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080428习题课二


第二章 随机变量(习题课)

一、主要内容 (一)知识点结构

离散型

{

一维 二维

分布律 联合 分布 律 边缘 条件 独立性 边缘 条件

随机变量 分布函数 连续型

{

一维 二维

概率密度函数 联合 概率 密度

独立性
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(二)知识点内容 1、分布函数 定义:F(x)=P{X≤x } 性质:(1)有界
0 ? F ( x ) ? 1;

(2)单调增加 x1 ? x2 , 则 F ( x1 ) ? F ( x2 ) (3)极限值 (4)右连续
F ( a ? 0) ? lim F ( x ) ? F ( a )
x ?a ?

F ( ?? ) ? lim F ( x ) ? 1
x?? ?

F ( ?? ) ? lim F ( x ) ? 0
x ? ??

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定义:F(x,y)=P{ X≤x,Y ≤ y } 性质:(1)有界 (2)单调增加
0 ? F ( x , y ) ? 1;

x1 ? x2 , 则 F ( x1 , y ) ? F ( x2 , y ) y1 ? y2 , 则 F ( x, y1 ) ? F ( x, y2 )

(3)极限值
x ? ??

F ( ?? ,?? ) ? lim F ( x , y ) ? 1
x?? ? y?? ?

F ( ??, y ) ? lim F ( x , y ) ? 0; F ( x ,??) ? lim F ( x , y ) ? 0
y ? ??

F ( ??,??) ? lim F ( x, y ) ? 0
x ? ?? y ? ??

(4)右连续 F (a ? 0, y ) ? xlim F ( x, y ) ? F (a, y ) ?a ?
F ( x, b ? 0) ? lim F ( x , y ) ? F ( x , b)
y ?b ?
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2、分布律 (1)一维离散型随机变量
P{ X ? xk } ? pk , k ? 1,2,?

满足:) 0 ? pk ? 1; (1 ( 2)

?p
k

k

?1

(2)二维离散型随机变量
P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pi j , i , j ? 1,2,?

满 足 : ) 0 ? pij ? 1; (1 ( 2)

?? p
i j

ij

?1

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3、概率密度函数 (1)一维连续型随机变量
F ( x) ? ?
x ??

f (t )dt ; f ( x ) ? F ?( x )

满足:) (1 ( 2)
x

f ( x) ? 0 ;

?

?? ??

f ( x )dx ? 1
? 2F f ( x, y ) ? ?x?y

(2)二维离散型随机变量
F ( x, y ) ? ? du?
?? y ??

f (u, v )dv ;

满 足 :) (1 ( 2)

f ( x, y ) ? 0 ;

? ?

?? ??

?? ??

f ( x , y )dxdy ? 1
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4、边缘分布

(1) FX ( x ), FY ( y )

FX ( x ) ? lim F ( x , y ) ? F ( x,?? )
y ? ??

FY ( y ) ? lim F ( x , y ) ? F ( ?? , y ) x ? ??
(2)离散型随机变量
已知 P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pi j , i , j ? 1,2,?

P{ X ? xi } ? p X ( xi ) ? ? pi j ? pi .
j ?1

?

, i ? 1,2,? , j ? 1,2,?
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P{Y ? y j } ? pY ( y j ) ? ? pi j ? p. j
i ?1

?

(3)二维连续型随机变量

已知 ( X , Y )的联合概率密度为 ( x, y) f

f X ( x) ? ?
fY ( y ) ? ?

??

??
??

f ( x , y )dy
f ( x , y )dx

??

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5、条件分布 (1)离散型随机变量

已知 P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pi j , i , j ? 1,2,?

pY ( y j ) p( xi , y j ) pY X ( y j xi ) ? pX ( xi )
(2)连续型随机变量

p X Y ( xi y j ) ?

p( xi , y j )

i ? 1,2,? j ? 1, 2, ?

