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北师大什邡附校高2012级第二学期第二次月考数学


北师大什邡附校高 2012 级第二学期第二次月考 数 学 试 题
时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分) 1、在直角坐标系中,直线- x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是( A. ) D.

? 6

B.

? 3

C.



5? 6


2? 3

2、设向量 a ? ?1, 0 ? , b ? ?

?1 1? , ? ,则下列结论中正确的是( ?2 2?
2 2

A、 a ? b

B、 a ? b ?

C、 a ? b 与 b 垂直 )

D、a∥ b

3、已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64 4、设 e1 、e ( ) A.- 5 3 B.- 9 5 C.- 3 5
2

B.81

C.128

D.243

是两个不共线向量,若向量 a=3e1 +5e2 与向量 b=me1 -3e2 共线,则 m 的值等于

D.-

5 9 )

5.过点 A(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为( A. x ? y ? 7 ? 0 C. x ? y ? 7 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 7 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 0 )

6、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3


7、已知数列﹛ an ﹜为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(a2 ? a12 ) 的值为( B. ? 3 C. ? 3 D. ?

A. 3

3 3

8、直线 l 通过两直线 7 x ? 5 y ? 24 ? 0 和 x ? y ? 0 的交点,并且点(5,1)到 l 的距离为 10 ,则 l 的方 程是 ( ) B. 3x ? y ? 4 ? 0 C. 3x ? y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 4 ? 0 ) D.等腰直角三角形

A. 3x ? y ? 4 ? 0

9、若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形
1

10、如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横纵坐标分别 对应数列 ?an ? (n ? N ) 的前 12 项,如下表所示: 按如此规律下去,
*

y

则 a2009 ? a2010 ? a2011 ? ( A.1003 C.1006

) B.1005 D.2011

6 5 4 3 2
a8 y4 a9 x5 a10 y5 a11 x6 a12 y6
-4 -3 -2 -1

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4

1 o
1 2 3 4

x

二、填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在题中横线上) 11、已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? ,则 | a ? b |? 12、在Δ ABC 中,若 SΔ ABC=

?

?

?

?

?

?

?

?

.

1 2 2 2 (a +b -c ),那么角∠C=______ 4

. 。

13、直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称的直线方程是 14 、 已 知 点 P( x, y ) 在 以 A( 1 , 3 ) B ( 4 , 2 ) 为 端 点 的 线 段 上 , 则 Z ? , 围 。

3x ? y 的取值范 x ? 4y

15、 设 S n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和,且 S 5 ? S 6 ? S 7 ? S 8 ,则下列结论一定正确的有 (1) d ? 0 (2) a7 ? 0 (3) S 9 ? S 5 (4) a1 ? 0 (5) S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值



2

北师大什邡附校高 2012 级第二学期第二次月考 数 学 试 题(答卷)
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11、 12、 13、 14、 15、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16、 (本小题满分 12 分)已知两条直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l 2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试分别确定 m、n 的值, 使: (1) l1 与 l 2 相交于一点 P(m,1); (2) l1 ∥ l 2 且 l1 过点 ?3,?1? ; (3) l1 ⊥ l 2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1。

17、 (本小题满分 12 分)已知向量 a = (cos? , sin? ) , ? ? [0, ? ] ,向量 b =( 3 ,-1) (1)若 a ? b ,求 ? 的值?;(2)若 2a ? b ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。

?

?

?

?

?

?

3

18、 (本小题满分 12 分)已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a 2 ? c2 ? b2 ? ac . (1)求角 B 的大小; (2)若 c ? 3a ,求 tan A 的值.

19、 (本小题满分 12 分)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为 等比数列 {bn} 中的 b3 , b4 , b5 (1)求数列 {bn} 的通项公式; (2)设数列{bn} 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 {Sn ? } 是等比数列.
5 4

4

20、 (本小题满分13分)如图2,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60? 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距12海里, 渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方 向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值.

5

21、 (本小题满分 14 分)在数列{an } 中, a1 ? 3 , an ? ?an?1 ? 2n ? 1 (n≥ 2 且 n ? N* ) . ⑴求 a2 , a3 的值; ⑵证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; ⑶求数列 ?nan ?的前 n 项和 S n .

6

北师大什邡附校高 2012 级第二学期第二次月考 数 学 试 题
时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分) 1、在直角坐标系中,直线- x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角是( A A. ) D.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

2? 3

2、设向量 a ? ?1, 0 ? , b ? ?

?1 1? , ? ,则下列结论中正确的是( C ) ?2 2?
2 2
C、 a ? b 与 b 垂直 ) D、a∥ b

A、 a ? b

B、 a ? b ?

