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湖南师大附中2013届高三第一次月考试卷数学(理)试题


湖南师大附中 2013 届高三第一次月考试卷数学(理)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.在空间,异面直线 a,b 所成的角为α ,且 s in ? ?
3 2 3 2
1 2 , 则 cos ? =

A.

B. ?

C.

3 2

或?

3 2

D. ?

1 2

2.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现“正面向上的点数为 6”的概率是 A.
1 3

B.

1 4

C.

1 5

D.

1 6

3.某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所示,则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的俯视 图的是

A. , (1)(3)

B. , , (1)(3)(4)

C. , , (1)(2)(3)

D. , , , (1)(2)(3)(4)

4.设集合 A ? ( ? ? , a ], B ? ( b , ? ? ), a ? N , b ? R , 且 A ? B ? N ? {2} , 则 a ? b 的取值范围是 A. (3,4)
x

B.[3,4]

C. [3, 4 )

D. (3, 4 ]

5.已知点 ( a , b ) 在 y ? 1 0 图象上,则下列点中不可能在此图象上的是 A. ( ? a , )
b 1

B. ( a ? 1,1 0 b )

C. ( a ? 1,1 0 b )

D. ( 2 a , b )

2

6.函数 f ( x ) ? ? A. [1, ? ? )

? x ? 8( x ? 0) ?
3

?e ? 9( x ? 0) ?
x

, g ( x ) ? 3 ? 1, 则 不 等 式 f [ g ( x )] ? 0 的解集为
x

B. [ln 3, ? ? )

C. [1, ln 3]

D. [lo g 3 2, ? ? )

7.关于 x 的二次方程 x ? ( 2 a ? b ) x ? 1 ? 0 有 实 根 , 且 a ? 0, b ? 0, 则 a ? b 的取值范围是
2 2 2

A. [ 4 , ? ? )

B. [1 6, ? ? )

C. [

4 5 5

, ?? )

D. [

16 5

, ?? )

8.已知函数 f M ( x ) 的定义域为实数集 R,满足 f M ( x ) ? ?

?1, x ? M ?0, x ? M

( M 是 R 的非空真子集) ,在

R 上有两个非空真子集 A,B,且 A ? B ? ? , 则 F ( x ) ?
2 3 1 2 2 3

f A? B ( x ) ? 1 fA (x) ? fB (x) ? 1
,1}

的值域为

A. ( 0 , ]

B.{1}

C. { ,

D.[ ,1 ]
3

1

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 25 分。 9.若直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? a ) ? y ? 2 有公共点,则实数 a 取值范围是
2 2



10.在△ABC 中,若 A ? B , 则 sin A , sin B 的大小关系为



11.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对 x ? R 都 有 f ( x ) ? ? f ( x ? 2 ), 当 x ? ( ? 2, 0 )时 ,
f ( x ) ? 2 , 则 f ( 2 0 1 2 ) ? f ( 2 0 1 1) 的值为
x



12.一物体沿直线以 v ( t ) ? 2 t ? 3( t 的单位:秒,v 的单位:米/秒)的速度做变速直线运动,则 该物体从时刻 t=0 到 5 秒运动的路程 s 为 米。

? x ? 2, x ? 0 ? , 则 函 数 g ( x ) ? f ( x ) ? x 的零点的个数是 13.已知函数 f ( x ) ? ? 2 1 ? ? x ? x ? 1, x ? 0 ? 2
2 x 1 y

个。

14. 已知 x ? 0 , y ? 0 , 且

?

? 1, 若 x ? 2 y ? m

2

? 2 m 恒成立, 则实数 m 的取值范围是



3 2 15.对于三次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? cx ? d ( a ? 0 ), 给 出 定 义 : 设 f ? ( x ) 是 函 数 y ? f ( x ) 的导

数 , f ??( x )是 f ? ( x )的 导 数 , 若 方 程 f ?? ( x ) ? 0 有 实 数 解 x 0 , 则 称 点 ( x 0 , f ( x 0 )) 为 函 数
y ? f ( x ) 的“拐点” ,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任何一个三次

函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心给定函数 f ( x ) ? 根据上面探究结果,解答以下问题: (1)函数 f ( x ) ? (2)计算 f (
1 2003 1 3 )? f( x ?
3

1 3

x ?
3

1 2

x ? 3x ?
2

5 12

,请你

1 2

x ? 3x ?
2

5 12 3

的对称中心为
)?? ? f ( 2012 2013 )=

; 。

2 2013

)? f(

2013

三、解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
3 (sin x ? co s x ) ? 2 sin x co s x .
2 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x )的 图 象 向 左 平 移
?
3

个单位,再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原
?
3 , 3? 2 ] 上的值域。

来的 4 倍,纵坐标不变,得到 y ? g ( x ) 的图象,求 g ( x ) 在 [ ?

17. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点。 (1)证明:PA//平面 BDE; (2)在棱 PB 上是否存在点 F,使 PB⊥平面 DEF?证明你的结论。

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } ,{ b n } 中,对任何整数 n 都有:
a 1 b n ? a 2 b n ? 1 ? a 3 b n ? 2 ? ? ? a n ? 1 b 2 ? a n b1 ? 2
n ?1

? n ? 2.

(1)若数列 { a n } 是首项和公差都有 1 的等差数列,求证:数列 { b n } 是等比数列; (2)若 b n ? 2 ,试判断数列 { a n } 是否是等差数列?若是,请求出通项公式,若不是,请说
n

明理由。

19. (本小题满分 13 分) 某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单,据以往数据分析,若生产数量 为 x 万件,则可获利 ? ln x ?
x
2

万美元,受美联货币政策影响,美元贬值,获利将因美元贬

10

值而损失 mx 万美元,其中 m 为该时段美元的贬值指数,且 m ? (0,1). (1)若美元贬值指数 m ? 在什么范围? (2)若因运输等其他方面的影响,使得企业生产 x 万件产品需增加生产成本
x 10 1 10

,为使得企业生产获利随 x 的增加而增长,该企业生产数量应

万美元,已

知该企业生产能力为 x ? [1 0, 2 0 ] ,试问美元贬值指数 m 在什么范围内取值才能使得该企业 不亏损?

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右顶点为 A(2,0) ,离心率 e ?

3 2

,O 为坐

标原点。 (如图) (1)求椭圆 C 的方程; (2) 已知 P(异于点 A)为椭圆 C 上一个动点。 O 作线段 AP 的垂线 l 交椭圆 C 于点 E, 过 D, 求
| DE | | AP |

的取值范围。

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 (1 ? x )
n

, g ( x ) ? a ln ( x ? 1), 其 中 n ? N , a 为常数。
*

(1)当 n=2 时,求函数 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的极值; (2)若对任意的正整数 n,当 s ? 2, x ? 2 时 , 有 f ( s ) ? g ( x ) ? x ? 1. 求 a 的取值范围。

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