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2016年秋高中数学 第三章 函数的应用综合测试题


第三章综合测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.函数 f(x)=π x+log2x 的零点所在区间为 导学号 22841078 ( 1 A.[0

, ] 8 1 1 C.[ , ] 4 2 [答案] C [ 解析 ] 1 4 1 2 ∵ f(x) 在其定义域 (0 ,+∞)上是单调递增函数,而在四个选项中,只有 1 1 4 2 1 1 B.[ , ] 8 4 1 D.[ ,1] 2 )

f( )·f( )<0,∴函数 f(x)的零点所在区间为[ , ],故选 C.
2.若函数 f(x)在[a,b]上连续,且同时满足 f(a)·f(b)<0,f(a)·f( 导学号 22841079 ( A.f(x)在[a, B.f(x)在[ ) ]上有零点

a+b
2

)>0.则

a+b
2

a+b
2

,b]上有零点 ]上无零点

C.f(x)在[a, D.f(x)在[ [答案] B

a+b
2

a+b
2

,b]上无零点

[解析] 由已知,易得 f(b)·f(

a+b
2

)<0,因此 f(x)在[

a+b
2

,b]上一定有零点,但在

其他区间上可能有零点,也可能没有零点. 3.三个变量 y1,y2,y3 随着变量 x 的变化情况如下表:

x y1 y2 y3

1 5 5 5

3 135 29 6.10

5 625 245 6.61

7 1715 2189 6.985

9 3645 19685 7.2

11 6655 177149 7.4

则关于 x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 导学号 22841080
1

(

) A.y1,y2,y3 C.y3,y2,y1 [答案] C [解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知,对数 B.y2,y1,y3 D.y1,y3,y2

函数的增长速度越来越慢,变量 y3 随 x 的变化符合此规律;指数函数的增长速度越来越快,

y2 随 x 的变化符合此规律;幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间,y1 随 x 的变化
符合此规律,故选 C. 4.下列图象所表示的函数中,能用二分法求零点的是 导学号 22841081 ( )

[答案] C [解析] ∵C 中零点左右两侧的函数值的符号相反. 5 .对于函数 f(x) 在定义域内用二分法的求解过程如下: f(2014)<0 , f(2015)<0 ,

f(2016)>0,则下列叙述正确的是 导学号 22841082 (
A.函数 f(x)在(2014,2015)内不存在零点 B.函数 f(x)在(2015,2016)内不存在零点

)

C.函数 f(x)在(2015,2016)内存在零点,并且仅有一个 D.函数 f(x)在(2014,2015)内可能存在零点 [答案] D [解析] 在区间(2015,2016)内零点的个数不确定,故 B,C 错误,在区间(2014,2015) 内可能有零点,故选 D. 6.已知 x0 是函数 f(x)=2 + 导学号 22841083 ( ) B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0
x

1 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则 1-x

A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 [答案] B

1 1 x [解析] 由于函数 g(x)= =- 在(1,+∞)上单调递增,函数 h(x)=2 在(1, 1-x x-1 +∞)上单调递增,故函数 f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)在(1,

2

+∞)上只有唯一的零点 x0,且 f(x1)<0,f(x2)>0,故选 B. 7.二次函数 f(x)=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
2

x y

-3 6
2

-2

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3

4 6 )

m

n

由此可以判断方程 ax +bx+c=0 的两个根所在的区间是 导学号 22841084 ( A.(-3,-1)和(2,4) C.(-1,1)和(1,2) [答案] A [解析] ∵f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0, ∴f(-3)·f(-1)<0. ∵f(2)=-4<0,f(4)=6>0, B.(-3,-1)和(-1,1) D.(-∞,-3)和(4,+∞)

∴f(2)·f(4)<0.∴方程 ax +bx+c=0 的两根所在的区间分别是(-3, -1)和(2,4). 8.某研究小组在一项实验中获得一组关系 y、t 之间的数据,将其整理得到如图所示的 散点图,下列函数中,最能近似刻画 y 与 t 之间关系 导学号 22841085 ( )

2

A.y=2 C.y=t

t

B.y=2t

2

3

D.y=log2t

[答案] D [解析] 由点(2,1),(4,2),(8,4),故选 D. 9.某厂原来月产量为 a,一月份增产 10%,二月份比一月份减产 10%,设二月份产量为

b,则 导学号 22841086 (
A.a>b C.a=b [答案] A

) B.a<b D.无法判断

1 [解析] ∵b=a(1+10%)(1-10%)=a(1- ), 100 99 ∴b=a× ,∴b<a,故选 A. 100 10.设 a,b,k 是实数,二次函数 f(x)=x +ax+b 满足:f(k-1)与 f(k)异号,f(k
3
2

