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2013人教版高中数学必修四平面向量题库


(数学 4 必修)第二章 [基础训练 A 组] 一、选择题
1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得(

平面向量

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? A. AB B. DA C. BC D. 0 ?? ?? ? ? ? ? 2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是( ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? A. a0 ? b0 B. a ? b ? 1 0 0 ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? C. | a0 | ? | b0 |? 2 D. | a0 ? b0 |? 2
3.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 ,





? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ? ? b (4)若 a 与 b 平行,则 a? ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.下列命题中正确的是( ) A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 a?b=0,则 a∥b C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

?

?

?

?

?



6.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 ,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是( A. 4 2 ,0 ) C. 16, 0 D. 4, 0

B. 4, 4 2

二、填空题
1 AB =_________ 3 ? ? ? ? ? 2.平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b =____。
1.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则
0 3.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?

?

?

?

?



4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。

5.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。 三、解答题 1.如图, ? ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点,若 AB = a , AD = b , 试以 a , b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG .

?

?

?

?

??? ? ?

?

?

?

??? ?

??? ?

D

F G E B

C

A

2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4, (a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
?

? ?

?

?

?

?

?

?

3.已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1, 3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

4.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

(2) k a ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

(数学 4 必修)第二章 一、选择题
1.下列命题中正确的是(

平面向量

[综合训练 B 组]

??? ??? ??? ? ? ? A. OA ? OB ? AB ? ??? ? ? C. 0 ? AB ? 0



B. AB ? BA ? 0

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ???? ? ? ? D. AB ? BC ? CD ? AD

2.设点 A(2,0) , B(4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP , 则点 P 的坐标为( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ?1) ) B. (1, ?1) D.无数多个 )

????

????

o 3.若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |? 3 5 ,则 b ? (

A. (?3,6)

B. (3,?6)

C. (6,?3)

D. (?6,3)

4.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于

?

?

? ?

?

?

1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(
A. ?2 B. 2 C.

1 2

D. ?



5? 6 ? 1 ? 3 ? ? 6.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 2 3
A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.



A. 30

0

B. 60

0

C. 75

0

D. 45

0

二、填空题
1.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?


? ?

2.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2, 3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。
0 a 3. a ? 1 , b ? 2 , 与 b 的夹角为 60 , (3a ? 5b) ? ( ma ? b) , m 的值为 若 若 则

?

?

?

?

?

?

? ?



4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。
? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

5.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。

三、解答题
1.求与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.

?

?

?

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

c b 3.设非零向量 a , b , c , d ,满足 d ? (a ? )b ? (a ? )c ,求证: a ? d

? ? ? ?

?

? ? ?

? ? ?

?

?

4.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直;

?

?

?

?

?

?

(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).

?

?

?

?

(数学 4 必修)第二章 [提高训练 C 组]
一、选择题

平面向量

1.若三点 A(2,3), B(3, a), C(4, b) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0

) D. a ? 2b ? 0

C. 2a ? b ? 3

2.设 0 ? ? ? 2? ,已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin? ? ,

OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos? ? ,则向量 P1 P2 长度的最大值是(
A. 2 B. 3 C. 3 2 3.下列命题正确的是( ) A.单位向量都相等 D. 2 3



? ? C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 ? ? D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 ? ? ? ? 0 4.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (
A. 7 B. 10 C. 13 D. 4

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量(





5.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.

?

?

?

?

? ?

?

?

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
) D. (4,2) 或 (?4,?2)

6.若平面向量 b 与向量 a ? ( 2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. (4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

二、填空题
1.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是

?

?

?

?



2.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 3.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 4.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

?

?

?

?

? ? ?

?

?



b 5.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a? ? 5 ,则向量 b ? ______。
三、解答题

?

? ?

1.已知 a , b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假.

? ? ?

(1)若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ,则 b ? c

? ?

? ?

?

?

?

? ? ?

(2) 向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? ( ? 是 a 与 b 的夹角) 方向与 a 在 b , 相同或相反的一个向量.

?

?

?

?

?

2.证明:对于任意的 a, b, c, d ? R ,恒有不等式 (ac ? bd ) ? (a ? b )(c ? d )
2 2 2 2 2

3.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

1 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 且 x ? y ,试求函数关系式 k ? f (t ) 。

4. 如图, 在直角△ABC 中, 已知 BC ? a , 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, PQ与BC 问 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。



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