作垂线的垂足在一条直线上。
A

B C E M

D

F

模型 7【调和点列与阿波罗尼斯圆】如下三个条件由其中两个可推得第三个: 1.PC(或 PD)为∠APB 内(外)角平分线; 2. CP⊥PD; 3.A、C、B、D 构成调和点列 ;

P

A

C

B O

D

定理 完全四边形对角线互相调和分割。即 AGCH、BGDI、EHFI 分别构成调和点列。

A

B G D C E H F I

3

模型 8【四点共圆的完全四边形】 8.1 如图,在完全四边形 ABCDEF 中,若 ABCD 四点共圆于圆 O,AC 交 BD 于 G,则过 E,F,G 三 点中任意两点的直线,分别是另一点关于圆 O 的极线,且 E,F,G,O 构成垂心组(即任意一点是 其余三点的垂心) 。

A O G B C D F

模型 9 【调和四边形】 E 对边积相等的圆内接四边形称为调和四边形。 (因圆上任意一点对此四点的线束为调和线束, 故以此命名) 定理:过圆外一点引圆的两条切线与一条割线,与圆所交四点形成的凸四边形为调和四边形,图中 PDQC 为调和四边形。

性质:若四边形 ABCD 内接于圆,且满足 AB ? CD=BC ? DA,在圆上 任取一点 P 求证:PA,PB,PC,PD 为调和线束

A

AQ AB 证明:设 PD, PC 分别交边 AB 于点 Q, R,下面只要证 . ? QR BR

C P B O Q

1 AP ? PQ sin ?APD AQ S?APQ 2 而 = = ? QR S?RPQ 1 PR ? PQ sin ?DPC 2 AP sin ?APD AP AD ? ? , PR sin ?DPC PR DC AP PR AB AP AB ? ? ? 又由△PAR∽△BCR 得 , 所以 BC BR BR PR BC
这样就得到

D

AQ AB = 所以 PA, PD, PC, PB 构成了调和线束. QR BR

模型 10【等角共轭】△ABC 中,点 P、Q 满足:∠BAP=∠CAQ,∠ABP=∠CBQ,∠BCP=∠ACQ 则 P,Q 称为这个三角形的等角共轭点。 【上述定义中三组等式只需满足任意两组即可推得第三组】 A

P

Q

B

C

4


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