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2013版高三新课标理科数学一轮复习单元评估检测(6)第6章 不等式、推理与证明)


单元评估检测(六)
(第六章) (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2012·福州模拟)设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( (A)ab<b2<1 (C)2b<2a<2 (B) log

1 b<log 1 a<0
2 2

)

(D)a2<ab<1 )

2.下列推理是归纳推理的是(

(A)A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹 为椭圆 (B)由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 x2 y2 (C)由圆 x +y =r 的面积 π r , 猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab a b
2 2 2 2

(D)以上均不正确 1 3.(2012·潮州模拟)已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有( x (A)最大值为 0 (C)最大值为-4 (B)最小值为 0 (D)最小值为-4 ) )

4.已知集合 A={x|x2-2x-3<0},B={x|2x-1>1},则 A∩B=( (A){x|x>1} (C){x|1<x<3} (B){x|x<3} (D){x|-1<x<3}

1 1 1 5.设 a,b,c∈(-∞,0),则 a+ ,b+ ,c+ ( b c a (A)都不大于-2 (B)都不小于-2 (C)至少有一个不大于-2 (D)至少有一个不小于-2
2 ? ?x -4x+6,x≥0 6.(2012·西安模拟)设函数 f(x)=? ? ?x+6,x<0

)

,则不等式

f(x)>f(1)的解集是( (A)(-3,1)∪(3,+∞) (B)(-3,1)∪(2,+∞) (C)(-1,1)∪(3,+∞) (D)(-∞,-3)∪(1,3)

)

7.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影 部分表示)应是( )

x+2y≥0 ? ? 8.(预测题)设 z=x+y,其中 x,y 满足?x-y≤0 ? ?0≤y≤k 值为 6,则 z 的最小值为( (A)-2 (B)-3 )

,若 z 的最大

(C)-4 (D)-5 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.请把正确答案 填在题中横线上) 9.某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(1≤t≤30)的关系 大致满足 f(t)=t2+10t+16,则该商场前 t 天平均售出(如前 10 天 f(10) 的平均售出为 )的月饼最少为 10 .

10.下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格, 某球迷赛前准备 1 200 元,预订 15 张下表中球类比赛的门票. 比赛项目 足球 篮球 乒乓球 票价(元/场) 100 80 60

若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下, 该球迷想预订上 表中三种球类比赛门票, 其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相 同,且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用,求可以预订 的足球比赛门票数为 11. 若函数 y= 是 .
2

.

mx-1 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围 mx +4mx+3

x-2≤0 ? ? 12.不等式组?y+2≥0 ? ?x-y+1≥0

表示的区域为 D,z=x+y 是定义在 D

上的目标函数, 则区域 D 的面积为

, z 的最大值为

.

1 1 13.已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是 a b

.

x 14.方程 f(x)=x 的根称为 f(x)的不动点,若函数 f(x)= 有 a(x+2) 1 唯一不动点,且 x1=1 000,xn+1= (n∈N*),则 x2 012= 1 f( ) xn .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(12 分)已知 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: b2-ac< 3a. 16.(13 分)设不等式 x2-2ax+a+2≤0 的解集为 M,如果 M ? [1,4], 求实数 a 的取值范围. 17.(13 分)(2012·南京模拟)某种商品定价为每件 60 元,不加收附 加税时每年大约销售 80 万件,若政府征收附加税,每销售 100 元要 20 征税 p 元(即税率为 p%),因此每年销售量将减少 p 万件. 3 (1)将政府每年对该商品征收的总税金 y(万元)表示成 p 的函数,并 指出这个函数的定义域; (2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于 128 万元,问税率 p%应怎样确定? (3)在所收税金不少于 128 万元的前提下,要让厂家获得最大销售金 额,则应如何确定 p 值? 18.(14 分)(探究题)已知关于 x 的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0, 其中 k∈R. (1)当 k 变化时,试求不等式的解集 A;

(2)对于不等式的解集 A, 若满足 A∩Z=B(其中 Z 为整数集). 试探究 集合 B 能否为有限集?若能, 求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的 所有取值,并用列举法表示集合 B;若不能,请说明理由. 19.(14 分)已知二次函数 f(x)=x2+bx+c(b、 c∈R),不论 α 、β 为 何实数,恒有 f(sinα )≥0,f(2+cosβ )≤0. (1)求证:b+c=-1; (2)求证:c≥3; (3)若函数 f(sinα )的最大值为 8,求 b、c 的值. 20.(14 分)设数列{an}满足:an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,… (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜测{an}的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,证明对所有的 n≥1, (i)an≥n+2; 1 1 1 1 1 (ii) + + +…+ < . 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 2

