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2015年高中物理 第二章 第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系教学设计 新人教版必修1


3.匀变速直线运动的位移与时间的关系
教材分析 高中物理引入极限思想的出发点就在于它是一种常用的科学思维方法,上一章教科书用极限思想介绍 了瞬时速度和瞬时加速度。本节介绍 v-t 图线下面四边形的面积代表匀变速直线运动的位移时,又一次应 用了极限思想。当然,我们只是让学生初步认识这些极限思想,并不要求会计算极限。 按教科书这样的方式来接受极限思想,对高中学生来说是不会有

太多困难的。学生学习极限时的困难 不在于它的思想,而在于它的运算和严格的证明,而这些,在教科书中并不出现。教科书的宗旨仅仅是“渗 透”这样的思想。 学情分析 学生上节课学习了匀变速直线运动的速度与时间的关系,初步掌握了从图象分析问题的方法和技巧, 同时学生也初步掌握了极限思维的方法,这些知识储备都为学习本节内容奠定了基础。 设计思路 利用实验探究中所得到的一条纸带上时间与速度的记录,让学生思考与讨论如何求出小车的位移?引 导 同 学 用 极 限 思 想 得 出 v - t 图 线 下 面 四 边 形 的面 积 代 表 匀 变 速 直 线 运动 的 位 移 , 导 出 位 移 公式

x ? v0 t?

1 2 at 。具体做法如下。 2

先取初始时刻质点所在的位置为坐标原点,则有 t 时刻原点的位置坐标 x 与质点在 0~t 一段时间间隔 内的位移相同。并从最简单的匀速直线运动的位移与时间的关系入手,得出位移公式 x=vt。 然后进一步利用教材思考与讨论栏目提供的每隔 0.1s 测得小车速度的数据,或学生自己在第一节实验 中测得的数据,让学生思考与讨论。要鼓励学生积极思考,充分表达自己的想法。学生会提出各种想法、 问题,教师不要随便肯定或否定,可启发、引导学生具体、深入的分析,肯定学生正确的想法,弄清楚错 误的原因。 Δ t 越小,对位移的估算就越精确,这种想法看起来很繁琐,但能引导我们走上正确的道路,得到正确 的结论。教材详细分析了 Δ t 越小,位移估算的过程,可让学生阅读、议论。总结:v-t 图线下四边形的 面积等于匀加速直线运动的小车的位移。由此导出 x ? v0t ? at 2 。 上述公式对匀减速直线运动也适用,位移公式反映的是质点的位置与时刻的关系。 另外,虽说通过匀变速直线运动的速度是均匀改变的,它在时间 t 内的平均速度 v ,就等于时间 t 内 的初速度 v0 和末速度 v 的平均值,即 v ?

1 2

v0 ? v 1 ,其中 v=v0+at,代入 x ? vt 中,得到得到 x ? v0t ? at 2 , 2 2

这也是一种处理方法。但是物理思想和科学思维方法等方面的教育价值不同。 三维目标 知识与技能 1.知道匀速直线运动的位移与时间的关系; 2.了解位移公式的推导方法,掌握位移公式 x ? v0t ? at 2 ; 3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及其应用; 4.理解 v-t 图象中图线与 t 轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移; 过程与方法 1.通过近似推导位移公式的过程,体验微元法的特点和技巧,能把瞬时速度的求法与此比较; 2.感悟一些数学方法的应用特点。 情感态度与价值观

1 2

1

1.经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系,培养自己动手的能力,增加物理情感; 2.体验成功的快乐和方法的意义,增强科学能力的价值观。 教学重点 理解匀变速直线运动的位移与时间的关系 x ? v0t ? at 2 及其应用; 教学难点 1.v-t 图象中图线与 t 轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移; 2.微元法推导位移时间关系式; 3.匀变速直线运动的位移与时间的关系 x ? v0t ? at 2 及其灵活应用。 教学方法 探究、讲授、讨论、练习。 教具准备 坐标纸、铅笔、刻度尺、多媒体课件。 课时安排 2 课时。 教学过程 [新课导入] 匀变速直线运动跟我们生活的关系密切,研究匀变速直线运动很有意义。对于运动问题,人们不仅关 注物体运动的速度随时间变化的规律,而且还希望知道物体运动的位移随时间变化的规律。 我们用我国古代数学家刘徽的思想方法来探究匀变速直线运动的位移与时间的关系。 [新课教学] 一、匀速直线运动的位移 我们先从最简单的匀速直线运动的位移与时间的关系入手,讨论位移与时间的关系。 1.匀速直线运动的位移公式 我们取初始时刻质点所在的位置为坐标原点。则有 t 时刻原点的位置坐标与质点在 0~t 一段时间间隔 内的位移相同。得出位移公式 x=vt 2.速度一时间图线下方与时间轴之间包围的“面积”值等于位移大小 请大家根据速度一时间图象的意义,画出匀速直线运动的速度一时间图象。 学生动手定性画出一质点做匀速直线运动的速度一时间图象,如图所示 v/m·s-1 请同学们结合自己所画的图象,求图线与初、末时刻线和时间轴围成的矩形 v 面积。 正好是 vt。 O t t/s 匀速运动的位移 x=vt,在速度图象中,就对应着边长分别为 v 和 t 的一块 矩形面积值。所以:v—t 图线下方与时间轴之间包围的“面积”值表示对应时间内的位移大小。 注意: “面积”与“位移”并不相等,两者只是数值相等。 [思考与讨论] 当速度值为正值和为负值时,它们的位移有什么不同? 当速度值为正值时,x=vt>0,图线与时间轴所围成的矩形在时间轴的上方。当速度值为负值时,x= vt<0,图线与时间轴所围成的矩形在时间轴的下方。 位移 x>0 表示位移方向与规定的正方向相同,位移 x<0 表示位移方向与规定的正方向相反。 对于匀变速直线运动,它的位移与它的 v—t 图象,是不是也有类似的关系呢? 二、匀变速直线运动的位移

