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1.5空间图形的有关计算


§1.5 空间图形的有关计算
【复习提问】
1、空间两个平面有几种位置关系?怎样用图形表示? 2、怎样计算空间两个平面的夹角? 3、怎样判定两个平面是否垂直、平行?

【导入新课】
前面主要是研究空间图形中直线和直线、直线和平面、平面和平 面的位置关系。本节将以他们为基础,进一步研究常见的空间图 形的主要性质和有关计算

【新课讲授】
一、直棱柱与圆柱 有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线都互相平行的几何 体称为棱柱。侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱。底面是正多边 形的直棱柱称为正棱柱。

矩形绕着它的一边旋转一周所得的几何体称为圆柱。被绕着旋转 的一边所在直线称为圆柱的轴,轴的对边旋转时所在的每一个位 置称为圆柱的母线。由母线旋转所成的面称为圆柱的侧面。 直棱柱与圆柱的侧面展开图及相关计算见下表:

直棱柱

圆柱

侧面展 开图

侧面积

设底面周长为c,高为h,则 S直棱柱侧=ch 设底面积为S底,侧面积为S侧, 则 S全=S侧+2S底 设底面积为S底,高为h,则 V=S底 h

设底面半径为r,高为h,底面 周长为c,则 S圆柱侧=ch=2πrh 设底面积为S底,侧面积为S侧, 底面半径为r,高为h,则 S全=S侧+2S底=2πrh+2πr2 设底面积为S底,底面半径为r, 高为h,则 V= S底 h=πr2h

全面积

体积

二、正棱锥与圆锥 有一个面是多边形,其余各面为具有公共顶点的三角形的几何体 称为棱锥。底面是正多边形,且顶点到底面垂线的垂足是底面正 多边形中心的棱锥称为正棱锥。
C?2 tan 2 圆锥底面直径 ? 圆锥的高

?

直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周所得的几何体称为圆 锥。斜边旋转时所在的每一个位置称为圆锥的母线。由母线旋转 所成的面称为圆锥的侧面。 圆锥轴截面的两条母线的夹角α 称为圆锥角, 母线与轴的夹角α /2 称为圆锥半角。 圆锥半角α /2 的正切值的两倍称为圆锥的锥度 (通 常用 C 表示) 。 正棱锥与圆锥的侧面展开图及相关计算见下表

正棱锥 侧面 展开 图 设底面的边长为a,边数为n, 侧面 斜高为h’,底面周长为c,则 积 S正棱锥侧= c h’/2= n a h’/2 设底面积为S底,侧面积为S侧, 全面 则 积 S全=S底+S侧 设底面积为S底,高为h,则 体积 V= S底 h/3

圆锥

设底面半径为r,母线为h’,底 面周长为c,则 S圆锥侧=c h’/2=πr h’ 设底面积为S底,侧面积为S侧, 底面半径为r,母线为h’,则 S全=S底+S侧=πr 2 +πr h’ 设底面积为S底,高为h,底面 半径为r,则 V=S底 h/3=πr2 h/3

三、球 半圆绕着它的直径旋转一周所得的曲面称为球面。球面所围的几 何体称为球。半圆的圆心称为球心,连接球心和球面上任意一点 的线段称为球的半径。

用一个平面去截球,截下的部分称为球缺。球缺的球形表面称为 球冠。平面截球所得的圆周面称为球缺的底面。垂直于底面的直 径被截下的线段称为球缺的高。球缺的底面、球缺的高分别称为 对应球冠的底面、球冠的高。 球面/球、球冠/球缺的图示及相关计算见下表

球面/球

球冠/球缺

图示

面积 体积

球面半径为R,则 S球面=4πR2 V球= 4πR3/3

球冠高为h,所在球面的半径 为R,则 S球冠=2πRh V球缺= πh2(3R-h)/3

【巩固新课】
例1 有一排风管,管身为中空的直五棱柱体,尺寸如图所示。试 计算制作管身所需的平板下料面积。 (不考虑排风管的壁厚)

例2

设计一个四棱锥形的冷水塔塔顶,高为 0.85 m,底面边长

为 1.50 m, 求制造这个塔的塔顶需要多少铁板? (精确到 0.1 m2) 例3 如图所示,圆锥形风帽的底面半径为 40 cm,高为 30 cm,

求其侧面展开图的面积。 (精确到 1 cm2)

例4

运油车上的油罐是由一个圆筒和两个相同的球冠组成的。 油

罐的尺寸如图所示(单位为 m) ,求制造成这样一个油罐需要多少 钢板(精确到 0.1 m2) 例5 已知空心钢球的外径为 5 cm,重 142 g,设钢的密度为 7.9

g/cm3,求空心钢球的内径。若要油漆 1000 个这种钢球的外表面, 已知每平方米需用油漆 150 g,求共需多少油漆?(精确到 0.1 kg)

【课堂小结】
掌握生活中常见几种空间图形并且学会计算它们的面积和 体积

【布置作业】

【课后反思】


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