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保三角形函数的专题


保三角形问题
第一题 .............................................................................................................................................. 1 第二题 ..........................

.................................................................................................................... 3 第三题 .............................................................................................................................................. 4

第一题
13、 (北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)一个函数 f ? x ? , 如果对任意一个三角形, 只要它的三边长 a, b, c 都在 f ? x ? 的定义域内,就有 f ? a ? , f ? b ? , f ? c ? 也是某个三角 形的三边长,则称 f ? x ? 为“保三角形函数”. (I)判断 f1 ? x ? ?

x , f 2 ? x ? ? x , f 3 ? x ? ? x 2 中,哪些是“保三角形函数”,哪些不

是,并说明理由; (II)如果 g ? x ? 是定义在 R 上的周期函数,且值域为 ? 0, ?? ? ,证明 g ? x ? 不是“保三 角形函数”; (III)若函数 F ? x ? ? sin x , x ? ? 0, A ? 是“保三角形函数”,求 A 的最大值. (可以利用公式 sin x ? sin y ? 2sin

x? y x? y ) cos 2 2
1分

解: (I) f1 ? x ? , f 2 ? x ? 是“保三角形函数” , f 3 ? x ? 不是“保三角形函数” . 任给三角形,设它的三边长分别为 a, b, c ,则 a ? b ? c ,不妨假设 a 剟c, b 由于 a ? b ?

c,
3分

a ? b ? c ? 0 ,所以 f1 ? x ? , f 2 ? x ? 是“保三角形函数”.

2 2 2 对于 f 3 ? x ? ,3,3,5 可作为一个三角形的三边长,但 3 ? 3 ? 5 ,所以不存在三角
2 2 2 形以 3 ,3 ,5 为三边长,故 f 3 ? x ? 不是“保三角形函数” .

4分

(II)设 T ? 0 为 g ? x ? 的一个周期,由于其值域为 ? 0, ?? ? ,所以,存在 n ? m ? 0 , 使得 g ? m ? ? 1, g ? n ? ? 2 , 取正整数 ? ?

n?m ,可知 ?T ? m, ?T ? m, n 这三个数可作为一个三角形的三边长, T

但 g ? ?T ? m ? ? 1 , g ? ?T ? m ? ? 1, g ? n ? ? 2 不能作为任何一个三角形的三边长.故 g ? x ?
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不是“保三角形函数”. (III) A 的最大值为 一方面,若 A ? 取

8分

, , ? ? 0, A? ,显然这三个数可作为一个三角形的三边长,但 2 6 6 ? 5? 1 5? 1 sin ? 1,sin ? ,sin ? 不能作为任何一个三角形的三边长,故 F ? x ? 不是 2 6 2 6 2

? 5? 5?

5? ,下证 F ? x ? 不是“保三角形函数”. 6

5? . 6

9分

“保三角形函数”.

5? 时, F ? x ? 是“保三角形函数”. 6 5? 对任意三角形的三边 a, b, c ,若 a, b, c ? (0, ) ,则分类讨论如下: 6 (1) a ? b ? c …2? , 5? 5? ? ? 此时 a …2? ? b ? c ? 2? ? ? ? ,同理, b, c ? , 6 6 3 3 ? 5? 1 ∴ , 故 a, b, c ? ( , ) s a i b n c? , 3 6 2 1 1 sin a ? sin b ? ? ? 1 …sin c . 2 2
另一方面,以下证明 A ? 同理可证其余两式. ∴ sin a,sin b,sin c 可作为某个三角形的三边长. (2) a ? b ? c ? 2? 此时,

s,

i

n

,

a?b c ? ? ? ,可得如下两种情况: 2 2 a?b ? c a?b ? ≤ 时,由于 a ? b ? c ,所以, 0 ? ? ≤ . 2 2 2 2 2 ? c a?b 由 sin x 在 (0, ] 上的单调性可得 0 ? sin ? sin ≤1 ; 2 2 2 a?b ? c a?b ? ? 时, 0 ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 2 c a?b ? ?? ? 1; ? 上的单调性可得 0 ? sin ? sin 2 2 ? 2?

