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14级2011-2012高一下数学期末考试题及答题卷


成都七中 2011-2012 学年下期 2014 级期末考试数学试卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分 命题人:张世永 审题人:夏雪 杜利超
一. 选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求.)

1.若a ? b, 则下列不等式成立的是( ) ?
A.3 a ? 3 b

1 1 B. ? a b
C.a 2 ? b2

D. a ? b

2.不等式 ? x2 ? 2 x ? 2 ? 0的解集为( ) ?

A. ?x | x ? 1?

B.?x | x ? 1?

C.R

D.?

3.函数f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x的最小值为( ) ?
A.? 2

B.- 2

C. ? 1

D.0

4.?ABC中,a ? 3, b ? 2, 则c(a cos B ? b cos A)的值为( ) ?
A.0 B.1 C .5 D.13

5.数列?an ?是等比数列,a3 =12,a4 =18,则a2等于( ).
A.6

B.

3 2

C .8

D.

16 3

6.直线3x ? 4 y ? 5 ? 0关于直线x ? y ? 0对称的直线方程为( )?
A. 4x ? 3 y ? 5 ? 0 B. 4 x? 3 y? 5? 0 C. 3x? 4 y? 5? 0 D.3x ? 4 y ? 5 ? 0

? 4 x ? y ? 10 ? 7.已知x, y满足约束条件 ?6 x ? 5 y ? 22, 则Z ? x ? 0.5 y的最大值为( )? ? x, y ? N ?
A.4 B.3 C.2 D.1

8.直线(3a ? 4) x ? ay ? 8 ? 0与直线ax ? (a ? 4) y ? 7 ? 0垂直,则a的值为( ).
A. ? 2 B.0
C. ? 2或0
D.0或2

9.某市出租车的计价标准为1.8元/km,起步价为8元,即最初的2km (不含 2km)计费8元。如果某人乘坐该市的出租车去往12km处的目的地,且 一路畅通,等候时间为0,则某人需支付车费(
A.22.4
10.

)元.

B.24.2

C .26

D.27.8

与点? ?1, ?1?的距离等于 2,且纵截距和横截距之和等于0的直线共有( )条 ?
A. 4 B. 3 C. 2 11. 已知动点 P ?cos? , sin? ? , 其中

?
2

D. 1

?? ?

3? , 定点 Q?2,0? , 直线 l : x ? y ? 2 . 线段 PQ 2

绕点 Q 顺时针旋转 90 度到 RQ, 直线 l 绕点 Q 逆时针旋转 90 度得直线 m, 则动点 R 到直线 m 的最小距离为( ). A.

2 2

B.

2

C.

3 2 2
2

D.

2 ?1
2

12. 已知平面上点 M ?

?? x, y ?|? x ? 3cos? ? ? ? y ? 3sin ? ?

? 25, ? ? R , 则满足条件的

?

点 M 在平面上组成的图形的面积是( ). A. 64? B. 60? C. 63? D. 55? 二、 填空题(每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上.)

13.直线x ? my ? 3m ? 3与直线mx ? y ? m ? 1平行.则m ? ______.

14.数列?an ? 前n项和Sn ? n2 ? n ?1, 则an =_____.
15.?ABC中,已知 tan A, tan B是x的方程x2 ? m( x ? 1) ? 1 ? 0的两个实根,则?C = _____.

16. 对于曲线 C : ? x ? m ? ? ? y ? 2m ?
2

2

n2 ? , 有以下五个结论: 2

(1) 当 m ? 1 时, 曲线 C 表示圆心为(1,2), 半径为

2 n 的圆; 2

(2) 当 m ? 0 , n ? 2 时 , 过点 (3,3) 向曲线 C 作切线 , 切点为 A, B, 则直线 AB 方程为

3 x ? 3 y ? 2 ? 0 ; (3) 当 m ? 1 , n ? 2 时 , 过点 (2,0) 向曲线 C 作切线 , 则切线方程为

y??

3 ? x ? 2? ; 4

(4) 当 n ? m ? 0 时, 曲线 C 表示圆心在直线 y ? 2 x 上的圆系, 且这些圆的公切线方程为

y ? x 或 y ? 7x ;
(5)当 n ? 4, m ? 0 时,直线 kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 (k ? R) 与曲线 C 表示的圆相离. 以上正确结论的序号为__________.