答案解析
1.【解析】选 C.≧y=2x 是单调递增函数,且 0<b<a<1, ?2b<2a<21,即 2b<2a<2. 2. 【解析】选 B.从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊 到一般的推理,所以 B 是归纳推理. 3.【解析】选 C.≧x<0,?-x>0, 1 1 ?x+ -2=-[(-x)+ ]-2≤-2· x (-x) 4, 等号成立的条件是-x= 1 ,即 x=-1. -x 1 (-x)· -2=- (-x)

4.【解析】选 C.A={x|-1<x<3},B={x|x>1}, 所以 A∩B={x|1<x<3}. 1 1 1 5.【解析】选 C.因为 a+ +b+ +c+ ≤-6,所以三者不能都大于 b c a -2.
?x≥0 ? 6.【解析】选 A.由? 2 ? ?x -4x+6>3 ? ?x≥0 得? ? ?(x-1)(x-3)>0 ? ?x<0 由? ?x+6>3 ?

(1)

得 0≤x<1 或 x>3,

(2)得-3<x<0,

由(1)(2)可得-3<x<1 或 x>3. 7.【解析】选 C.(x-2y+1)(x+y-3)≤0

? ?x-2y+1≥0 ?? ? ?x+y-3≤0

? ?x-2y+1≤0, 或? ? ?x+y-3≥0.

结合图形可知选 C. 8.【解析】选 B.如图,x+y=6 过点 A(k,k),k=3,z=x+y 在点 B 处取得最小值,B 点在直线 x+2y=0 上,B(-6,3), ?zmin=-6+3=-3.

【方法技巧】解决线性规划问题的步骤: (1)画出可行域; (2)确定目标函数的斜率; (3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线; (4)平移直线,确定满足最优解的点; (5)求满足最优解的点的坐标. f(t) t2+10t+16 16 9.【解析】平均销售量 y= = =t+ +10≥18. t t t 16 当且仅当 t= ,即 t=4∈[1,30]等号成立, t 即平均销售量的最小值为 18. 答案:18 10.【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是 n(n∈

N*)张,则足球比赛门票预订(15-2n)张,由题意得
? ?80n+60n+100(15-2n)≤1 200 ? ? ?80n≤100(15-2n)

.

5 解得:5≤n≤5 , 14 又 n∈N*,可得 n=5, ?15-2n=5. ?可以预订足球比赛门票 5 张. 答案:5 11. 【解题指南】本题实际就是分母不等于零恒成立问题,需分 m= 0 或 m≠0 讨论. mx-1 【解析】≧y= 2 的定义域为 R, mx +4mx+3 ?mx2+4mx+3 恒不等于 0. 当 m=0 时,mx2+4mx+3=3 满足题意. 当 m≠0 时,Δ=16m2-12m<0, 3 3 解得 0<m< ,综上,0≤m< , 4 4 3 即 m∈[0, ). 4 3 答案: [0, ) 4 12.【解析】图象的三个顶点分别为(-3,-2)、(2,-2)、(2,3), 25 所以面积为 ,因为目标函数的最值在顶点处取得,把它们分别代入 2 z=x+y 得,x=2,y=3 时,有 zmax=5.

25 答案: 5 2 1 1 13.【解析】因为 + +2 ab≥2 a b =2( 1 + ab)≥4, ab 1 = ab,即 a=b=1 时,取“=”. 所以最 ab 1 +2 ab ab

1 1 当且仅当 = ,且 a b 小值为 4. 答案:4

x 14.【解析】由 =x 得 ax2+(2a-1)x=0. a(x+2) 因为 f(x)有唯一不动点, 1 所以 2a-1=0,即 a= . 2 所以 f(x)= 2x . x+2

1 2xn+1 1 所以 xn+1= = =xn+ . 1 2 2 f( ) xn 1 2 011 所以 x2 012=x1+ ×2 011=1 000+ =2 005.5. 2 2 答案:2 005.5 15.【证明】要证 b2-ac< 3a,只需证 b2-ac<3a2, ≧a+b+c=0, 只需证 b2+a(a+b)<3a2, 只需证 2a2-ab-b2>0,

只需证(a-b)(2a+b)>0, 只需证(a-b)(a-c)>0. 因为 a>b>c,所以 a-b>0,a-c>0, 所以(a-b)(a-c)>0,显然成立. 故原不等式成立. 16.【解题指南】此题需根据Δ<0,Δ>0,Δ=0 分类讨论,求出解 集 M,验证即可,不要忘记 M= ? 的情况. 【解析】(1)当Δ=4a2-4(a+2)<0,即-1<a<2 时,M= ? ,满足题 意; (2)当Δ=0 时,a=-1 或 a=2.a=-1 时 M={-1},不合题意;a =2 时 M={2},满足题意; (3)当Δ>0,即 a>2 或 a<-1 时,令 f(x)=x2-2ax+a+2,要使 M ? 1<a<4 ? ? [1,4],只需?f(1)=3-a≥0 ? ?f(4)=18-7a≥0 得 2<a≤ 18 18 ;综上,-1<a≤ . 7 7

【变式备选】若关于 x 的方程 4x+a·2x+a+1=0 有实数解,求实数 a 的取值范围. 【解析】方法一:令 t=2x>0 在(0, +≦)上有实根 t2+at+a+1=0

2 ? ?Δ=a -4(a+1)≥0 得? ? ?-a≥0

Δ=a -4(a+1)≥0 ? ? 或?-a<0 ? ?a+1<0
2

?a2-4(a+1)≥0 ? 得? ?-a≥0 ?