同样,由 sin x 在 ? 0, 总之, 0 ? sin

c a?b ? sin ≤1 . 2 2 5? 又由 a ? b ? c ? 及余弦函数在 ? 0, ? ? 上单调递减,得 6
cos a ?b a ?b c 5? ? cos ? cos ? cos ? 0, 2 2 2 12

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∴ sin a ? sin b ? 2sin

a?b a ?b c c cos ? 2sin cos ? sin c . 2 2 2 2

同理可证其余两式,所以 sin a,sin b,sin c 也是某个三角形的三边长.故 A ?

5? 时, 6

F ? x ? 是“保三角形函数”.
综上, A 的最大值为 ∴

5? . 6

第二题

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第三题
一道调研试题的解法及思考
江苏泰兴市第二高级中学(225400)叶玉明 题目: (江苏南通 2009 年高三第一次调研测试)如果对任意一个三角形,只要它的三边 长 a,b,c 都在函数 f(x)的定义域内,就有 f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称 f(x)为“保三角形函数”. (1)判断下列函数是不是“保三角形函数”,并证明你的结论: ① f(x)= x; ② g(x)=sinx (x∈(0,π)).

(2)若函数 h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数,求 M 的最小值. (1) 【答】f(x)= 【证明】① f(x)= x是保三角形函数,g(x)=sinx (x∈(0,π))不是保三角形函数. x是保三角形函数.

对任意一个三角形的三边长 a,b,c,则 a+b>c,b+c>a,c+a>b, f(a)= a,f(b)=
2

b,f(c)=

c.

因为( a+ b) =a+2 ab+b>c+2 ab>( c)2,所以 a+ b> c. 同理可以证明: b+ c> a, c+ a> b. 所以 f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长,故 f(x)= x是保三角形函数.

②g(x)=sinx (x∈(0,π))不是保三角形函数. 取 π ,5π ,5π ? ? 0, π ? ,显然这三个数能作 2 6 6 1 为一个三角形的三条边的长. 而 sin π =1,sin 5π = ,不能作为一个三角形的三边长. 2 2 6 所以 g(x)=sinx (x∈(0,π))不是保三角形函数. (2)【解】M 的最小值为 2. (i)首先证明当 M≥2 时,函数 h(x)=lnx (x∈[M,+∞))是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长 a,b,c∈[M,+∞),且 a+b>c,b+c>a,c+a>b, 则 h(a)=lna,h(b)=lnb,h(c)=lnc. 因为 a≥2,b≥2,a+b>c,所以(a-1)(b-1)≥1,所以 ab≥a+b>c,所以 lnab>lnc, 即 lna+lnb>lnc. 同理可证明 lnb+lnc>lna,lnc+lna>lnb. 所以 lna,lnb,lnc 是一个三角形的三边长. 故函数 h(x)=lnx (x∈[M,+∞),M≥2),是保三角形函数. (ii)其次证明当 0<M<2 时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数. 当 0<M<2 时,取三个数 M,M,M2∈[M,+∞),
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因为 0<M<2,所以 M+M=2M>M2,所以 M,M,M2 是某个三角形的三条边长, 而 lnM+lnM=2lnM=lnM2,所以 lnM,lnM,lnM2 不能为某个三角形的三边长, 所以 h(x)=lnx 不是保三角形函数. 所以,当 M<2 时,h(x)=lnx (x∈[M,+∞))不是保三角形函数. 综上所述:M 的最小值为 2. 思考 1、如果 g ? x ? 是定义在 R 上的周期函数,且值域为 ? 0, ?? ? ,则 g ? x ? 是不是“保 三角形函数”? 设 T ? 0 为 g ? x ? 的一个周期,由于其值域为 ? 0, ?? ? ,所以,存在 n ? m ? 0 ,使得

g ? m ? ? 1, g ? n ? ? 2 ,
取正整数 ? ?

n?m ,可知 ?T ? m, ?T ? m, n 这三个数可作为一个三角形的三边长, T

但 g ? ?T ? m ? ? 1 , g ? ?T ? m ? ? 1, g ? n ? ? 2 不能作为任何一个三角形的三边长.故 g ? x ? 不是“保三角形函数”.

思考 2、由解法可知 g ? x ? ? sin x 不是保三角形函数,但是在定义域的某个区间上能不能成 为保三角形函数? 比如 g ? x ? ? sin x x ? ? 0, A ? 是保三角形函数,求 A 的最大值。 (可以利用公式 sin x ? sin y ? 2sin 分析: A 的最大值为 一方面,若 A ? 取

?

