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高考冲刺数学复习教案 第2课时 函数概念及表示


学业水平测试数学复习学案 第 2 课时 函数概念及表示
一.知识梳理 1.函数的概念: 设 A、 B 是_____________,如果按某个确定的对应关系 f ,使集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有_____________的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f :A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y ? f ( x), x ? A .其中, x 叫做自变量,集合 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 C ? { f ( x) | x ? A} 叫做函数的值域,且 C _______ B . 2.函数的三要素:____________、____________、_____________. 3.映射的概念. (1)设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 元素,在集合 B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 . (2)象与原象:如果 f:A→B 是一个 A 到 B 的映射,那么和 A 中的元素 a 对应的 叫做 象, 叫做原象。 4.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3) f ( x ) 满足某个等式,此等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法; 5.常见的三种题型确定定义域[注意函数定义域的书写形式必须是集合或区间形式]: ① 已知解析式,如:① y ? f ( x) ,则 ; ② y ? 2n f ( x) (n ? N * ) ,则 ; g ( x) ③ y ? log f ( x ) g ( x) ,则 ;④ y ? [ f ( x)] ,则
0



② 复合函数 f [g(x)]的定义域, 就要保证内函数 g(x)的 域是外函数 f (x)的 域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得自变量有意义的取值集合 6.求函数的值域方法 ① 配方法(将函数转化为二次函数);② 判别式法(将函数转化为二次方程);③ 不等式法(运 用不等式的各种性质);④ 函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等) 二.课前检测 1、从集合 A ? ?0,1 到集合 B ? ?a, b, c? 的映射个数共有 9 ? 2.函数 个

f ( x) ? x ? x ? 1? ? x
2

的定义域是____________. x x ? 1 )

?

?

3. 函数 f ( x) ? 3x ? 5x ? 2 , x ? [0,2] 的值域是(D A. [2,4] B. [ ?

1 ,?? ) 12

C. [?

1 , 2] 12

D. [?

1 , 4] 12

4. 若 f (x) 是一次函数, f [ f ( x)] ? 4 x ? 1 且,则 f (x) = _________________。 答案: f ? x ? ? 2 x ?
2

1 或 f ? x ? ? ?2x ? 1 3
[0,2]

5.函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是

三.典例解析 【例 1】试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=

x ? 0, ?1 |x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

2n (3)(x) 2n?1 x 2n?1 , (x) ( 2 n ?1 x ) 1 f = g = (n∈ *) N ; (4) (x) x f =


g = x ? 1 , (x) x 2 ? x ;

解: (1)由于 f(x)= x 2 =|x|,g(x)= 3 x 3 =x,故它们的值域及对应法则都不相同,所 以它们不是同一函数; (2)由于函数 f(x)=

x ? 0, ?1 |x| 的定义域为(-∞,0)∪ (0,+∞) ,而 g(x)= ? 的 x ?? 1 x ? 0;

定义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n∈ *时,2n± 为奇数, N 1 ∴ f(x)= 2n?1 x 2n?1 =x,g(x)=( 2 n ?1 x )2n 1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所


以它们是同一函数; (4)由于函数 f(x)= x

x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而 g(x)= x 2 ? x 的定义域为{x|x≤

-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; 【例 2】(1)设函数 f ( x) ? ?

( x ? 100) ?x ? 3 , 求f (89). ? f [ f ( x ? 5)] ( x ? 100)
,则满足 f(x)=

(2)设函数 f(x)= ?

?2 ? x , x ? (??,1] ?log 81 , x ? (1,?? )

1 的 x 值为 4



解:(1)这是分段函数与复合函数式的变换问题,需要反复进行数值代换,

f (89) ? f ( f (94)) ? f ( f ( f (99))) ? f ( f ( f ( f (104)))) ? f ( f ( f (101 ))) ))) = f ( f (98)) ? f ( f ( f (103 ? f ( f (100)) ? f (97) ? f ( f (102)) ? f (99) ) = f ( f (104)) ? f (101 ? 98.
(2)当 x∈ (-∞,1 ] ,值域应为[

1 ,+∞], 2

当 x∈ (1,+∞)时值域应为(0,+∞),∴ y=

1 ,y∈ (0,+∞) 4

∴ 此时 x∈ (1,+∞)

∴ 81x= log

1 ,x=81 4 =3。 4
2

1

【变式训练】设 f ( x) ? ?

?2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 2 ?log 3 ( x ? 1),x ? 2. ?

【例 3】求下述函数的定义域: (1) f ( x) ?

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; lg(2 x ? 1)

(2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x 2 ? a 2 ).

?2 x ? x 2 ? 0 ? 1 3 3 ?2 x ? 1 ? 0 解:(1)? ? ,解得函数定义域为 ( ,1) ? (1, ) ? ( ,2] . 2 2 2 ?2 x ? 1 ? 1 ?3 ? 2 x ? 0 ?
(2)? ?