1 2

1 2

2

[思考与讨论] 学生阅读教材第 37 页思考与讨论栏目,老师组织学生讨论这一问题。 在“探究小车的运动规律”的测量记录中,某同学得到了小车在 0,1,2,3,4,5 几个位置的瞬时速 度.如下表: 位置编号 时间 t/s 速度 v/(m·s—1) 0 0 0.38 1 0.1 0.63 2 0.2 0.88 3 0.3 1.11 4 0.4 1.38 5 0.5 1.62

师:能否根据表中的数据,用最简便的方法估算实验中小车从位置 0 到位置 5 的位移? 学生讨论后回答。 生:在估算的前提下,我们可以用某一时刻的瞬时速度代表它附近的一小段时间内的平均速度,当所 取的时间间隔越小时,这一瞬时的速度越能更准确地描述那一段时间内的平均运动快慢。用这种方法得到 的各段的平均速度乘以相应的时间间隔,得到该区段的位移 x=vt,将这些位移加起来,就得到总位移。 师:当我们在上面的讨论中不是取 0.1s 时,而是取得更小些,比如 0.06s,同样用这个方法计算,误 差会更小些,若取 0.04 s,0.02 s??误差会怎样? 生:误差会更小。所取时间间隔越短,平均速度越能更精确地描述那一瞬时的速度,误差也就越小。 [交流与讨论] 请同学们阅读下面的关于刘徽的“割圆术” 。 分割和逼近的方法在物理学研究中有着广泛的应用。早在公元 263 年,魏晋时的数学家刘徽首创了 “割 圆术”──圆内正多边形的边数越多,其周长和面积就越接近圆的周长和面 积。他著有《九章算术》 ,在书中有很多创见,尤其是用割圆术来计算圆周率 的想法,含有极限观念,是他的一个大创造。他用这种方法计算了圆内接正 192 边形的周长,得到了圆周率的近似值π =157/50(=3.14);后来又计算 了圆内接正 3 072 边形的周长,又得到了圆周率的近似值π =3 927/1 250(= 3.141 6),用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率,早在古希腊的数学家阿基米德首先采用,但是 阿基米德是同时采用内接和外切两种计算,而刘徽只用内接,因而较阿基米德的方法简便得多。 学生讨论刘徽的“割圆术”和他的圆周率,体会里面的“微分”思想方法。 刘徽采用了无限分割逐渐逼近的思想。圆内一正多边形边数越多,周长和面积就越接近圆的周长和面 积。 1.匀变速直线运动的位移与时间关系的公式 下面我们采用这种思想方法研究匀加速直线运动的速度一时间图象。 按照上面讨论中提出的思想,我们通过 v-t 图象,研究以初速度 v0 做匀变速直线运动的物体,在时间

1 t 内发生的位移。物体运动的 v-t 图象如图甲所示。先把物体的运动分成几个小段,例如 t 算一个小段, 5 在 v-t 图中,每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示,如图乙。我们以每小段起始时刻的速 1 度乘以时间 t 近似地当做各小段中物体的位移,各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。5 个 5
小矩形的面积之和近似地代表物体在整个过程中的位移。