成都七中 2011-2012 学年下期 2014 级期末考试数学答题卷
命题人:张世永
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

审题人:夏雪 14、 16、

杜利超 . .

13、 15、

.

三.解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.)

17.已知向量 m ? (2sin x, 0), n ? (sin x ? cos x,sin x ? cos x), 且f ( x) ? m n. (1)求f ( x)的最小正周期和最小值; 1 ? (2)若f (? ) ? 1,sin? = ,0<? < <? <? ,求 cos ? 2? ? ? ?的值. 3 2

18.已知?ABC的顶点A(5,1), AB边上的高CH 所在的直线方程为2 x ? y ? 5 ? 0, AC边上的中线BM 所在的直线方程为x ? 2 y ? 5 ? 0. (1)求顶点B的坐标;? 2 ? 求直线BC的方程.

19. 三角形 ABC 中, 三内角 ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b,c, c ? 10 , 且 (1) 求证: 三角形 ABC 是直角三角形;

cos A b 4 ? ? . cos B a 3

(2) 过 AB 中点 E 作直线 MN 与射线 CA, CB 分别交于 M , N ,求 ME NE 的最小值,并 求出此时直线 MN 的方程.

20.中国环保部部长在2012年“六 五”世界环境日高层论坛上表示,国家正在加 大污水处理的投入,为此四川兰家沟污水处理站拟建一座平面图形为矩形且面 积为2000m 2的四级污水处理池,长,宽都不能超过60米.如果四周围池壁建造单 价为400元/m,中间三道隔墙建造单价为300元/m,池底建造单价为100元/m 2,池 壁的厚度忽略不计。设污水池的长为x米,总造价为f ( x)元.

?1? 求f ( x)的解析式,并求出其定义域; ? 2 ? 求f ( x)的最小值,并求出此时污水池的长和宽.

21. 已知圆心 C 在直线 x ? 2 y ? 0 上, 与 x 轴相切于 x 轴下方, 且截直线 x ? y ? 0 所得弦长 为2 2 . (1) 求圆 C 的方程; (2) 若圆 C 与圆 E : x 2 ? ? y ? 1? ? r 2 ?r ? 0? 相切, 求 r 的值;
2

(3) 若直线 y ? kx 与圆 C 交于 M,N 两点, O 为坐标原点, 求 OM ? ON 的值.

22.九连环是中国的一种古老的智力游戏,它环环相扣,趣味无穷。按照某种规 则解开九连环,至少需要移动圆环a9次。我们不妨考虑n个圆环的情况.用an 表示 解下n个圆环所需的最少移动次数, 用bn 表示前(n ? 1)个圆环都已经解下后,再解 第n个圆环所需的次数,按照某种规则可得:a1 =1,a2 =2,an =an ? 2 +1+b n ?1,b1 ? 1, bn =2bn ?1 +1. ( 1)求bn的表达式;

? 2 ? 求a9的值,并求出an的表达式; ? 3? 求证:
1 1 1 + + + a1 a2 a3 + 1 ? 2. an

成都七中 2011-2012 学年下期 2014 级期末考试数学(参考答案)
命题人:张世永 审题人:夏雪 杜利超
10、B 11、A 12、B 一.选择题 1、A 2、D 3、B 4、C 5、C 6、A 7、B 8、C 9、D 二、填空题 13、 1 三.解答题 14、 ?

? ? 3 ? n ? 1? ? ? 2n ? n ? 2 ?

15、

3? 4

16、(2)(4)

17.解: (1) f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) ? 2sin 2 x ? 2sin x cos x ? 2? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2

? 2 sin(2 x ? ) ? 1, 最小正周期T =? ,f ( x) min ? ? 2 ? 1 4 ? ? k? ? (2)由f (? ) ? 1, 得 sin(2? ? ) ? 0.即2? ? ? k? , 则? ? ? (k ? Z ) 4 4 2 8 ? ? ?? 又? ? ? 0, ?,则? = . 8分 8 ? 2? 由已知得 cos ? ? ? 2 2 , 3 10分

?