,得 a≤2-2 2.

方法二:令 t=2x(t>0),则原方程化为 t2+at+a+1=0,变形得 1+t2 (t2-1)+2 2 a=- =- =-[(t-1)+ ]= 1+t t+1 t+1 -[(t+1)+ 2 -2]≤-(2 2-2)=2-2 2. t+1

?a 的取值范围是(-≦,2-2 2 ]. 20 17. 【解析】(1)由题意,该商品年销售量为(80- p)万件,年销售 3 额为 60(80- 20 20 p)万元,故所求函数为 y=60(80- p)·p%.由 80- 3 3

20 p>0,且 p>0 得,定义域为(0,12). 3 (2)由 y≥128,得 60(80- 20 p)·p%≥128,化简得 p2-12p+32≤0, 3

(p-4)(p-8)≤0,解得 4≤p≤8.故当税率在[4%,8%]内时,政府收 取税金不少于 128 万元. (3)当政府收取的税金不少于 128 万元时,厂家的销售额为 g(p)= 20 60(80- p)(4≤p≤8). 3

?g(p)为减函数,?[g(p)]max=g(4)=3 200(万元). 18.【解析】(1)当 k=0 时,A=(-≦,4); 4 当 k>0 且 k≠2 时,A=(-≦,4)∪(k+ ,+≦); k 当 k=2 时,A=(-≦, 4)∪(4,+≦); 4 当 k<0 时,A=(k+ ,4). k (2)由(1)知:当 k≥0 时,集合 B 中的元素的个数无限; 当 k<0 时,集合 B 中的元素的个数有限,此时集合 B 为有限集. 4 因为 k+ ≤-4,当且仅当 k=-2 时取等号,所以当 k=-2 时,集 k 合 B 的元素个数最少.此时 A=(-4,4),故集合 B={-3,-2,- 1,0,1,2,3}. 19.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时: (1)充分利用条件不论α、β为何实数, 恒有 f(sinα)≥0,f(2+cos β)≤0.注意分析 sinα、2+cosβ的范围,利用夹逼的办法即可获 得问题的解答; (2)首先利用(1)的结论对问题进行化简化为只有参数 c 的函数, 再结 合条件不论β为何实数,恒有 f(2+cosβ)≤0,即可获得问题的解 答; (3)首先对函数进行化简配方,然后利用二次函数的性质结合自变量 和对称轴的范围即可获得问题的解答. 【解析】(1)≧|sinα|≤1 且 f(sinα)≥0 恒成立,可得 f(1)≥0. 又≧1≤2+cosβ≤3 且 f(2+cosβ)≤0 恒成立,可得 f(1)≤0,

?f(1)=0,?1+b+c=0,?b+c=-1. (2)≧b+c=-1,?b=-1-c, ?f(x)=x2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c). 又≧1≤2+cosβ≤3 且 f(2+cosβ)≤0 恒成立, ?x-c≤0,即 c≥x 恒成立. ?c≥3. 1+c 2 (3)≧f(sinα)=sin2α-(1+c)sinα+c=(sinα- ) +c- 2 1+c 2 ( ), 2 1+c ≧ ≥2 2 ?当 sinα=-1 时,f(sinα)的最大值为 1-b+c. 由 1-b+c=8 与 b+c=-1 联立, 可得 b=-4,c=3. 即 b=-4,c=3. 20.【解析】(1)由 a1=2,得 a2=a12-a1+1=3, 由 a2=3,得 a3=a22-2a2+1=4, 由 a3=4,得 a4=a23-3a3+1=5, 由此猜想{an}的一个通项公式:an=n+1(n≥1). (2)(i)用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立, ②假设当 n=k 时不等式成立,即 ak≥k+2,那么 ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2k+5>k+3.

也就是说,当 n=k+1 时,ak+1>(k+1)+2. 由①和②得对于所有 n≥1,有 an≥n+2. (ii)由 an+1=an(an-n)+1 及(i),对 k≥2,有 ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1 …迭代法 ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1 1 1 1 于是 ≤ · k-1,k≥2 1+ak 1+a1 2
1 1 1 n 1 1 n 1 2 1 2 2 1 ? ? ? ? (1 ? n ) ? ? ? . ? ? ? k ?1 k ?1 1 ? a1 1 ? a 1 k ? 2 2 1 ? a1 k ?1 2 1 ? a1 2 1 ? a1 1 ? 3 2 k ?1 1 ? a k
n


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