当然, 上









面的做
3

法是粗糙的。为了精确一些,可以把运动过程划分为更多的小段,如图丙,用所有这些小段的位移之和, 近似代表物体在整个过程中的位移。从 v-t 图上看,就是用更多的但是更窄的小矩形的面积之和代表物体 的位移。 可以想像,如果把整个运动过程划分得非常非常细,很多很多小矩形的面积之和就能准确地代表物体 的位移了。这时, “很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了,这些小矩形合在一起成了一个梯形 OABC。梯形 OABC 的面积就代表做匀变速直线运动物体在 0(此时速度是 v0)到 t(此时速度是 v)这段时间 的位移。 怎样计算梯形的面积? 哪两条线段是梯形的底,哪两条是梯形的腰? 在图丁中,v-t 直线下面的梯形 OABC 的面积是: S ? (OC ? AB) ? OA 把面积及各条线段换成所代表的物理量,上式变成: x ? (v0 ? v)t 把前面已经得出的 v=v0+at 代入,得到:

1 2

1 2

1 x ? v0t ? at 2 2
这就是表示匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。 这个位移公式虽然是在匀加速直线运动的情景下导出的,但也同样适用于匀减速直线运动。 2.公式中各物理量的意义 在公式 x ? v0t ? at 2 中,我们讨论一下并说明各物理量的意义,以及应该注意的问题。 我们从匀变速直线运动的速度一时间图象来理解这个问题。 如图所示,在图上形象地标出了初速度、速度,从图象上用画斜线部分的面积表示位移来进一步加深 v v 对公式的理解。 v v0 at(是 0~t 时间内的速度变化量 Δ v,就是图上画 右斜线部分的三角形的高,而该三角形的底恰好是时间 v 0 v 1 2 t t 间隔 t,所以该三角形的面积正好等于 at 。该三角形 O O t t 2 下画左斜线部分的矩形的宽正好是初速度 vo,而长就是时间间隔 t,所以该矩形的面积等于 v0t。于是这个 三角形和矩形的“面积”之和,就等于这段时间间隔 t 内的位移(或 t 时刻的位置) 。即 x ? v0t ? at 2 。 类似的,初速度为 v0 的匀减速直线运动的速度图象,图象与时间轴所围成的梯形“面积”可看作长方

1 2

1 2

1 2 at 之差。 2 公式中有起始时刻的初速度 v0, 有 t 时刻末的位置 x (t 时间间隔内的位移) , 有匀变速运动的加速度 a, 有时间间隔 t,公式中除时间 t 外,都是矢量。
形“面积”v0t 与三角形“面积” 物体做直线运动时,矢量的方向性可以在选定正方向后,用正、负来体现。方向与规定的正方向相同 时,矢量取正值,方向与规定的负方向相反时,矢量取负值。 一般我们都选物体的运动方向或是初速度的方向为正,所以有: 匀加速运动,a>0

1 x ? v0t ? at 2 2
匀减速运动,a<0 匀变速直线运动的位移公式,既适合于匀加速运动,又适合于匀减速运动。以 v0 方向为正,在加速运

4

动中,a 取正值;在减速运动中,a 取负值。当求出的 x 为正值时,表示位移方向与正方向一致。当求出的 x 为负值时,表示位移方向与正方向相反。位移公式为矢量式,在应用时要注意矢量的方向性。 3.特例:v0=0,质点作初速度为零的匀加速直线运动。

1 x ? at 2 2
[例题剖析] 2 例题:一辆汽车以 1m/s 的加速度加速行驶了 12s,驶过了 180m。汽车开始加速时的速度是多少? 分析: 我们研究的是汽车从开始加速到驶过 180m 这个 过程,历时 12s,即 x=180m,t=12s。这是个速度越来越 大的过程,加速度的方向与速度的方向相同,取正号,所 2 2 以 a=1m/s 。加速度始终是 1m/s ,可以应用匀变速直线运 动的规律。待求的量是这个过程的初速度 v0。 请大家明确列出已知量、待求量,画物理过程示意图,确定研究的对象和研究的过程,学生自己画过 程示意图,并把已知待求量在图上标出。 解:由 x ? v0t ? at 2 可以解出:

1 2

v0 ?

x 1 ? at t 2 180 1 ? ?1?12) m=9m/s。 12 2

把已知数值代入: v0 ? (

汽车开始加速时的速度是 9m/s。 一般应该先用字母代表物理量进行运算,得出用已知量表达未知量的关系式,然后再把数值代入式中, 求出未知量的值。这样做能够清楚地看出未知量与已知量的关系,计算也比较简便。 [实例探究]关于刹车时的误解问题 2 例题:在平直公路上,一汽车的速度为 15m/s。 ,从某时刻开始刹车,在阻力作用下,汽车以 2m/s 的加 速度运动,问刹车后 10s 末车离开始刹车点多远? 思考:车做减速运动,是否运动了 10s,这是本题必须考虑的。 2 分析: 初速度 v0=15m/s,a=-2m/s ,分析知车运动 7.5s 就会停下,在后 2.5s 内,车停止不动。 2 解:设车实际运动时间为 t,vt=0,a=-2m/s 。 由 v=v0+at 知: 运动时间: t ?

