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安徽省浮山中学2008-2009学年度高中数学竞赛集训卷二


安徽高中数学

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安徽省浮山中学 2008-2009 学年度高中数学竞赛集训卷二 命题人 吴约中
一、选择题 (本大题满分 36 分,每小题 6 分) 选择题 1.设集合 A = {a + 8 | a ∈ N }, B = {b + 29 | b ∈ N } ,若 A I B = P ,则 P 中元素个数为(
2 2

)

A.0

B.1

C.2

D.至少 3 个

2.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1 125

的最小整数 n 是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.三个互不重合的平面,能把空间分成 n 部分,则 n 的所有可能的值是( ) A.4, 6, 8 B. 4, 6, 7 C. 4, 5, 7, 8 D. 4, 6, 7, 8 4.设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA、PB 的延长线分别交于 Q、R,则和式

1 1 1 + + ( ) PQ PR PS
B.有最小值而无最大值 D.是一个与面 QPS 无关的常数

A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等

x2 y2 + = 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH(H 为垂足) ,延长 PH 5.过椭圆 C: 3 2
到点 Q,使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围为 ( ) A. (0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2
b

6.在△ABC 中, A、 C 的对边分别记为 a、 c(b≠1), 角 B、 b、 且

C sin B , 都是方程 log A sin A

x=logb(4x-4)

的根,则△ABC( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形 二、填空题 (本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 8.函数 f ( x ) =

1 2 π + , (0 < x < ) 的最小值是____________. 2 2 2 sin x cos x 1 1 (a n + ) ,则 a n =______. 2 an

9.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 10.数列 {an } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足 S n =

11.若三角形的三条高线长分别为 12,15,20,则此三角形的形状为 . 12.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1.若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所有整 数 a=__________.

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解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题( ) * 13. (20 分)将等差数列{ a n }: an = 4n ? 1 ( n ∈ N ) 中所有能被 3 或 5 整除的数删去后,剩下的数 自小到大排成一个数列{ bn },求 b2008 的值. 14.(20 分)已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与 ⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。 15.(20 分)已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2, (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b ; (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件。

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安徽省浮山中学 2008-2009 学年度高中数学竞赛集训卷二
参考答案 说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分,不设中间档 次分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照 本评分标准适当档次评分. 一、选择题 (本大题满分 36 分,每小题 6 分) 1.C 2.C 由 递 推 式 得 : 3(an+1-1)=-(an-1) , 则 {an-1} 是 以 8 为 首 项 , 公 比 为 -

1 的等比数列, 3

1 8[1 ? (? ) n ] 3 =6-6×(- 1 )n,∴|S -n-6|=6×( 1 )n< 1 ,得:3n-1>250, ∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)= n 1 3 3 125 1+ 3
∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C。 3.D 4.D 设 正 三 棱 锥 P-ABC 中 , 各 侧 棱 两 两 夹 角 为 α , PC 与 面 PAB 所 成 角 为 β , 则 VS-PQR=

1 1 1 S△PQR?h= ( PQ?PRsinα)?PS?sinβ。另一方面,记 O 到各面的距离为 d, 3 3 2

则 VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,

1 1 1 1 d 1 d 1 d 1 S△PQR?d= S△PRS?d+ S△PRS?d+ S△PQS?d= ? PQ?PRsinα+ ? PS?PRsinα+ ? PQ?PS?sin 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 1 1 1 sin β =常数。 故选 D。 α, 故有: PQ?PR?PS?sinβ=d(PQ?PR+PR?PS+PQ?PS), 即 + + = PQ PR PS d
5.C 设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH,所以

3(1 + λ ) ? x ? ?1 HP ? x1 = = ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 Q 点 λ PQ 1 + λ ? y1 = y ?
轨迹为

[ x ? 3(1 + λ )]2 y 2 3λ2 ? 2 2 3 + = 1 ,所以离心率 e= = 1 ? 2 ∈ [ ,1) 。故选 C。 2 2 3 3λ 3λ 2 3λ
b

6.B 由 log

x=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以 x1=x2=2,故 C=2A,sinB=2sinA,因 A+B+C=180°,所

以 3A+B=180°, 因此 sinB=sin3A, 3sinA-4sin3A=2sinA, sinA(1-4sin2A)=0, sinA≠0, ∴ ∵ 又 所以 sin2A= 而 sinA>0,∴sinA=

1 , 4

1 。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 2

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二、填空题 (本题满分 54 分,每小题 9 分)

?x + 2 y > 0 ?x > 2 | y | ? ?? 2 由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须求 7. 3 . ? x ? 2 y > 0 2 ?( x + 2 y )( x ? 2 y ) = 4 ? x ? 4 y = 4 ?
x-y 的最小值,令 x-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程显然有实

