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高中数学人教版必修4三角函数的图像与性质(学案)有答案


1.4 三角函数的图象与性质 学习目标 1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图,体会“几何法”作正弦函数图象的过程,提高动手能力; 2、通过函数图象的应用,体会数形结合在解题中的应用;3.三角函数图象和图象的应用; 自主梳理 1. 正弦函数(或余弦函数)的概念 任意给定一个实数 x ,有唯一确定的值 sin x (或 cos x )与之对应,由这个对应法则所确定的函数 y ? sin x(或 y ? cos x )叫做正弦 函数(或余弦函数) ,其定义域为 。 2. 正弦曲线或余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 3. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : (1)正弦函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ?的图象中,五个关键点是: (2)余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象中,五个关键点是: 预习检测 1、函数 2、函数
y ? sin( x ?

和 , , , ,

。 , , 。 。

?
3

)

的定义域为____________________;值域为____________________; 的定义域为__________________;值域为____________________;

y ? 2 cos( x ? ) 3

?

问题探究 2: 【例】已知
x ? [?

? 3

, ?] 2 2

,解不等式

sin x ? ?

3 2

; 【变式】已知 x ? R ,解不等式

sin x ? ?

3 2



问题探究 3: 【例】求下列函数的值域: 1. y ?| sin x | ? sin x 2.
y ? 2 sin( 2 x ? ), x ? [? , ] 3 6 6

?

? ?

3.

y?

cos x ? 2 cos x ? 1

【变式】求函数

y ? 3 sin 2 x ? 4 sin x ? 1, x ? [ , ? ] 3

?

的值域;

问题探究 4: 【例】 (1)讨论方程 lg x ? sin x 解的个数; (2)若函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ?[0,2? ] 与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,求 k 的取值范围; 【变式】当 k 为何值时,方程 sin x ? 2 | sin x |? k 有一解、三解、四解? 课堂练习 1、在同一坐标系内的函数 y ? sin x 与 y ? cos x 的图象的交点坐标是 A.
(k? ,0), k ? Z

( D


(k? ?

B

(2k? ?

?
2

,1), k ? Z

C

(k? ?

?
2

, (?1) k ), k ? Z

? (?1) k
4 , 2

), k ? Z

2、下面有四个判断: ① 作正、余弦函数的图象时,单位圆的半径长与 x 轴上的单位长可以不一致; ② y ? sin x, x ? ?0,2? ?的图象关于 P(? ,0) 成中心对称; ③ y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象关于直线 x ? ? 成轴对称; ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线 y ? 1, y ? ?1 所夹的范围。其中正确的有 ( ) A 1个 B 2个 C 3、与图中曲线对应的函数是 A
y ? sin x

y 1 -π O π 2π x

3个 (
y ? ? sin x

D 4个 ) D
y ? ? sin x

B

y ? sin x

C

4、在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围是( A
? ? 5? ( , ) ? (? , ) 4 2 4


? 5? 3? ( ,? ) ? ( , ) 4 4 2

B

( ,? ) 4

?

C

? 5? ( , ) 4 4

D

反思总结: 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法;2.这节课你学到了哪些数学思想方法?3.你还有哪些收获? 选作:函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成图形的面积成为函数 f ( x) 在 [a, b] 上的面积,已知函数 y ? sin nx 在 [0, ? ] 上的面
n

积为 2
n

,n? N?

,则(1)函数 y ? sin 3x 在

[ 0,

2? ] 3

上的面积为____________; (2)函数 y ? sin(3x ? ? ) ? 1在 ? 1.4 三角函数的图象与性质

4? [ , ] 3 3

上的面积为____________;

自主梳理 1. R 2、正弦曲线 余弦曲线 预习检测 1. R
[ ?1, 1]
[?

3、 (1) (0,0) 、 ? 、 (? ,0) 、
( ,1) 2

(

3? ,?1) 2

、 (2? ,0) (2) (0,1) 、

( ,0 ) 2

?

、 (? ,?1) 、 3? 、 (2? ,1)
( 2 ,0 )

2、 R
? 4?
3 , 3 ]

[?2, 2]

问题探究 2: 【例】

【变式】

[2k? ?

?
3

,2k? ?

4? ], k ? Z 3

问题探究 3: 【例】 (1) [0,2] (2) [0,2] (3) 3 问题探究 4: 【例】 (1)3 个 课堂练习 1、D 2、C (2)1 ? k ? 3 3、B 4、C

[ ,?? ) 2

【变式】

1 [ ? ,1] 3

【变式】一解: k ? 3 选作: 4
3

三解: k ? 0或k ? 1

四解: 0 ? k ? 1

??