已知 ( X , Y )的联合概率密度为 ( x, y) f
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f ( x, y ) f X Y ( x y) ? fY ( y )

( fY ( y) ? 0) ( f X ( x ) ? 0)

f ( x, y ) fY X ( y x ) ? f X ( x)
6、随机变量的独立性

(1)定义:设X与Y是两个随机变量,若对任意的

x,y有:

P ( X ? x , Y ? y ) ? P ( X ? x ) P (Y ? y ) 则 称X与Y相 互 独 立 。
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(2) 随机变量独立性的重要结论 1)由定义可知:若X与Y独立,则
F ( x, y) ? FX ( x )FY ( y) ?x, y ? R

2)离散型随机变量,X与Y相互独立的充要条件为:
p( xi , y j ) ? pX ( xi ) ? pY ( y j ) ( xi , y j )为任意可能值点

3)连续型随机变量,X与Y相互独立的充要条件为:

f ( x, y ) ? f X ( x ) fY ( y ) ?x, y ? R

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7、 随机变量函数的分布
(1)一维离散型

Y ? g( X )离散: y1 , y2 ,?, yk ,? P (Y ? yk ) ? P ( g( X ) ? yk ) ?
(2)二维离散型
g ( x i ) ? yk

? p( x )
i

Z ? g( X ,Y )离散 : z1 , z 2 ,?, z k ,? P( Z ? z k ) ? P( g( X ,Y ) ? z k ) ?
g ( xi , y j )? zk

? p( x , y
i
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j

)

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(3)一维连续型

Y ? g( X )连续, 求fY ( y)

FY ( y) ? P(Y ? y) ? P( g( X ) ? y)

? P ( X ? G ) ? ? f X ( x )dx G f Y ( y ) ? FY? ( y ) (4)二维连续型
Z ? g( X , Y )连续, 求f Z ( z )

FZ ( z ) ? P( Z ? z ) ? P( g( X , Y ) ? z )

? P ?( X , Y ) ? G( z )? ?
? f Z ( z ) ? FZ ( z )

?? f ( x, y )dxdy
G( z)
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(5)几个二维随机变量特殊函数的分布

1) Z ? X ? Y
f Z ?z ? ? ? f ?z ? y, y ?dy ?
?? ??

?

??

??

f ? x , z ? x ?dx

特别地,当X和Y相互独立时,上述两式变为
(称为卷积公式):

f Z ?z ? ? ?
f Z ?z ? ?

??

??
??

f X ? x ? fY ?z ? x ?dx
f X ?z ? y ? fY ? y ?dy
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?

??

2) Z=X-Y
f Z ?z ? ?
fZ

? ?z ? ? ?
??

??

?? ??

f ? x , x ? z ?dx
f ?z ? y , y ?dy

??

特别地,当X和Y相互独立时,有

f Z ?z ? ? ?
f Z ?z ? ?

??

f X ? x ? fY ? x ? z ?dx
f X ?z ? y ? fY ? y ?dy

?

??

??

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设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分

布函数分别为FX(x)和FY(y)。 (3) M=max(X,Y)的分布函数为: Fmax ( z ) ? P ( M ? z ) ? P ( X ? z,Y ? z )

? P ( X ? z ) P (Y ? z ) ? FX ( z )FY ( z )
(4) N=min(X,Y)的分布函数为: Fmin ( z ) ? P ( N ? z ) ? 1 ? P ( N ? z )
? 1 ? P ( X ? z,Y ? z ) ? 1 ? P(X ? z) P(Y ? z) ?

? 1 ? ?1 ? FX ( z )??1 ? FY ( z )?

? 1 ? ?1 ? P ( X ? z )??1 ? P (Y ? z )?

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8、重要分布
(1) 二项分布
k P{ X ? k } ? C n p k (1 ? p)n? k

k ? 0,1,2...,n;
称X服从参数为n,p的二项分布,记为: X~B(n,p). (2)(0 —1)分布

在二项分布 X ~ B(n, p) 中,若 n ? 1, 则 P( X ? k ) ? p (1 ? p) , k ? 0, 1
k 1? k

则称X服从(0 —1)分布。
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(3) 泊松分布

P{ X ? k } ?
(4)、超几何分布

?k
k!

e ? ? , k ? 0,1,2...