? x ? ka
2 2 ?x ? a

,(先对 a 进行分类讨论,然后对 k 进行分类讨论),

① a=0 (k ? R) 时,函数定义域为 (0,??) ; 当 ② a ? 0 时,得 ? 当

? x ? ka , ? x ? ? a或 x ? a

1)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? 1

2)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (a,??) , ?? 1 ? k ? 1

3)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,?a) ? (a,??) ; ?k ? ?1
? x ? ka , ? x ? a或 x ? ? a

③ a ? 0 时,得 ? 当

1)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? ?1

2)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (?a,??) , ?? 1 ? k ? 1

3)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka, a) ? (?a,??) 。 k ?1 ?
3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是 ax ? ax ? 3
3 2

【变式训练】1.已知函数 f(x)=

?a ? 0, 解:由 a=0 或 ? 可得-12<a≤0, 2 ?Δ ? a ? 4a ? (?3) ? 0,
2.若 f (x) 的定义域为[-1,1],求函数 f ( x ? 1) 的定义域 解:? ?1 ? x ? 1 ? 1 ??2 ? x ? 0

f (x ? 1 ) 的定义域为[-2,0]

3.若 f ( x ? 1) 的定义域是[-1,1],求函数 f (x) 的定义域 解: t ? x ? 1

x ?[?1,1] ?t ?[0, 2]

f(x)的定义域为[0,2]

【例 4】.求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? x ? 2 ;(2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ;(3) y ?
2

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ;(5) y ? x ? 1 ? x 2 ;(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 (x ? ) ; (7) y ? 2 ; (8) y ? 2x ?1 2 x ? x ?1
解:(1)(配方法)? y ? 3 x ? x ? 2 ? 3( x ? ) ?
2 2

1 6

23 23 ? , 12 12

∴ y ? 3x ? x ? 2 的值域为 [
2 2

23 , ?? ) 。 12

改题:求函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域。 解:(利用函数的单调性)函数 y ? 3x ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增,
2

∴ x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 。 当 ∴ 函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] 。
2

(2)求复合函数的值域:

设 ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ),则原函数可化为 y ? 又∵? ? ? x2 ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3)2 ? 4 ? 4 , ∴0 ? ? ? 4 ,故

?。

? ?[0,2] ,

∴ y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] 。 (3)(法一)反函数法:
y? 3x ? 1 2x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , x ?3 x?2

∴ 原函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2

(法二)分离变量法: y ? ∵
7 7 ? 0 ,∴3 ? ? 3, x?2 x?2

∴ 函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2
2

(4)换元法(代数换元法):设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t , ∴ 原函数可化为 y ? 1 ? t ? 4t ? ?(t ? 2) ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 ,
2 2

∴ 原函数值域为 (??,5] 。 (5)三角换元法: ∵1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴ x ? cos ? , ? ?[0, ? ] , 设
2

则 y ? cos ? ? sin ? ? ∵? ?[0, ? ] ,∴? ? ∴ 2 sin(? ?

2 sin(? ? ) 4

?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,∴sin(? ? ) ?[? ,1] , 4 4 4 4 2

?
4

) ? [?1, 2] ,

∴ 原函数的值域为 [?1, 2] 。
??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? (?4 ? x ? 1) , (6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?

∴ y ? 5 ,∴ 函数值域为 [5, ??) 。 (7)判别式法:∵x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴ 函数的定义域为 R 。
2

2 x2 ? x ? 2 由y? 2 得: ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 x ? x ?1



① y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,① 3 x ? 0 ? 0 ,∴x ? 0 ? R 当 即 ② y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵x ? R 时方程 ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根, 当 ∴ ? ? ( y ? 1)2 ? 4 ? ( y ? 2)2 ? 0 , △ ∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴ 原函数的值域为 [1,5] 。
1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 (8) y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? , 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2

∵x ?

1 1 ,∴x ? ? 0 , 2 2

1 1 1 2 ? 2 (x ? 1) 2 ∴x ? 2 ? 1 2 (x ? 1) x? 2 2

? 2,

1 1? 2 1 当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立。 1 2 x? 2 2

∴y ?

2?

1 , 2 1 , ??) 。 2

∴ 原函数的值域为 [ 2 ?

【变式训练】1.函数 y ? x 2 ? 2 x 的定义域为 {0,1, 2,3} ,则其值域为___________. ?0, ?1,3? 2. 求函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域. y ? ?
2

? 23 ? , 26? ? 12 ?

3.求函数 y=

x2 ?1 的值域. x2 ?1
1 x

y ???1,1?

【例 5】(1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 ,求 f ( x ) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ; (3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ; (4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) 。 解:(1)∵ f ( x ? ) ? x ?
3

2 x

1 x

1 x

1 1 1 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , 3 x x x

∴ f ( x) ? x3 ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 )。

2 2 ? 1 ? t ( t ? 1 ),则 x ? , x t ?1 2 2 ( x ? 1) 。 ∴ f (t ) ? lg , f ( x) ? lg t ?1 x ?1
(2)令 (3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴a ? 2 , b ? 7 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 7 。 (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x 把① 中的 x 换成

1 x

① , ② ,

1 1 3 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? x x x 3 ①?2 ? ② 3 f ( x) ? 6 x ? , 得 x 1 ∴ f ( x) ? 2 x ? 。 x

点评:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数 法;第(4)题用方程组法。 【变式训练】1.已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f (m) ? 6 ,则 m 等于(

1 2

?

1 4



2.若函数 f (x) 满足关系式 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,则 f (x) 的表达式为__________ f ( x) ?

1 x

2 ?x x



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