2 3

1.4.2

正、余弦函数的性质(一)

学习目标 1、理解周期和周期函数的概念,掌握正弦函数、余弦函数的周期性; 2、掌握证明或求解函数周期的基本方法; 3、通过正弦、余弦函数的图象来理解函数的性质,培养数形结合的能力; 自主预习 1.周期函数的定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有: f ( x ? T ) ? f ( x) ,那 么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。若函数 f ( x) 的周期为 T ,则 也是 f ( x) 的周期。即
f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ... f ( x ? kT ), k ? Z , k ? 0

2.正弦函数 y ? sin x, x ? R 是周期函数,它的周期是 ;最小正周期是 3.正弦函数 y ? cos x, x ? R 是周期函数,它的周期是 ;最小正周期是 4.函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R, (其中 A, ?,? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )是周期函数,它的最小正周期 T = 5.函数 y ? A cos(?x ? ?), x ? R, (其中 A, ?,? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0 )是周期函数,它的最小正周期 T = 预习检测: 1、函数 y ? 2 sin 2x 的最小正周期为____________; 互动探究 问题探究 1: ( )
x 4
2

; ; ; ;

2.函数

y ? 2 cos

1 x?3 2

的最小正周期为____________;

【例】 (1)下列函数中,周期为 ? 的是 A
x 2

y ? sin

B

y ? sin 2 x

C

y ? cos

D

y ? cos 4 x

(2)函数 y ? sin(ax ? ? ) ( a ? 0 )的周期为 【变式】 (1)函数 A
2 ? y ? 3 cos( x ? ) 5 6

的最小正周期是 C


2?

) D
5?

2 ? 5

B

5 ? 2

(2)函数

y?

sin x tan x

的周期是

问题研究 2: 【例】 作出下列函数的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数,说出其最小正周期。 (1) y ? sin x 【变式】 课堂练习 1、设函数 A
f ( x) ? sin( 2 x ?

(2) y ? sin x 求函数
y ?| cos( 2 x ? ) | 6

?

的最小正周期;

?
2

), x ? R

,则 f ( x) 是



) B 最小正周期为 ? 的偶函数

最小正周期为 ? 的奇函数

C

最小正周期为 ? 的奇函数
2

D 最小正周期为 ? 的偶函数
2

2、作出函数 y ? 2 cosx ? 1 的图象,并根据图象判断函数是否为周期函数。若为周期函数,说出其最小正周期。 反思总结: 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法; 2、这节课你学到了哪些数学思想方法? 3、你还有哪些收获? 1.4.2 正、余弦函数的性质(一) 自主预习 1. kT , k ? Z , k ? 0 预习检测: 1. ? 2. 4? (2) 2? 【变式】 (1)D
|a|

2. 2k? , k ? Z , k ? 0

2?

3. 2k? , k ? Z , k ? 0

2?

4. 2?
?

5. 2?
?

互动探究 问题探究 1: 【例】 (1)D

(2) 2? 【变式】
? 2

问题研究 2: 【例】 (1)图略 不是周期函数(2)图略 周期为 ? 课堂练习 1、B 2、图略 不是周期函数 1.4.2

正、余弦函数的性质(二) 学习目标: 1、掌握正弦、余弦函数的奇偶性、单调性、对称性; 2、通过正余弦函数的图象来理解性质,培养数形结合的能力; 3、体会正余弦函数的有界性,并根据此性质来解决一些最值有关的问题; 自主梳理: 1. 奇偶性 (1)正弦函数的奇偶性: 如果点 ( x, y) 是函数 y ? sin x 的图象上任意一点, 那么与它关于原点对称的点__________也在函数 y ? sin x 的图象上,这时我们说函数 y ? sin x 是_______函数。即:若__________________,则称函数 f ( x) 为奇函数。 (2)余弦函数的奇偶性:如果 ( x, y) 是函数 y ? cos x 的图象上任意一点,那么与它关于 y 轴对称的点___________也在函数 y ? cos x 的图象上,这时我们说函数 y ? cos x 是_______函数。即:若__________________,则称函数 f ( x) 为偶函数。 2. 单调性 (1)正弦函数在每一闭区间____上都是增函数,其值从 ? 1增大到1 ;在每一闭区间____上都是减函数,其值从1 减小到 ? 1 。 (2)余弦函数在每一闭区间___上都是增函数,其值从 ? 1增大到1 。在每一闭区间____上都是减函数,其值从1 减小到 ? 1 。 3. 对称轴、对称中心 正弦曲线的对称轴为________________________;对称中心为_______________________; 余弦曲线的对称轴为________________________;对称中心为_______________________; 预习检测 1、函数 y ? 2 sin 2x 的单调递增区间为_____________________; 2、比较大小: sin194 ________cos160 ; 3、函数 y ? 2 sin 2x 的奇偶性为 ( )
0 0

A 奇函数 互动探究

B 偶函数 C 既奇又偶函数 问题探究 1:
5 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ? ) 2

D 非奇非偶函数 【变式】 f ( x) ? lg(sin x ?