称X服从参数为?的泊松分布,记为 : X~?(?).

P( X ? k ) ?

C C C
n N

k N1

n? k N2

, k ? 0,1,2, min ?n, N 1 ?

称X所服从的分布为超几何分布. (5)、几何分布

P( X ? k ) ? (1 ? p)
称X服从几何分布。

k ?1

p, k ? 1,2,?

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(6)均匀分布

? 1 , ? f ( x) ? ? b ? a ?0 , ?

a ? x ? b; 其 它.

称X在区间(a,b)上服从均匀分布.记为 X~U( a , b ) 均匀分布的分布函数为 :

x ? a; ?0, ?x?a ? F ( x) ? ? , a ? x ? b; ?b? a x ? b. ?1, ?
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(7)指数分布 若随机变量X的概率密度为

?? e ?? x , x ? 0 f ( x) ? ? (? ? 0为常数) x?0 ?0 ,
则称X服从参数为?的指数分布.记作:X~E(θ )

?1 ? e ?? x , x ? 0; 其分布函数: F ( x ) ? ? x ? 0. ?0,

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(8) 正态分布:
若连续型随机变量X的概率密度为
( x?? )2 ? 2? 2

1 f ( x) ? e 2? ?

? , ? ? 0为常数

则称X服从参数为?,σ 的正态分布,记作:

X ~ N (? ,? )
2

标准正态分布:X~N(0,1)
标准正态分布的概率密度为:
x2 ? 2

1 ? ( x) ? e 2?

, ? ? ? x ? ??
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一般正态分布的标准化
定 理 : 若 ~ N (? ,? ) , 则 X
2

X ??

?

~ N (0,1).

标准正态分布的上 ? 分位点 设X~N(0,1),称满足

P( X ? z? ) ? ? (0 ? ? ? 1)

的点z? 为标准正态分布的上 分位点. ?

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二、作业题选讲
9.设随机变量X的密度函数为:

1 f X ( x) ? 2 ? (1 ? x )
求随机变量

Y ? 1? X
3
?? (1? y )3

的密度函数

fY ( y ).

解: FY ( y ) ? P{Y ? 1 ? 3 X ? y } ? P{ X ? (1 ? y )3 }
?? 1 f X ( x )dx ? ? 3 dx 2 (1? y ) ? (1 ? x )
??

1 ?? 3? ? ? ? arctan1 ? y ) ? ( ??2 ?

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所以,

fY ( y ) ? FY? ( y ) 1 ?? 3? ? ? ? arctan( ? y ) ? 1 ??2 ?
2

?

1 3(1 ? y ) 3(1 ? y ) ? . ? 6 6 ? 1 ? (1 ? y ) ? [1 ? (1 ? y ) ]
2

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10. 随机变量X,Y相互独立,其密度函数分别为:

? 1, f X ( x) ? ? ?0,

0 ? x ? 1; 其 他.

?e ? y , fY ( y ) ? ? ? 0,

y ? 0; y ? 0.

求随机变量Z=2X+Y的密度函数.

解: Z ( z ) ? P{ Z ? 2 X ? Y ? z } F
?
f Z (z) ? ?
1 0

Y

X D:2 x ? y ? z

?? f

( x ) fY ( y )dxdy
O 1 2x+y=z
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?? ??

f X ( x ) fY ( z ? 2 x )dx

X

? ? fY ( z ? 2 x )dx

?0 , z ? 0; ? ? z ?( z ? 2 x ) 1 ? 2 f Z ( z ) ? ? fY ( z ? 2 x )dx ? ? ? e dx, 0 ? z ? 2; 0 0 ? ? 1 e ? ( z ? 2 x ) dx, z ? 2. ?? 0 ? ? ?0 , z ? 0; ? ?1 ? ? 1 ? e ? z , 0 ? z ? 2; ?2 ?1 2 e ? 1 e ? z , z ? 2. ?2 ?

? ?

?

?