+1)与 f(k)异号.在以下关于 f(x)的零点的说法中,正确的是 导学号 22841087 ( A.该二次函数的零点都小于 k B.该二次函数的零点都大于 k C.该二次函数的两个零点之间差一定大于 2 D.该二次函数的零点均在区间(k-1,k+1)内 [答案] D

)

[解析] 由题意得 f(k-1)·f(k)<0,f(k)·f(k+1)<0,由零点的存在性定理可知, 在区间(k-1,k), (k,k+1)内各有一个零点, 零点可能是区间内的任何一个值,故 D 正确. 11. 若函数 f(x)=x -x-1 在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算 列表如下
3

x f(x)
3

1 -1

1.5 0.875

1.25 -0.2969

1.375 0.2246

1.3125 -0.05151 )

那么方程 x -x-1=0 的一个近似根(精确度为 0,1)为 导学号 22841088 ( A.1.2 C.1.4375 [答案] B [解析] 由于 f(1.375)>0,f(1.3125)<0,且 1.375-1.3125<0.1,故选 B. B.1.3125 D.1.25

12.已知三个函数 f(x)=2 +x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c, 则 导学号 22841089 ( A.a<b<c C.b<a<c [答案] B 1 1 [解析] 因为 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0, 2 2 所以 f(x)的零点 a∈(-1,0); 因为 g(2)=0,所以 g(x)的零点 b=2; 1 1 1 因为 h( )=-1+ =- <0,h(1)=1>0, 2 2 2 1 所以 h(x)的零点 c∈( ,1). 2 因此 a<c<b. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)
4

x

) B.a<c<b D.c<a<b

13. 若函数 y=mx +x-2 没有零点, 则实数 m 的取值范围是________. 导学号 22841090 1 [答案] m<- 8
? ?m≠0, [解析] 当 m=0 时,函数有零点,所以应有? ?Δ =1+8m<0, ?

2

1 解得 m<- . 8 14.已知二次函数 f(x)=x +x+a(a>0),若 f(m)<0,则在(m,m+1)上函数零点的个 数是________. 导学号 22841091 [答案] 1 [解析] 设函数 f(x)的两个零点为 x1,x2,则 x1+x2=-1,x1·x2=a. ∵|x1-x2|= ?x1+x2? -4x1x2= 1-4a<1, 又 f(m)<0,∴f(m+1)>0. ∴f(x)在(m,m+1)上零点的个数是 1. 15.已知 y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列 关于 f(x)=0 的解叙述正确的是________. 导学号 22841092
2 2

①有三个实根; ②x>1 时恰有一实根; ③当 0<x<1 时恰有一实根; ④当-1<x<0 时恰有一实根; ⑤当 x<-1 时恰有一实根(有且仅有一实根). [答案] ①⑤ [解析] f(x)的图象是将函数 y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移 0.01 个单位得到.故

f(x)的图象与 x 轴有三个交点,它们分别在区间(-∞,-1),(0, )和( ,1)内,故只有
①⑤正确. 16.某工程由 A、B、C、D 四道工序完成,完成它们需用的时间依次 2、5、x、4 天,四 道工序的先后顺序及相互关系是:A、B 可以同时开工;A 完成后,C 可以开工;B、C 完成后,

1 2

1 2

D 可以开工,若完成该工程总时间数为 9 天,则完成工序 C 需要的天数 x 最大为
5

________. 导学号 22841093 [答案] 3 [解析] 如图,A(2 天)→C(x)天 B(5 天)D(4 天) 设工程所用总天数为 f(x),则由题意得: 当 x≤3 时,f(x)=5+4=9, 当 x>3 时,f(x)=2+x+4=6+x,
? x≤3 ?9 ∴f(x)=? ?6+x x>3 ?



∵工程所用总天数 f(x)=9, ∴x≤3,∴x 最大值为 3. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)设函数 f(x)=
? ?2x-2,x∈[1,+∞?, ? 2 ?x -2x,x∈?-∞,1?, ?

1 求函数 g(x)=f(x)- 的零点. 导学号 22841094 4

1 1 [解析] 求函数 g(x)=f(x)- 的零点,即求方程 f(x)- =0 的根. 4 4 1 9 当 x≥1 时,由 2x-2- =0 得 x= ; 4 8 1 2+ 5 2- 5 2 当 x<1 时,由 x -2x- =0 得 x= (舍去)或 x= . 4 2 2 1 9 2- 5 ∴函数 g(x)=f(x)- 的零点是 或 . 4 8 2 18. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ax +(b-8)x-a-ab 的两个零点分别是-3 和 2; 导学号 22841095 (1)求 f(x); (2)当函数 f(x)的定义域是[0,1]时,求函数 f(x)的值域. [解析] (1)因为 f(x)的两个零点分别是-3,2,所以?
?9a-3?b-8?-a-ab=0, ? 即? ? ?4a+2?b-8?-a-ab=0, ?a=-3, ? ? ?b=5, ? ?f?-3?=0, ?f?2?=0, ?
2

解得?

