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108488


不等式 函数

填空: 1。

(1)-4x2-8x-5=-4(x+ 1 )2- 1 3 3 (2) x2-3x+3=(x- 2 )2+ 4

< 0

>0

2。a>b?a-b > 0 a<b?a-b < 0

如图:

观察,思考g(x)与f(x)对于同一个自 变量x的值,谁大谁小? y g(x)=x2+3
? ? f(x)=3x

?
3

? ?
x

a?
?

? o ? b c

例1。求证:x2+3 ? 3x
2+3 ? 3x x 分析: ? (x2+3)-3x ? 0


2

证明:(x2+3)
1。作差

9 9? ? 2 -3x= ? x ? 3x ? 4 ? 4 ? ? 3 ? ?

3。判断

2? ? ?? x ? ? ? 0 3? ?
2

2

3? 3 ? ??x? ? ? 2? 4 ?

2。重要的数学方法 配方法

2? 3 3 ? ?? x ? ? ? ? ? 0,即 x 2 ? 3 ? 3x ? 0 3? 4 4 ?

?

?

? x ? 3 ? 3x
2

例2 已知a,b?R+,并且a?b,求证 a5+b5 >a3b2+a2b3 证明:(a5+b5)–(a3b2+a2b3) 1、作差
2、变形
=(a5-a3b2)-(a2b3-b5) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2) =(a2-b2)(a3-b3)

∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 ∴

=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) a,b?R+ a+b >0, a2+ab+b2 >0 3 a? b 判 (a-b)2 >0 断 (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) >0 (a5+b5)–(a3b2+a2b3) >0 a5+b5 >a3b2+a2b3

例3。已知:a?2,求证
4a 4a ? x 2 ? 4 证明: 2 ? 1 ? 4?a 4 ? a2 2 ? ?a ? 4? ? 4 ? a2

?

?

4a ?1 2 4?a

? ?a ? 2 ? ? ?0 2 4?a 4a 即 ?1 ? 0 2 4?a 4a ? ?1 2 4?a
2

a? 2 ∴ (a-2)2 >0 即 (a-2)2 <0, ∵ 4+a2 >0 ∵

-

课堂练习:
1。求证:(x-3)2 > (x-2)(x-3)

2。已知:a?b
求证:a2+3b2 > 2b(a+b) + 3。已知:a,b?R ,且a≠b 求证:a4+b4 > a3b+ab3

通过学习例1:对x2+3>3x。。。。。你会不 会变其中的数字系数为字母,提出一个新的数 学问题? 问题(1):如果x2+a>3x对于x取一切实数 都成立,a的取值范围是什么? 问题(2):如果x2+3>ax对于x取一切实数
都成立,a的取值范围是什么? 问题(3):如果x2+a>bx对于x取一切实数 都成立,a、 b间的关系是什么? 问题(4):如果ax2+3>bx对于x取一切实数

都成立, a、 b间的关系是什么?

小结: (1)作差比较法的思想: 欲证a>b,只要证a-b>0即可;欲证a<b,
只要证a-b<0即可。
(2)作差比较法的目标:变成常数、因式积 或平方和加常数,便于判断正负。 (3)作差比较法的基本步骤:求差→变形→ 判断(大于或小于0)


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