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三、习题二(P70 - 76)部分习题解答
16. 设连续型随机变量X的分布函数为

x ? 0; ?0, ? 2 F ( x) ? ? Ax , 0 ? x ? 1; ?1, 1 ? x. ?
试求:(1)常数A;(2)概率密度函数;

(3) P{ X<1/2 }; P{X>3/2};P{0≤X≤2}。

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分析:当分布函数中含有未知常数时,通常利 用分布函数的性质来确定未知常数的值。连续 型随机变量的分布函数具有下列性质:
1)

该题利用性质1) 2) F ( x )为 连 续 函 数 , 即 不能求出常数 l i m F ( x ) ? l i m F ( x ) ? F ( x 0 ); A,利用性质2) x? x ? x? x ? 可以。 3) F ( x )为 单 调 不 减 函 数 ;
x??? x???
0 0

l i m F ( x ) ? 0,

l i m F ( x ) ? 1;

4 ) F ( x) ? 5)

?

x

??

f ( t )dt, f ( x ) ? F ?( x );

P {a ? X ? b } ? P {a ? X ? b } P {a ? X ? b } ? P {a ? X ? b } ? F (b) ? F (a ) ?

?

b a

f ( x )dx
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解:(1)∵ F(x)连续,且F(1-0)=A , F(1)=1 ∴ A=1.
( 2) 概 率 密 度 函 数 为 : ?2 x , 0 ? x ? 1; f ( x ) ? F ?( x ) ? ? 其他. ?0,
1 2 1 2 1 2 2

( 3) P { X ? } ? F ( ) ? ?

?

?

1 4

P{ X ? 3 } ? 1 ? F ( 3 ) ? 1 ? 1 ? 0 2 2 P{0 ? X ? 2} ? F ( 2) ? F (0) ? 1 ? 0 ? 1
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17. 已知随机变量X的概率密度函数为

0 ? x ? 1; ? x, ? f ( x ) ? ?2 ? x, 1 ? x ? 2; ?0, 其他. ?
试求:(1)分布函数;(2) P{ X<0. 5 }; P{X>1. 3};P{ 0. 2<X< 1. 2}。

分析:当密度函数中含有未知常数时,通常利 用密度函数的性质来确定未知常数的值。连续 型随机变量的密度函数具有下列性质:
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解 : (1) 当x ? 0时 , F( x ) ?

? ?
x

x

??

f ( x )dx ?

? ?

x

??

0dx ? 0;
x

当0 ? x ? 1时 , F( x ) ?
x ??

f ( x )dx ?

0

??

0dx ? ? xdx ? 1 x 2 ; 2
0

当1 ? x ? 2时 , F(x ) ? ?
1 2

? 2( x ? 1) ? 1 ( x 2 ? 1) ? ? 1 x 2 ? 2 x ? 1; 2 2

?

?

??

f ( x )dx ?

?

0

??

0dx ? ? xdx ? ? ( 2 ? x )dx
1 x

?

0

1

上页

下页

当x ? 2 时 , F( x ) ?
x 2

?

x

??

f ( x )dx ?

?

0

??

0dx ? ? xdx ? ? ( 2 ? x )dx
1 2 0 1

? ? 0dx 1 ? 1; 2 当x ? 0; ?0, ?1 2 当0 ? x ? 1; ?2 x , ? F ( x) ? ? ? 1 x 2 ? 2 x ? 1, 当1 ? x ? 2 ? 2 ?1, 当x ? 2. ?

上页

下页

( 2) P{ X ? 0.5} ? F (0.5) ?