3、已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A A.64 4、设 e1 、e ( B ) A.- 5 3 B.- 9 5 C.- 3 5 D.- 5 9
2

B.81

C.128

D.243

是两个不共线向量,若向量 a=3e1 +5e2 与向量 b=me1 -3e2 共线,则 m 的值等于

5.过点 A(4,-3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为( A. x ? y ? 7 ? 0 或 3x ? 4 y ? 0 C. x ? y ? 7 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 0

D )

D. x ? y ? 7 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 0 )

6、 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( B A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3


7、已知数列﹛ an ﹜为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(a2 ? a12 ) 的值为( B B. ? 3 C. ? 3 D. ?

A. 3

3 3

8、直线 l 通过两直线 7 x ? 5 y ? 24 ? 0 和 x ? y ? 0 的交点,并且点(5,1)到 l 的距离为 10 ,则 l 的方 程是( C ) A. 3x ? y ? 4 ? 0 B. 3x ? y ? 4 ? 0 C. 3x ? y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 4 ? 0

9、若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是( B ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形
7

D.等腰直角三角形

10、如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横纵坐标分别 对应数列 ?an ? (n ? N ) 的前 12 项,如下表所示: 按如此规律下去,
*

y

则 a2009 ? a2010 ? a2011 ? ( A.1003 C.1006

B ) B.1005 D.2011

6 5 4 3 2
a8 y4 a9 x5 a10 y5 a11 x6 a12 y6
-4 -3 -2 -1

a1 x1

a2 y1

a3 x2

a4 y2

a5 x3

a6 y3

a7 x4

1 o
1 2 3 4

x

二、填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在题中横线上) 11、已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? ,则 | a ? b |? 12、在Δ ABC 中,若 SΔ ABC=

?

?

?

?

?

?

?

?

3

.

1 (a2 +b2 -c 2 ),那么角∠C= 4

? 4

13、直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称的直线方程是 3x ? y ? 1 ? 0 。 14、 已知点 P( x, y ) 在以 A 3) B 2) (1, , (4, 为端点的线段上, 则 Z ?

3x ? y 的取值范围 x ? 4y

? 9 7? ?13 , 6 ? ? ?



15 、 设 S n 是 等 差 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 , 且 S 5 ? S 6 ? S 7 ? S 8 (1)(2)(5) (1) d ? 0 。 (2) a7 ? 0 (3) S 9 ? S 5 (4) a1 ? 0

,则下 列结论 一定正确 的有

(5) S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16、 (本小题满分 12 分)已知两条直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l 2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试分别确定 m、n 的值, 使: (1) l1 与 l 2 相交于一点 P(m,1); (2) l1 ∥ l 2 且 l1 过点 ?3,?1? ; (3) l1 ⊥ l 2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1。 (1) m ?

1 73 ,n ? ? 2 9

(2) ?

? m ? 4 ? m ? ?4 或? ?n ? ?4 ? n ? 20

(3) m ? 0, n ? 8

每小题 4 分

17、 (本小题满分 12 分)已知向量 a = (cos? , sin? ) , ? ? [0, ? ] ,向量 b =( 3 ,-1) (1)若 a ? b ,求 ? 的值?;(2)若 2a ? b ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。 解:(1)∵ a ? b ,∴ 3 cos? ? sin? ? 0 ,得 tan? ? (2)∵ 2a ? b = (2 cos? ? 3 ,2 sin ? ? 1) ,

?

?

? ?

? ?

?

?

3 ,又 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ?

π ;………5 分 3

? ?

8

所以 2a ? b ? (2 cos θ ? 3 ) 2 ? (2 sin θ ? 1) 2 ? 8 ? 8? sin θ ?

? ?2

?1 ?2 ?

? 3 ? π? cosθ ? ? 8 ? 8 sin? θ ? ? , ? 2 ? 3? ?
[ 来源 学 ] : 科网

又 ? ?∈[0, π ?],∴ ? ?

π? 3 π π 2π ? ,1] , ? [? , ] ,∴ sin ? ? ? ? ? [? 3? 2 3 3 3 ?
? ? ? ?

∴ 2a ? b 的最大值为 16,∴ 2a ? b 的最大值为 4,又 2a ? b ? m 恒成立,所以 m ? 4 …………12 分 18、 (本小题满分 12 分)已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a 2 ? c2 ? b2 ? ac . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 c ? 3a ,求 tan A 的值. ∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

? ?2

a 2 ? c 2 ? b2 1 解: (Ⅰ)由余弦定理,得 cos B ? = ……2 分 2ac 2
(Ⅱ)将 c ? 3a 代入 a 2 ? c2 ? b2 ? ac ,得 b ? 由余弦定理得 cos A ?

?
3

……5 分

7a …………………6 分,

b2 ? c2 ? a 2 5 7 ……………………………….8 分 ? 2bc 14
2

∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 1 ? cos A ?