6分

2 2 2 2 ?? ? ? cos ? 2? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? . 2 3 6 ?4 ? 2 1 18.解:( 1)由kCH ? 2, 得k AB =- , 2分 2 1 则直线AB方程为y ? 1 ? ? ( x ? 5), 4分 2 又直线BM 的方程为x ? 2 y ? 5 ? 0.

12分

1 1 联立解得x ? 6, y ? .B(6, ) 2 2 (2)设C ( x0, y0 ), 则AC的中点M (

6分 8分

x0 ? 5 y0 ? 1 x ?5 y ?1 , )在中线BM 上,即 0 ? 2? 0 ?5 ? 0 2 2 2 2 又点C在高CH 上,得2 x0 ? y0 ? 5 ? 0, 9分 联立解得x0 ? 1, y0 ? ?3, 即C (1, ? 3) 直线BC的方程为7x ? 10 y ? 37 ? 0
19.(1)证明: 由正弦定理得, 即 sin 2 A ? sin 2 B .

10分 12分

cos A sinB ? , 则 sin A cos A ? sin B cos B , cos B sin A
2分

所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? , 即 A ? B 或 A ? B ?

?
2

.

4分



b 4 ? ? ? , 则 A ? B , 从而 A ? B ? , C ? . 2 2 a 3
6分

所以三角形 ABC 是直角三角形.

(2) 解:方法一:以 C 为原点, CA, CB 分别为 x 轴, y 轴建系如图. 则 A(8,0), B(0,6), 从而 E (4,3) .设 ?NMC

? ? ,则 EM ?

3 4 , EN ? , sin ? cos ?

EM ? EN ?
当 2?

12 24 . ? sin ? cos ? sin 2?
最小值为 24.

y
N

? 900,? ? 450 时, EM ? EN

?直线 MN 方程为 y ? 3 ? ?( x ? 4) ,
即x?

B

E

y ? 7 ? 0.

12分

C M A

x

方法二:建系同上.则直线 MN 的斜率小于 0,设其方程为

3 y ? 3 ? k ( x ? 4) ,则 M (4 ? , 0), N (0, ?4k ? 3) . k
则 ME ?

9 ? 9, NE ? 16 ? 16k 2 . k2 9 1 1 ? 9) ? (16 ? 16k 2 ) ? 12 ( 2 ? 1)(1 ? k 2 ) ? 12 2 ? 2 ? k 2 2 k k k
最小值为 24.

EM ? EN ? (

? 24 ,当且仅当 k ? ?1 时, EM ? EN
此时直线方程为 x ?

y ? 7 ? 0.

12分

2000 m, 则 x 2000 2000 f ( x) ? 400(2 x ? 2 ? ) ? 300 ? 3 ? ? 2000 ?100 x x 4250 ? 800( x ? ) ? 200000, 4分 x ? 0 ? x ? 60 1 ? 由? ? 33 ? x ? 60, 2000 3 0? ? 60 ? x ? 1 ? ? ?函数f ( x)的定义域为 ? x | 33 ? x ? 60 ? . 3 ? ? 20.解:( 1)由题意,污水池的宽为

6分

4250 4250 , 则h( x) ? 2 x ? ? 2 4250, x x 4250 当且仅当x ? ,即x 2 ? 4250时取等号, 8分 x ? 1 ? 但602 ? 3600 ? 4250, 则必先证明h( x)在 ?33 , 60 上的单调性. ? 3 ? ? (2)令h( x) ? x ? ? 1 ? 设任意x1 , x2 ? ?33 , 60 ? , 且x1 ? x2 , 则x2 ? x1 ? 0,x1 x2 ? 602 ? 4250, 3 ? ? ( x ? x )( x x ? 4250) 1 1 ? h( x2 ) ? h( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 4250( ? ) ? 2 1 1 2 ? 0, x2 x1 x1 x2
? h( x2 ) ? h( x1 ), ? 1 ? ? h( x)在 ?33 , 60 上是减函数. 10分 ? 3 ? ? 2000 1 2 ?当x ? 60, ? 33 时,h( x)有最小值.从而f ( x) min ? 304666 . x 3 3 4250 1 ? ? 答:( 1)f ( x) ? 800( x ? ) ? 200000,函数f ( x)的定义域为 ? x | 33 ? x ? 60 ?; x 3 ? ? 1 2 (2)当长为60米,宽为33 米时,f ( x)的最小值为304666 元. 12分 3 3
21. 解: (1) 设圆心 C(-2a,a), 则半径 r ? a . 点 C 到 x ? y ? 0 的距离 d ?