1 2

?0.5?2 ? 1 8

P{ X ? 1.3} ? 1 ? F (1.3) ? 0.245 P{0.2 ? X ? 1.2} ? F (1.2) ? F (0.2) ? 0.66

25. 盒子里装有3只黑球、2只红球、2 只白球。在其中任取4只球,以X 表示 取到黑球的只数,以Y 表示取到红球 的只数。求(X , Y )的联合分布律。

分析:首先X 的所有可能取值为0、1、2、 3,Y 的所有可能取值为0、1、2,从而可 以确定(X,Y )的所有可能取值;其次 这是一个古典概型,且
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m n 4 C 3 C 2 C 2 ?m?n P { X ? m , Y ? n} ? , m ? 0,1,2,3; n ? 0,1,2. 4 C7 k 且 规 定 : 当 ? n 或k ? 0 时, C n ? 0; k

解:
m n 4 C 3 C 2 C 2 ?m?n ? P { X ? m , Y ? n} ? , m ? 0,1,2,3; n ? 0,1,2. 4 C7 k 且 规 定 : 当 ? n 或k ? 0 时, C n ? 0; k

? 可 得( X , Y )的 联 合 分 布 律 如 下 :

X Y 0

0 0

1 0

2 3/35

3 2/35

1
2

0
1/35

6/35
6/35

12/35
3/35

2/35
0

28. 解:由25题的结果可得: P{X=0}=0+0+1/35=1/35 P{X=1}=0+6/35+6/35=12/35

P{X=2}=3/35+12/35+3/35=18/35
P{X=3}=2/35+2/35+0=4/35

故关于X的边缘分布律为:
X Pk 0 1 2 18/35 3 4/35

1/35 12/35

类似可得关于Y的边缘分布律为:
Y 0 1 2

Pk

1/7

4/7

2/7

31.解:由25题和28题的结果可得: P{X=0,Y=0}=0≠P{X=0}P{Y=0}=12/35×1/7 =12/245 所以,X和Y不独立。 26. 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为

?ke ?3 x ? 4 y , f ( x, y) ? ? ?0,

x ? 0, y ? 0; 其 他.

试求:(1)常数k;(2) P{ 0<X<1,0<Y<2 }; (3)分布函数。

解: (1)由概率密度函数的性质可得,

? ?

?? ??

?? ?? ?? 0

f ( x , y )dxdy ? e
?3 x

? ?
0

??

?? 0

ke ? 3 x ? 4 y dxdy

? k?

dx?

?? 0

e ? 4 y dy ? k ? 1 e ? 3 x 3

?

? ??
?? 0

1 4

e ?4 y

?

?? 0

k ? ? 1; ? k ? 12. 12

( 2) P {0 ? X ? 1,0 ? Y ? 2} ? ?

??
1 0

2 0

f ( x , y )dxdy

?

1 0

12e

?3 x

dx? e ? 4 y dy ? (1 ? e ? 3 )(1 ? e ? 8 )
2 0

46.求38题中X+Y 的概率密度。 38. 设X 和Y 是相互独立的随机变量,其概率 密度为

?? e ? ? x , f X ( x) ? ? ?0, ?? e ? ? y , fY ( y) ? ? ? 0,
其中λ> 0,μ> 0为常数。

x ? 0; x ? 0. y ? 0; y ? 0.

分析:由第64页的卷积公式(2 . 5 . 3)可
得, X+Y 的概率密度为

f X ?Y ( z ) ? ? ??
?? ?? z

?? ??

f X ( z ? y ) f Y ( y )dy
0 ??

f X ( x ) f Y ( z ? x )dy ? ?
z

f X ( x ) f Y ( z ? x )dy

? ? f X ( x ) f Y ( z ? x )dy ? ?
0

??

f X ( x ) f Y ( z ? x )dy
?? z

?? ?e
z 0

?? x

?e

?? ( z? x )

dx ? ? ?e

?

z 0

e

?( ? ? ? ) x

dx

? ? ? ?? z e ? e ?? z , ? ? ? ? ?? ?? ?? 2 ze ? ? z , ??? ?

?

?

解:由第64页的卷积公式(2 . 5 . 3)可得,
X+Y 的概率密度为

f X ?Y ( z ) ? ?

?

?? ??

f X ( z ? y ) f Y ( y )dy

?

?? ?? z

f X ( x ) f Y ( z ? x )dy ?