21 sin A 3 ……10 分,∴ tan A ? ……12 分 ? 14 cos A 5

19.(本小题满分 12 分)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等 比数列 {bn} 中的 b3 , b4 , b5 (Ⅰ)求数列 {bn} 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn} 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 {Sn ? } 是等比数列. 解: (1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a, a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. 所以 {bn } 中的 b3 , b4 , b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d) (18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故 {bn } 的第 3 项为 5,公比为 2.
5 由 b3 ? b1 ? 22 ,即 5 ? b1 ? 22 ,解得 b1 ? . 4
5 4

所以 {bn } 是以

5 5 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 bn ? ? 2n ?1 ? 5 ? 2n ?3 …….6 分 4 4

5 (1 ? 2n) 5 5 ? 5 ? 2n ? 2 ? , 即 Sn ? ? 5 ? 2n ? 2. (2)数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 4 1? 2 4 4

9

5 S ? 5 5 n ?1 4 5 ? 2n ?1 所以 S1 ? ? , ? ? 2. 4 2 S ?5 5 ? 2n ? 2 n 4

5 5 因此 {Sn ? } 是以 为首项,公比为 2 的等比数列……………..12 分 4 2

20、 (本小题满分13分)如图2,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60? 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距12海里, 渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方 向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值.

解: (1)依题意, ?BAC ? 120? , AB ? 12 , AC ? 10 ? 2 ? 20 ,

?BCA ? ? .………2分
在△ ABC 中,由余弦定理,得 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC …4分

? 122 ? 202 ? 2 ?12 ? 20 ? cos120? ? 784 .解得 BC ? 28 .…………6分

BC ? 14 海里/小时. 2 答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.……………………7分
所以渔船甲的速度为 (2)在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , ?BAC ? 120? , BC ? 28 , ?BCA ? ? ,

AB BC 由正弦定理,得 .……………9 分 ? sin ? sin120?
答: sin ? 的值为

AB sin120? ? 即 sin ? ? BC

12 ?

3 2 ?3 3. 28 14

3 3 .………………………………12 分 14

21、 (本小题满分 14 分)在数列{an } 中, a1 ? 3 , an ? ?an?1 ? 2n ? 1 (n≥ 2 且 n ? N* ) . ⑴求 a2 , a3 的值; ⑵证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; ⑶求数列 ?nan ?的前 n 项和 S n . 解:⑴∵ a1 ? 3 , an ? ?an?1 ? 2n ? 1 (n ≥ 2, n ? N* ) ,∴ a2 ? ?a1 ? 4 ? 1 ? ?6 , a3 ? ?a2 ? 6 ? 1 ? 1 .…..2 分 ⑵∵
an ? n (?an ?1 ? 2n ? 1) ? n ?an ?1 ? n ? 1 ? ? ? ?1 , an ?1 ? (n ? 1) an ?1 ? n ? 1 an ?1 ? n ? 1

∴数列 {an ? n} 是首项为 a1 ? 1 ? 4 ,公比为 ?1 的等比数列.…………5 分 ∴ an ? n ? 4 ? (?1)n ?1 ,即 an ? 4 ? (?1)n?1 ? n , ∴ {an } 的通项公式为 an ? 4 ? (?1)n?1 ? n (n ? N* ) .………………………………7 分
10

⑶∵ ?nan ?的通项公式为 nan ? 4n?? 1? ? n (n ? N* ) ,所以,
n 2 n 2

设 bn ? n?? 1? , 且其前n项和为Tn , c n ? n , 且前n项和为Rn ,则

Rn ?

n?n ? 1??2n ? 1? …………………………………………………………9 分 6
2 n ?1

Tn ? ?? 1? ? 2?? 1? ? ? ? ? ? ?n ? 1??? 1?
2 3

? n?? 1?
n

n

? Tn ? 0 ? ?? 1? ? 2?? 1? ? ? ? ? ? ?n ? 1??? 1? ? n?? 1?
两式作差得, 2Tn ? ?? 1? ? ?? 1? ? ? ? ? ? ?? 1? ? n?? 1?
2 n

n ?1

…………………….10 分

n ?1

……………………………11 分

? 11 ? ?? 1? n ?1 ? ? n?? 1? 1 ? ?? 1?
n

?

?

?? 1?n ? 1 ? n?? 1?n?1 ……………………………………12 分 ?
2


S n ? 4Tn ? Rn ? ?? 1? ? 1 ? 2n?? 1?
n

?

?

n ?1

?

? ?? 1? ?1 ? 2n ? ?
n

n?n ? 1??2n ? 1? ? 1 …………………………14 分 6

n?n ? 1??2n ? 1? 6

11


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