【例】判断下列函数的奇偶性 1. 问题探究 2: 【例】求函数
y ? 3 sin( 2 x ? ) 6

2. f (x) ?

2 sin x ?1

1 ? sin 2 x )

?

的对称轴方程; 【变式】若 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象关于直线
y ? sin(

x?

?
6

对称,求 a 的值;
?
4

问题探究 3: 【例】求下列函数的单调区间: (1) 问题探究 4: 【例】求下列函数的值域: (1) 【变式】若 y ? a ? b sin x 的值域是 课堂练习
1 3 [? , ] 2 2

?
4

? 2 x)

; (2)

x ? y ? log1 cos( ? ) 3 4 2
?
3

【变式】求函数

y ? ? | sin( x ?

)|

的单调区间;

y ? 3 ? 2 cos( 2 x ? ) 3

?

; (2)

y ? 2 sin( 2 x ?

), x ? [?

? ?

, ] 6 6

,求 a, b 的值;

1、同时具有以下性质: ①函数的最小正周期是 ? ②函数图象关于直线

x?

?
3

对称③在 ?

? ?? ? , ? ? 6 3? ?

上是增函数的函数是(



A

x ? y ? sin( ? ) 2 6

B

y ? cos( 2 x ?

?
3

)

C

y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D

y ? cos( 2 x ?

?
6

)

2、 (1)函数 A

y ? sin( x ?

?
2

)( x ? R)

在 (

) B
?0, ? ?上是减函数

? ? ?? ? , ? ? 2 2? ?

上是增函数
2

C

?? ? ,0? 上是减函数

D

?? ? , ? ?上是减函数

(2) y ? 2 sin A 奇函数

x ? cos x ? 2 cos3 x

的奇偶性为 (

) D 既奇又偶函数 对称,则 ? 可能是( ) C
?
4

B 偶函数

C 非奇非偶函数
x?

3、已知函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) 的图象关于直线 A
? 2

?
8

B
?
3

?

?
4

D

3? 4

4、已知函数 A 关于直线

f ( x) ? sin(?x ?

)(? ? 0)

的最小正周期为 ? ,则该函数的图象 ( ) B 关于点 ? 对称
( ,0 ) 4

x?

?
4

对称

C 关于点

( ,0 ) 3

?

对称

D 关于直线

x?

?
3

对称

反思总结: 1、这节课你学到了哪些知识和解题方法; 2、这节课你学到了哪些数学思想方法? 3、你还有哪些收获? 选做:
1 ? 28 y ? ?2 cos( x ? ), x ? [ ? , a] 2 3 5

,若该函数是单调函数,求实数 a 的最大值; 1.4.2 正、余弦函数的性质(二) (2) (? x, y) 偶 f ( ? x) ? f ( x) (2)
?(2k ? 1)? ,2k? ?(k ? Z ) ?2k? , (2k ? 1)? ?(k ? Z )

自主梳理: 1.奇偶性 (? x,? y) 2.单调性 ?
? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ?(k ? Z ) ? 2 ? 2 ?



f ( ? x ) ? ? f ( x)

3? ?? ? ? 2k? , ? 2k? ?(k ? Z ) ? 2 ?2 ?

3.对称轴、对称中心 预习检测 1. 互动探究 【例】1.
?
4

x ? k? ?

?
2

,k ?Z

0? , k ? Z ; x ? k? , k ? Z ? k?,

? ? ? 0?, k ? Z ? k? ? , 2 ? ?

[k? ?

, k? ?

?
4

], k ? Z

2. ?

3、A

问题探究 1:
5 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ? ) ? 2 cos 2 x 2

故为偶函数

2.定义域为
3

? 5? [2k? ? ,2k? ? ], k ? Z 6 6

不关于原点对称,故为非奇非偶函数 【变式】奇函数

问题探究 2: 【例】

x?

k? ? ? ,k ?Z 2 6

【变式】

问题探究 3: 【例】 (1)增区间: 【变式】增区间:
3? ? , k? ? ], k ? Z 4 4

[k? ?

5? ? , k? ? ], k ? Z 8 8

减区间:
?
4

[k? ?

?
8

, k? ?

3? ], k ? Z 8

(2)增区间:

[6k? ?

3? 3? ,6k? ? ), k ? Z 4 4

减区间:

(6k? ?

9? 3? ,6k? ? ], k ? Z 4 4

[k? ?

减区间:

[k? ?

, k? ? ], k ? Z 4

?

