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100测评网2008学年第一学期闵行区高三质量监控考试数学试卷(文科)


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2008学年第一学期闵行区高三质量监控考试 数 学 试 卷(文科)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、学号、姓名等填写清楚. 2.本试卷共有 21 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一. 填空题(本大题满分60分)本大

题共有12题,考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得5分,否则一律得零分. 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2,3, 4? ,则 ? U ?A 2.在等比数列 {an } 中, a2 ? 8 , a1 ? 64 ,则公比 q 为 3.不等式 | 3x ? 2 |? 1 的解是 4.已知点 Z 是复数 z ? . 象限.

B? ?
.

.

2?i 在复平面内对应的点,则点 Z 在第 1? i
. .

5.函数 f ( x) ? log 2 ( x ?1) 的反函数是 f ?1 ( x) ? 6.在 ( x ? 1) 的二项展开式中,中间项的系数是
6

7.已知圆锥的底面积为 ? ,母线长为 2 ,则该圆锥的母线与底面所成的角的大小 是 . . 开始 A←3 A←2A+1 打印 是 A<60 否 结束

8.根据右面的框图,打印的最后一个数据是

9.已知数列 {an } 是以 13 为首项,以 ?2 为公差的等差数列,

Sn 是其前 n 项和,则 Sn 的最大值是
内,这四位同学每人随机地抽取一封,则恰好有一人 抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 .

.

10.四位同学各自制作了一张贺卡,分别装入4个空白信封

11.已知 x 是 1 、 2 、 x 、 4 、 5 这五个数据的中位数,又知

1 ?1 、 5 、 ? 、 y 这四个数据的平均数为 3 ,则 x ? y 最 x
小值为 .

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1 1 x ? ( ) n ? 0 对任意 n ? N? 在 x ? (??, ? ] 恒成立,则实 2 2
.

12.若关于 x 的不等式 x ?
2

常数 ? 的取值范围是

二. 选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题只有一个正确答案,选对得4分, 答案必须涂在答题纸上.考生应将代表答案的小方格用铅笔涂黑,注意试题题号与答 题纸上相应编号一一对应,不能错位. 13.某人在超市一次性购买了 20 斤大米和 10 斤食用油,大米的价格是 1.9 元/斤,食 用油的价格是 15 元/斤,则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是 [答]( )

(A)

20 15 . 10 1.9

(B)

20 1.9 ?1.9 ? . (C) ? 20 10 ? ? ?. 10 15 ? 15 ?

(D) ?

?1.9 ? ? ? 20 10 ? . ? 15 ?

14.如图为函数 y ? m ? log n x 的图像,其中 m 、 n 为常数,则下列结论正确的是

y
(A) m ? 0 , n ? 1 . (C) m ? 0 , 0 ? n ? 1 . (B) m ? 0 , n ? 1 . (D) m ? 0 , 0 ? n ? 1 .

[答](



1

2

O

x

15.给定空间中的直线 l 及平面 ? ,条件“直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”是 “直线 l 与平面 ? 垂直”的 (A) 充分非必要条件. (C) 充要条件. (B) 必要非充分条件. (D) 既非充分也非必要条件. [答]( )

16.如图,一质点 A 从原点 O 出发沿向量 OA1 ? (2,0) 到达点 A1 ,再沿 y 轴正方向从 点 A1 前进

1 1 | OA1 | 到达点 A2 ,再沿 OA1 的方向从点 A2 前进 2 | OA1 | 到达点 A3 , 2 2 1 | OA1 | 到达点 A4 , 23
,这样无限前进下去, 则 [答]( (B) (4, 2) . )

再沿 y 轴正方向从点 A3 前进

质点 A 最终到达的点的坐标是 (A) (4 ?

4 2 ,2? n ) . n 2 2

y

A2

A4 A3

8 8 4 4 , ? ). (C) ( ? n 3 3 ? 4 3 3 ? 4n

8 4 (D) ( , ) . 3 3

O

A1 (2,0) x

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三. 解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸上与题号 对应的区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分12分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 ABCD 是 直 角 梯 形 , AB // DC , AD ? AB , 且 A D ? D C? 2 ,

D1

C1 B1

A1

AB ? 3 ,求异面直线 D1C1 与 DB 所成角的大小(结果用反
三角函数值表示).

D A

C
B

18.(本题满分14分) 某医药研究所开发一种新药,据监测:服药后每毫升血液中的含药量 f ( x ) 与时间

x 之间满足如图所示曲线.当 x ? [0, 4] 时,所示的曲线是二次函数图像的一部分,满
足 f ( x) ? ?

1 ( x ? 4) 2 ? 4 ,当 x ? (4,19]时,所示 4
2

y (微克) 4

的曲线是函数 y ? log 1 ( x ? 3) ? 4 的图像的一部分. 据测定:每毫升血液中含药量不少于 1 微克时治疗疾 病有效.请你算一下,服用这种药一次大概能维持 多长的有效时间?(精确到 0.1 小时)

x
O
4

19 (小时)

19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) .