13 ? 1 21 + 1 <t< 。①若 t2-4>0,即 t<-2 2 2 t +1 t +1 >x(|x|≤1) 恒 成 立 , 得 2 > 1 , t+1>t2-4, t2-t-5<0 解 得 或 t>2 , 则 由 2 t ?4 t ?4
根,故△=16(u2-3)≥0。8. 3 + 2 2 9.t 的取值范围是:

1 ? 21 1 + 21 1 ? 21 1 + 21 <t < ,从而 <t<-2 或 2<t< 。②若 t2-4=0,则 t=2 符合题意。 2 2 2 2 t +1 t +1 ③若 t2-4<0,即-2<t<2,则由 2 <x(|x|≤1)恒成立,得 2 < ?1 ,t+1>-t2+4; t2+t-3>0,解得: t ?4 t ?4
t<

? 1 ? 13 ? 1 + 13 ? 1 + 13 或 t> ,从而 <t<2 。 综 上 所 述 , t 的 取 值 范 围 是 : 2 2 2 13 ? 1 21 + 1 <t< 。10. n ? n ? 1 2 2
11.直角三角形

12.1 或-2。令 x=y=0 得 f(0)=-1;令 x=y=-1,由 f(-2)=-2 得,f(-1)=-2,又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1, 再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①, 所以 f(y+1)-f(y)=y+2, y 为正整数时, 即 f(y+1)-f(y)>0, f(1)=1 由 可知对一切正整数 y,f(y)>0,因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于 1 的正整数 t, 恒有 f(t)>t,由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由 ①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0,即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题( ) 13.解:由于 a n +15 ? a n = 60 ,故若 a n 是 3 或 5 的倍数,当且仅当 a n +15 是 3 或 5 的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段:(0,+∞)=(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个 区间段中含有{ a n }的项 15 个,即 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{ bn }的项 8 个, 为: b1 = 7 , b2 = 11 , b3 = 19 , b4 = 23 , b5 = 31 , b6 = 43 , b7 = 47 , b8 = 59 ,于是每个区间段 中 恰 有 1 5 个 { a n } 的 项 , 8 个 { bn } 的 项 , 且 有 b8 k + r ? br = 60k , k ∈ N , 1 ≤ r ≤ 8 . 所 以

b2008 = 60 × 250 + b8 = 60 × 250 + 59 = 15059 .
14.以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为(x, 0),点 A(k, λ),⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x + 2 =1+r。
2 2

o?r o?h ? k AN ? k AM 2 所以 x=± r + 2r ? 3 , ∴tan∠MAN= = x+r?h x?r?h o?h o?h 1 + k AN ? k AM 1+ ? x+r?h x?r?k 2rh 2rh 2rh = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x ? k) ? r + h ( ± r + 2r ? 3 ) ? r ? h h + k ? 3 + 2r m 2k r 2 + 2r ? 3
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令 2m=h2+k2-3, tan∠MAN=

1 2 2 , 所以 m+r m k r + 2r ? 3 =nhr, ∴m+(1-nh)r= ± k r + 2r ? 3 , n

两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对于任意实数 r≥1,上式恒成立,所

?m 2 = ?3k 2 (1) ? 1 2 以 ?2m(1 ? nh) = 2k ( 2) ,由(1) (2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得 n= 。由 2m=h2+k2-3 h ?(1 ? nh) 2 = k 2 (3) ?
得 h=± 3 ,所以 tan∠MAN= ∠MAN=60°) ,故∠MAN=60°。

1 =h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍) (当 Q(0, 0), r=1 时 n

a 2 a2 a a2 15. 1) ( 证: 依题设, 对任意 x∈R, 都有 f(x)≤1。 ∵f(x)=-b(x)+ , ∴f( )= ≤1, ∵a>0, 2b 4b 2b 4b
b>0, ∴a≤2 b 。 2) (必要性) 对任意 x∈[0, 1], ( 证: , |f(x)|≤1 ? -1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即 a-b≥-1, ∴a≥b-1。 对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 ? f(x)≤1, 因为 b>1, 可推出 f(

1 b

)≤1。 a? 即

1 b

-≤1, ∴a≤2 b ,

所以 b-1≤a≤2 b 。 (充分性) :因 b>1, a≥b-1,对任意 x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x 因为 b>1, a≤2 b , 对任意 x∈[0, 1], 可推出 ax-bx2≤2 b -bx2≤1, ax-bx2≤1, 即 ≥-1, ax-bx2≥-1; 即: ∴-1≤f(x)≤1。综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b 。 (3)解:因为 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1]。f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1,即 a≤b+1;a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。 所以,当 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 的充要条件是:a≤b+1.

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