问题探究 4: 【例】 (1) [1,5] 课堂练习 1、C 2、 (1)B

(2) [0,2] 【变式】 (2)B 3、C

1 1 a ? , b ? 1 或 a ? , b ? ?1 2 2

4、C 选做: 22?
3

1.4.3 正切函数的性质与图象 学习目标: 1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质. 2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象. 3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程,进一步体会函数线的作用. 自主梳理 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是 ; ;

2.回顾跟正切函数有关的诱导公式,想一想:正切函数是周期函数吗?如果是,那么最小正周期是

3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式,想一想:正切函数是

(奇、偶)函数;

4.正切函数在每个开区间_____________________________内均为增函数; 预习检测 1.函数 2.函数
?? ? y ? tan ? 2 x ? ? 4? ?

的定义域是 ; ;



?? ? y ? tan ? 2 x ? ? 4? ?

的最小正周期是

3. 比较大小: tan100? 互动探究 问题探究 1

tan 200?

【例】求函数 f ( x) ? ln(tanx) 的定义域; 【变式】求函数 问题探究 2 【例】若
x ? [?

y?

1 tan x(tan x ? 3)

的定义域;

? ?

, ] 3 4

,求函数

y?

1 ? 2 tan x ? 1 cos 2 x

的最值及相应的 x 的值; 【变式】函数

y ? sin x ? tan x, x ? [?

? ?

, ] 4 4

的值域为

问题探究 4 【例】 (1)求函数
f ( x) ? 3 tan(

?
6

x ? ) 4

的周期和单调递减区间; (2)试比较 f (? ) 与
?
4

f(

3? ) 2

的大小;

【变式】是否存在实数 a ,且 a ? Z ,使得函数 问题探究 5 【例】 (1)求函数 y ?

y ? cot(

? ax )



? 5? x?( , ) 8 8

上是单调递增的?若存在求出 a 的值;若不存在说明理由;

sin x ? tan x

的定义域;画出函数 y ?| tan x | 的简图,并根据图象写出其最小正周期和单调区间;
tan x ? 3 3

【变式】利用正切函数的图象解不等式 【课堂练习】 1、与函数
? A? x ?
?
2

?? ? y ? tan ? 2 x ? ? 4? ?

的图象不相交的一条直线是(
?
2



? B? x ? ?

?C ? x ?

?
4

? D? x ?

?
8

2、函数 y ?

1 ? tan x

的定义域是
? ?

. 3、函数

y?

2 tan 2 x ? 2 tan x ? 2

的最大值是



4、已知函数 y ? tan ?x 在 5、函数
?
4

(?

, ) 2 2

内是减函数,则 ? 的取值范围是____________;

y ?| tan( x ?

)|

的单调递增区间是__________________;

选做:已知函数 f ( x) ? tan(?x ? ? ) ,且对于定义域内任何实数 x ,都有 f ( x) ? f ( x ?1) ? f ( x ? 2) ,试比较 tan(?a ? ? ? 3?) 与 tan(?a ? ? - 3?) 的大小; 1.4.3 正切函数的性质与图象 自主梳理 1. 预习检测 1. 互动探究 【例】
(k? , {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }

2. ? 2. ?
2

3.奇 3. ?

4.

(?

?
2

? k? ,

?
2

? k? ), k ? Z

{x | x ?

?
8

?

k? , k ? Z} 2

问题探究 1
?
2 ? k? ), k ? Z

【变式】
?
4

(?

?
2

? k? , k? ) ? (k? , k? ? ) ? (k? ? , k? ? ), k ? Z 3 3 2

?

?

?

问题探究 2【例】当

x??

时, y

min

?1

;当

x?

?
4

时, y

min

?5

【变式】

[?

2 2 ? 1, ? 1] 2 2

问题探究 4【例】 (1) T ? 4? 减区间:

[4k? ?

4? 8? ,4k? ? ], k ? Z 3 3

(2) f (? ) ?

f(

3? ) 2

【变式】存在, a ? ?2

问题探究 5 【例】 (1)

{x | 2k? ? x ? 2k? ?

?
2

, k ? Z } ? {x | x ? 2k? ? ? , k ? Z }

(2) 图略

T ??

增区间:
?
4

[k? , k? ?

?
2

), k ? Z

减区间:

( k? ?

?
2

, k? ], k ? Z

【变式】

[k? ?

?
6

, k? ? ), k ? Z 2

?

【课堂练习】 1、D 2、

(k? ?

?
2

, k? ? ], k ? Z 4

?

3、2 4、 ? 1 ? ? ? 0

5、

[k? ?

, k? ? ), k ? Z 4

?

选做: tan(?a ? ? ? 3?) ? tan(?a ? ? - 3?)


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