? 2a ? a 2

?

a 2

. 所以 a ?

2

? ?

? a ? 2 ? 2 ?? ? 2? , a ?4, ? ?
2

2

a ? ?2 .
故圆方程为 ? x ? 4? ? ? y ? 2? ? 4 .
2 2

4分

(2) 由 C(4,-2), r1 ? 2 , E(0,1). 则 CE ? 5 .

当圆 C 与圆 E 外切时, r ? 2 ? 5 , r ? 3 ; 当圆 C 与圆 E 内切时, r ? 2 ? 5 , r ? 7 . 所以 r ? 3 或 r ? 7 . (3) 设圆 C 与 x 轴切于点 P. 则 OM ? ON ? OM ? ON cos 0 ? OM ? ON ? OP ? 16 .
2

8分

12分

? 数列?bn ? 1? 为首项是2,公比为2的等比数列. ? bn ? 1=2 2n ?1 ? 2n , 则bn ? 2n ? 1 (2)由已知an =an ? 2 +1+b n ?1 =an ? 2 +2 n ?1.

22.解 : (1)由bn ? 2bn ?1 +1, 得bn ? 1=2bn ?1 +2 ? 2(bn ?1 +1), 又b1 ? 1=2, 4分 6分 ?

? a9 =a7 +28 =a5 +28 +26 =a3 +28 +2 6 +2 4 ? a1 +28 +2 6 +2 4 ? 2 2 ? 341. 当n是偶数时,an =an ? 2 +2 ? a2 +2 ?
n ?1 n n ?1 3

=an ? 4 +2
n ?1

n ?1

+2

n ?3

=an ?6 +2 ?

n ?1 3

+2

n ?3

+2

n ?5

+2

n ?3

+2

n ?5

?

?2 ?2

+2

n ?3

+2

n ?5

?2 ?2

2(1 ? 2 ) 1 n ?1 ? (2 ? 2), 8分 1 ? 22 3 当n是奇数时,an =an ? 2 +2n ?1 =an ? 4 +2n ?1 +2 n ?3 =an ?6 +2 n ?1 +2 n ?3 +2 n ?5 ? ? a1 +2n ?1 +2 n ?3 +2 n ?5 ? = ? 22 ? 2n ?1 +2n ?3 +2 n ?5 ? ? 22 ? 1 1 ? 2n +1 1 n ?1 ? (2 ? 1). 1 ? 22 3 ? 1 n ?1 (2 ? 1), (n为奇数时) ? ? 3 综上所述,an ? ? ? 1 (2n ?1 ? 2),(n为偶数时) ? ?3

10分

? 3 ? ? 1 3 1 3 ? (2n ?1 ? 1) 2n ?1 (3)证明:方法1:当n为偶数时, ? ? ? ? ? ? n n ?1 n n ?1 n an 2 2 ? 1 2 ? (2 ? 1)(2 ? 1) ? 2 ? (2 ? 1)(2 ? 1) ? ? 3 ? 1 1 ? ? ? n ?1 ? n ? , 11分 2 ? 2 ? 1 2 ? 1? 1 3 1 3 1 3 1 1 当n为奇数时, ? ? ? ( n -1 - n ), 12分 n an 2 2n ? 1 2 2 ? 1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 ? + + + + ? 1+ + ( 2 - 3 + 3 + + n -1 - n ) a1 a2 a3 an 2 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3 3 1 1 3 1 = +( - n ) ? + =2. 2 2 3 2 ?1 2 2 14分

1 3 1 3 1 1 方法2: 由方法1, ? ? = n -1 , n n -2 an 2 2 ? 1 2 3 2 2 1 1 1 ? + + + a1 a2 a3 1 1 1 + ? 1+ + 2 + an 2 2 1 1 + n -1 =2 ( 1- n ) ? 2. 2 2

14分


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