?

, , ? ? 0, A? ,显然这三个数可作为一个三角形的三边长,但 2 6 6 ? 5? 1 5? 1 故 g ? x ? 不是“保 sin ? 1,sin ? ,sin ? 不能作为任何一个三角形的三边长, 2 6 2 6 2

? 5? 5?

5? ,下证 g ? x ? 不是“保三角形函数”. 6

5? . 6

x? y x? y ) cos 2 2

三角形函数”.

5? 时, g ? x ? 是“保三角形函数”. 6 5? 对任意三角形的三边 a, b, c ,若 a, b, c ? (0, ) ,则分类讨论如下: 6 (1) a ? b ? c …2? , 5? 5? ? ? 此时 a …2? ? b ? c ? 2? ? ? ? ,同理, b, c ? , 6 6 3 3
另一方面,以下证明 A ?

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? 5? a, b, c ? ( , ) 3 6 1 1 sin a ? sin b ? ? ? 1 …sin c . 2 2
∴ 同理可证其余两式.





s a i b n c?

1 , 2

s,

i

n

,

∴ sin a,sin b,sin c 可作为某个三角形的三边长. (2) a ? b ? c ? 2? 此时,

a?b c ? ? ? ,可得如下两种情况: 2 2 a?b ? c a?b ? ≤ 时,由于 a ? b ? c ,所以, 0 ? ? ≤ . 2 2 2 2 2 ? c a?b 由 sin x 在 (0, ] 上的单调性可得 0 ? sin ? sin ≤1 ; 2 2 2 a?b ? c a?b ? ? 时, 0 ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 2 c a?b ? ?? ? 1; ? 上的单调性可得 0 ? sin ? sin 2 2 ? 2?

同样,由 sin x 在 ? 0, 总之, 0 ? sin

c a?b ? sin ≤1 . 2 2 5? 又由 a ? b ? c ? 及余弦函数在 ? 0, ? ? 上单调递减,得 6
cos a ?b a ?b c 5? ? cos ? cos ? cos ? 0, 2 2 2 12

∴ sin a ? sin b ? 2sin

a?b a ?b c c cos ? 2sin cos ? sin c . 2 2 2 2

同理可证其余两式,所以 sin a,sin b,sin c 也是某个三角形的三边长.故 A ?

5? 时, 6

g ? x ? 是“保三角形函数”.
综上, A 的最大值为

5? . 6

第四题
x 4 ? kx 2 ? 1 ,若对任意实数 a, b, c ,都存在以 f (a), f (b), f (c) 为边的 x4 ? x2 ? 1 三角形,则实数 k 的取值范围是( ) 1 1 C . ( ? ,4) A . ( ? ,1] B . [1,4) D .以上都不对 2 2
例 2 设 k ? R , f ( x) ?

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解:第一次分离常数将函数 f ( x ) 变形为 f ( x ) ? 1 ? 分离常数得 g ( x ) ?

(k ? 1) x 2 x2 ,令 ,再次 g ( x ) ? x4 ? x2 ? 1 x4 ? x2 ? 1

1 1 ,易知 g ( x ) ? (0, ] ,下面分类讨论: 1 3 x2 ? 2 ? 1 x

k ?2 , f ( x)min ? 1 ,若 f (a), f (b), f (c) 构成三角形的三边, 3 k ?2 则有 2 f ( x )min ? 1 ? f ( x )max ,即 2 ? ,得 1 ? k ? 4 . 3 k ?2 1 (2) 当 k ? 1 时, f ( x ) max ? 1 , f ( x ) min ? ,则由 2 f ( x )min ? 1 ? f ( x )max 得 ? ? k ? 1 3 2 1 综上可知实数 k 的取值范围是 ( ? ,4) ,选 C 2
(1) 当 k ? 1 时, f ( x ) max ?

江苏苏锡常镇四市 2013 界高三教学情况调研(一) 14 . 设 函 数 f ( x) ? l n x的 定 义 域 为 ? M , ?? ? , 且 M ? 0 , 对 于 任 意 a , b ,

c ? (M , ??) ,若 a , b , c 是直角三角形的三条边长,且 f (a) , f (b) , f (c) 也能
成为三角形的三条边长,那么 M 的最小值为 ▲ .

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