?v0 ? 7.5 s a 1 2

所以车的位移为: x ? v0t ? at 2 ? 56.25 m。 [课堂训练] 2 1.在平直公路上,一汽车的速度为 15m/s,从某时刻开始刹车,在阻力作用下,汽车以 2 m/s 的加速 度运动,问刹车后 10s 末车离开始刹车点多远? 提示:7.5s 后停下,故位移是 56.25m,不能带入 10s 做题。 2 2.骑自行车的人以 5m/s 的初速度匀减速上一个斜坡,加速度的大小为 0.4m/s ,斜坡长 30m,骑自行 车的人通过斜坡需要多少时间? 提示:减速运动加速度是负值,解得 t=10s 或 15s,讨论得出 15s 不合题意。 3.以 10m/s 的速度匀速行驶的汽车刹车后做匀减速运动。若汽车刹车后第 2s 内的位移为 6.25m(刹车 时间超过 2s) ,则刹车后 6s 内汽车的位移是多大?

5

提示:第二秒内位移=x2-x1=6.25m,由此求得 a,再求 6s 内汽车的位移是 20m 4.以 10m/s 的速度行驶的汽车关闭油门后后做匀减速运动,经过 6s 停下来,求汽车刹车后的位移大 小。 提示:30m。 三、用图象表示位移 1.位移一时间图象 描述相对于出发点的位移随时间变化关系的图象,叫做位移一时间图象,称为 x—t 图象。 2.匀变速直线运动的 x—t 图象。 思考与讨论: 运用初中学过的函数图象知识,你能画出初速度为 0 的匀变速直线运动 x ?

1 2 at 的 x—t 图象的草图 2

吗? 我们研究的是直线运动,为什么画出来的位移一时间图象不是直线呢? 位移图象反映的是位移随时间变化的规律, 可以根据物体在不同时刻的位移在 x—t 坐标系中描点作出。 直线运动是根据运动轨迹来命名的,而 x—t 图象中的图线不是运动轨迹,因此 x—t 图象中图线是不是直 线与直线运动的轨迹没有任何直接关系。 位移与时间的关系式为 x ? v0t ? at 2 ,我们已经用图象表示了速度与时间的关系,那么,我们能不能 用图象表示位移与时间的关系呢?位移与时间的关系也可以用图象来表示, 怎样表示, 请大家讨论,并亲自实践,做一做。 用初中学过的数学知识,如一次函数、二次函数等,画出匀变速直线运动 x

1 2

x ? v0 t ?

1 2 at 的位移一时间图象的草图。如右图所示。 2

O

t

点评:培养学生把数学课的知识在物理课中应用,体会物理与数学的密切关系,培养学生做关系式图 象的处理技巧。 [小结] 本节重点学习了对匀变速直线运动的位移-时间公式 x ? v 0 t ?

1 2 at 的推导, 并学习了运用该公式解决 2

实际问题。在利用公式求解时,一定要注意公式的矢量性问题。一般情况下,以初速度方向为正方向;当 a 与 v0 方向相同时,a 为正值,公式即反映了匀加速直线运动的速度和位移随时间的变化规律;当 a 与 v0 方 向相反对,a 为负值,公式反映了匀减速直线运动的速度和位移随时间的变化规律。代入公式求解时,与正 方向相同的代入正值,与正方向相反的物理量应代入负值。 [布置作业] 教材 40 页“问题与练习” 。 板书设计 3.匀速直线运动的位移与时间的关系 一、匀速直线运动的位移 1.匀速直线运动的位移公式 x=vt 2.速度一时间图线下方与时间轴之间包围的“面积”值等于位移大小 二、匀变速直线运动的位移 1.匀变速直线运动的位移与时间关系的公式

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1 S ? (OC ? AB) ? OA 2
把面积及各条线段换成所代表的物理量,上式变成:

1 x ? (v0 ? v)t 2
把前面已经得出的 v=v0+at 代入,得到:

v v0 O

v

1 x ? v0t ? at 2 2
2.公式中各物理量的意义 一般我们都选物体的运动方向或是初速度的方向为正,所以有: 匀加速运动,a>0

t t

1 x ? v0t ? at 2 2
匀减速运动,a<0 3.特例:v0=0,质点作初速度为零的匀加速直线运动。

1 x ? at 2 2
三、用图象表示位移 1.位移一时间图象 描述相对于出发点的位移随时间变化关系的图象,叫做位移一时间图象,称为 x—t 图象。 2.匀变速直线运动的 x—t 图象。

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