故 f(x)=-3x -3x+18. 1 2 (2)由(1)知 f(x)=-3x -3x+18,其图象的对称轴为 x=- ,开口向下,所以 f(x) 2 在[0,1]上为减函数,则 f(x)的最大值为 f(0)=18,最小值为 f(1)=12.

2

6

所以值域为[12,18]. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 3 lgx,x≥ , ? ? 2 ? 3 lg?3-x?,x< . ? ? 2 若方程 f(x)=k 无实数解,求 k 的取值范围. 导学号 22841096 3 [解析] 当 x≥ 时,函数 f(x)=lgx 是增函数, 2 3 ∴f(x)∈[lg ,+∞]; 2 3 当 x< 时,函数 f(x)=lg(3-x)是减函数, 2 3 3 ∴f(x)∈(lg ,+∞).故 f(x)∈[lg ,+∞). 2 2 3 要使方程无实数解,则 k<lg . 2 3 故 k 的取值范围是(-∞,lg ). 2 20. (本小题满分 12 分)某公司从 1999 年的年产值 100 万元, 增加到 10 年后 2009 年的 500 万元,如果每年产值增长率相同,则每年的平均增长率是多少?(ln(1+x)≈x,lg2= 0.3,ln10=2.30) 导学号 22841097 [解析] 设每年年增长率为 x, 则 100(1+x) =500,即(1+x) =5, 两边取常用对数,得 10·lg(1+x)=lg5, lg5 1 0.7 ∴lg(1+x)= = (lg10-lg2)= . 10 10 10 ln?1+x? 又∵lg(1+x)= , ln10 ∴ln(1+x)=lg(1+x)·ln10. 0.7 0.7 ∴ln(1+x)= ×ln10= ×2.30=0.161=16.1%. 10 10 又由已知条件:ln(1+x)≈x 得 x≈16.1%. 故每年的平均增长率约为 16.1%. 21. (本小题满分 12 分)关于 x 的方程 x -2x+a=0, 求 a 为何值时:导学号 22841098
7
2 10 10

(1)方程一根大于 1,一根小于 1; (2)方程一个根在(-1,1)内,另一个根在(2,3)内; (3)方程的两个根都大于零? [解析] 设 f(x)=x -2x+a, (1)结合图象知, 当方程一根大于 1, 一根小于 1 时, f(1) <0,得 1-2+a<0,所以 a<1. (2) 由 方 程 一 个 根 在 区 间 ( - 1,1) 内 , 另 一 个 根 在 区 间 (2,3) 内 , 得
2

f?-1?>0, ? ?f?1?<0, ?f?2?<0, ? ?f?3?>0,
解得-3<a<0.

3+a>0, ? ?1-2+a<0, 即? 4-4+a<0, ? ?9-6+a>0,

Δ =4-4a>0, ? ? -2 (3)由方程的两个根都大于零,得?- >0, 2 ? ?f?0?>0,

解得 0<a<1.

22.(本小题满分 12 分)一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面 积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积 1 2 至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 . 导学号 22841099 4 2 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? [分析] (1)根据 10 年的砍伐面积为原来的一半,列方程求解. (2)根据到今年为止,森林剩余面积为原来的 2 ,列方程求解. 2

1 (3)求出第 n 年后森林剩余面积,根据森林面积至少要保留原面积的 列不等式求解. 4 1 1 10 10 [解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1),则 a(1-x) = a,即(1-x) = . 2 2 1 1 解得 x=1-( )10 . 2 (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 ,则 2

a(1-x)m=

2 1 m 1 1 a,即( )10 =( )2 , 2 2 2

8

1 = ,解得 m=5. 10 2 故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍伐了 n 年, 则 n 年后剩余面积为 令 2 a(1-x)n. 2

m

2 1 2 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4

3 1 n 1 n 3 ( )10 ≥( )2 , ≤ ,解得 n≤15. 2 2 10 2 故今后最多还能砍伐 15 年. [点评] 通过本题,重点强调高次方程、指数不等式的解法.对于高次方程应让学生明 确,主要是开方运算;对于指数不等式,强调化为同底,应用指数函数的单调性求解,本题 中化为同底是一大难点.

9


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