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【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第12章 第3讲 抛物线]


第 3 讲 抛物线

1.抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 2. 设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4, 则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 3.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么当点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦 点距离之和取

得最小值时,点 P 的坐标为( ) 1 1 ? ? ? A.? ?4,-1? B.?4,1? C.(1,2) D.(1,-2) 4. (2012 年安徽)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 点 O 是原点, 若|AF|=3,则△AOB 的面积为( ) 2 A. B. 2 2 3 2 C. D.2 2 2 5.(2013 年四川)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是( ) A.2 3 B.2 C. 3 D.1 6.以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 7.(2013 年北京)若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0),则 p=________,准线方程为 ____________. 8.(2012 年陕西)图 K1231 是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面 宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽________米.

图 K1231

x2 y2 9.(2012 年广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 a b F1(-1 ,0),且点 P(0 ,1)在 C1 上. (1)求 C1 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 都相切,求直线 l 的方程.

10.已知抛物线 C:y=2x2,直线 y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点, 过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (1)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; → → (2)是否存在实数 k 使NA· NB=0?若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. 第 3 讲 抛物线

1.C 2.B 3.A 4.C 解析:设∠AFx=θ(0<θ<π)及|BF|=m,则由点 A 到准线 l:x=-1 的距离为 3, 1 2 3 1 得 3=2+3cosθ?cosθ= .又 m=2+mcos(π-θ)?m= = ,△AOB 的面积为 S= 3 2 1+cosθ 2 3? 2 2 3 2 1 ×|OF|×|AB|×sinθ= ×1×? ?3+2?× 3 = 2 . 2 5.D p ? p 6.B 解析:方法一,设抛物线方程为 y2=2px(p>0),焦点 F? ?2,0?,准线 l:x=-2, 过 F 的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),中点为 C,则根据抛物线的定义,得|AB| p p 1 p 1 1 =x1+ +x2+ =p+x1+x2.则圆心 C 到准线的距离为 (x1+x2)+ = (p+x1+x2)= |AB|. 2 2 2 2 2 2 故以焦点弦为直径的圆与其准线相切. 方法二,设 M 为 AB 的中点,由 A,M,B 分别向准线 l 作垂线,垂足依次是 A1,M1, 1 B1,则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=2|MM1|,即|MM1|= |AB|.∴以焦点弦为直径的圆与其 2 准线相切. p 7.2 x=-1 解析: =1,p=2. 2 8.2 6 解析:设水面与桥的一个交点为 A,如图 D68 建立直角坐标系,则 A 的坐标 为(2,-2).设抛物线方程为 x2=-2py,代入点 A,得 p=1,设水位下降 1 米后水面与桥 的交点坐标为(x0,-3),则 x2 6. 0=-2×(-3),x0=± 6,所以水面宽度为 2

图 D68

9.解:(1)由题意,得:b=1,c= a2-b2=1?a= 2,b=c=1. x2 故椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2 x ? ? 2 +y2=1, (2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m,联立方程组? 消 ? ?y=kx+m, 去 y,整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 Δ=16k2m2-4(1+2k2)· (2m2-2)=0,整理得 2k2-m2 +1=0. ① 因为直线与抛物线 C2:相切,所以 Δ=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得 km=1. ② 2 2 解得 k= ,m= 2或 k=- ,m=- 2. 2 2 2 所以直线 l 方程为 y=± (x+2). 2 2 2 2 10.解:(1)如图 D69,设 A(x1,2x2 1),B(x2,2x2),把 y=kx+2 代入 y=2x ,得 2x -kx -2=0.
2

图 D69 k 由韦达定理,得 x1+x2= ,x1x2=-1. 2 x1+x2 k k k2? ∴xN=xM= = ,∴点 N 的坐标为? ?4, 8 ?. 2 4 k? k2 设抛物线在点 N 处的切线 l:y- =m? ?x-4?, 8 mk k2 将 y=2x2 代入上式,得 2x2-mx+ - =0. 4 8 ∵直线 l 与抛物线 C 相切, mk k2? 2 2 2 ∴Δ=m2-8? ? 4 - 8 ?=m -2mk+k =(m-k) =0. ∴m=k.即 l∥AB. (2)存在理由如下: → → 假设存在实数 k,使NA· NB=0,则 NA⊥NB. 1 又∵M 是 AB 的中点,∴|MN|= |AB|. 2 1 1 由(1),知:yM= (y1+y2)= (kx1+2+kx2+2) 2 2 2 k 1 1 k2 +4?= +2. = [k(x1+x2)+4]= ? ? 4 2 2? 2 ∵MN⊥x 轴, 2 k2 k2 k +16 ∴|MN|=|yM-yN|= +2- = . 4 8 8 又|AB|= 1+k2· |x1-x2| 2 = 1+k · ?x1+x2?2-4x1x2 k ?2 = 1+k2· ? ?2? -4×?-1? 1 = k2+1· k2+16. 2 k2+16 1 2 ∴ = k +1· k2+16,解得 k=± 2. 8 4 → → 即存在 k=± 2,使NA· NB=0.


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