?
z

0 ??

f X ( x ) f Y ( z ? x )dy

? ? f X ( x ) f Y ( z ? x )dy ? ?
0

??

f X ( x ) f Y ( z ? x )dy

? z? e ? ? x ? e ? ? ( z ? x ) dx, z ? 0 ??0 ?? ? 0, z?0 ? ?? ?e ? ? z z e ? ( ? ? ? ) x dx, z ? 0 ? ?0 ?? ? 0, z?0 ?
? ? ? ?? z ? ?? z ?e , ? ? ? ,? ? ?? e ? ?z ? 0 ; ? ? 2 ?? z ? ze , ? ? ?, ? ? ? ? 0, z ? 0. ?

?

?

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下页

49. 设X,Y 分别表示两个不同的电子原件的 寿命(以小时计)并设X 和Y 相互独立, 且服从同一分布,其概率密度为

? 1000 ? 2 , f ( x) ? ? x ? 0, ?

x ? 1000 ; x ? 1000.

求Z=X /Y 的概率密度.

分析:由第67页的公式(2 . 5 . 5)可得,
Z=X /Y的概率密度为

f Z (z) ? ? ?

?

?? ??

y f X ( yz) f Y ( y )dy
0 ??

? ?

?? 0 ?? 0

yf X ( yz) f Y ( y )dy ? ? yf X ( yz) f Y ( y )dy

yf X ( yz) f Y ( y )dy

? y ? 1000 于是,只有在 时, ? ? yz ? 1000 被 积 函 数 X ( yz) f Y ( y )才 不 等 于 零 。 yf

解:由第67页的公式(2 . 5 . 5)可得,
Z=X /Y的概率密度为

f Z (z) ? ? ?

?

?? ??

y f X ( yz) f Y ( y )dy
0 ??

? ?

?? 0 ?? 0

yf X ( yz) f Y ( y )dy ? ? yf X ( yz) f Y ( y )dy

yf X ( yz) f Y ( y )dy

从而,当0 < z < 1时,

f Z (z) ? ?

?

?? 0

yf X ( yz) f Y ( y )dy 1 dy ? 2

?

??
1000 z

y

1000 1000 y2z2 y2

从而,当 z ≥ 1时,

f Z (z) ? ?

?

?? 0

yf X ( yz) f Y ( y )dy 1 dy ? 2 2z

?

?? 1000

y

1000 1000 y2z2 y2

f Z (z) ? ?

?

?? 0

yf X ( yz) f Y ( y )dy 1 dy ? 2

?

??
1000 z

y

1000 1000 y2z2 y2

从而,当 z ≥ 1时,

f Z (z) ? ?

?

?? 0

yf X ( yz) f Y ( y )dy 1 dy ? 2 2z

?

?? 1000

y

1000 1000 y2z2 y2

习题三部分习题解答P 98 2. 将3只求随机地逐个放入4只编号分别为 1、2、3、4的盒子中,以X 表示至少有一只球 的合子的最小号码,试求E( X )。 分析:为了求E( X ),必须先求出随机变量X 的分 布律, X的所有可能取值为1、2、3、4,且该问 题是一个古典概型。 解: 将3只求随机地逐个放入4只编号分别为1、2、 3、4的盒子中共有放法:

n ? C C C ? 64
1 4 1 4 1 4
{ X=1 }表示“编号为1的盒子里至少有一个 球”,此时共有放法:

m1 ? C C C ? C C C ? C C C
1 1 1 4 1 4 1 3 1 1 1 4 1 3 1 3

1 1

? 16 ? 12 ? 9 ? 37
{ X=2 }表示“编号为2的盒子里至少有一个 球,且编号为1的盒子里没有球”,此时共有 放法:

m2 ? C C C ? C C C ? C C C
1 1 1 3 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2

1 1

? 9 ? 6 ? 4 ? 19
{ X=3 }表示“编号为3的盒子里至少有一个球, 且编号为1、2的盒子里没有球”,此时共有放法:

m3 ? C C C ? C C C ? C C C
1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1

? 4 ? 2 ?1 ? 7
{ X=4 }表示“3个球都落在编号为4的盒子 里”,此时共有放法:

m4 ? 1
于是可得的概率分布律:
X Pk
m1 n

1

2
37 64
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