(1)求行列式

sin ? 1

tan ? cos ?

的值;

(2)若函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ( x ? R ), 求函数 y ?

3 f ( ? 2 x ) ? 2 f 2 ( x) 的最大值,并指出取到最大值时 x 的值. 2

?

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20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1、2小题满分各4分,第3小题满分8分. 已知向量 a ? ( x2 ? 1, p ? 2) , b ? (3, x) , f ( x) ? a ? b , p 是实数. (1)若存在唯一实数 x ,使 a ? b 与 c ? (1, 2) 平行,试求 p 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 是偶函数,试求函数 f ( x ) 在区间 [?1, 3] 上的值域; (3)已知 ? :函数 f ( x ) 在区间 [? , ??) 上是增函数, ? :方程 f ( x) ? p 有小 于 ?2 的实根.试问: ? 是 ? 的什么条件(指出充分性和必要性)?请说明 理由.

1 2

21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题 满分10分.第3小题根据不同思维层次予以不同评分. 对于函数 y ? f ( x) ,定义:若存在非零常数 M 、 T ,使函数 f ( x ) 对定义域内的 任意实数 x ,都满足 f ( x ? T ) ? f ( x) ? M ,则称函数 y ? f ( x) 是准周期函数,常数

T 称为函数 y ? f ( x) 的一个准周期.如函数 f ( x) ? x ? (?1) x ( x ? Z) 是以 T ? 2 为一
个准周期且 M ? 2 的准周期函数. (1) 试判断 2? 是否是函数 f ( x) ? sin x 的准周期,说明理由; (2) 证明函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 是准周期函数,并求出它的一个准周期和相应的

M 的值;
(3) 请你给出一个准周期函数(不同于题设和(2)中函数),指出它的一个准周期 和一些性质,并画出它的大致图像.

5 4 3 2
1

y

-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3

1

2 3

4 5 x

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2008学年第一学期闵行区高三质量监控考试 数学试卷(文科)参考答案和评分标准
一、填空题:(每题5分) 1. ?1, 4,5? ; 4. 四; 7. 60 ; 10. 2.

1 ; 8

3. ( ,1) ; 6. ?20 ; 9. 49 ; 12. ? ??, ? 1? . 15. B ; 16. D .

1 3

5. f ?1 ( x) ? 2x ? 1 ; 8. 63 ; 11. 10

1 ; 3

1 ; 2
14. D ;

二、选择题:(每题4分)13. C ; 三、解答题: 17.(本题满分12分) 解法一:

直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, D 1C1 // DC // AB ,

(3分) (6分) (10分)

∴ ? ABD 的大小即为异面直线 D1C1 与 DB 所成的角的大小, 在 Rt ?ABD 中, AD ? 2 , AB ? 3 ∴ ?BDC ? arctan 解法二: ∴ tan ?ABD ?

AD 2 ? AB 3

2 2 ,即异面直线 D1C1 与 DB 所成的角的大小为 arctan . (12分) 3 3
(3分) (6分)

直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, D 1C1 // DC ,

∴ ?BDC 的大小即为异面直线 D1C1 与 DB 所成的角的大小, 作 CE ? AB 于 E ,由已知条件及平面几何知识,得:

DC ? 2 , BD ? 13 , BC ? 5 ,
在 ?BDC 中,由余弦定理得:

cos ?BDC ?

22 ? ( 13)2 ? ( 5)2 3 13 ? 13 2 ? 2 ? 13
3 13 13 3 13 13

(10分)

∴ ?BDC ? arccos

即异面直线 D1C1 与 DB 所成的角的大小为 arccos

(12分)

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18.(本题满分14分)

?0 ? x ? 4 ? 由? 1 ,解得: 4 ? 2 3 ? x ? 4 2 ? ( x ? 4) ? 4 ? 1 ? ? 4
由 ?log ( x ? 3) ? 4 ? 1 ,解得: 4 ? x ? 11 1



(4分)

4 ? x ? 19 ? ? ? ?
2



(8分)

由①、②知: 4 ? 2 3 ? x ? 11 ,

(10分) (12分) (14分)

11 ? (4 ? 2 3) ? 10.5 ,
∴服用这种药一次大概能维持的有效时间为 10.5 小时. 19.(本体满分14分)(1) ∴ sin ? ? 角 ? 终边经过点 P(?3, 3) ,

1 3 3 , cos ? ? ? , tan ? ? ? . 2 3 2

(3分)

?
(2)

sin ? tan ? 3 3 3 ? sin ? cos ? ? tan ? ? ? ? ? 1 cos ? 4 3 12

(6分) (2分)

f ( x) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? )sin ? ? cos x ( x ? R ),
∴函数 y ? 3 cos(

?
2

? 2 x) ? 2 cos 2 ( x)

? ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ( x ? R ), 6
∴ ymax ? 3 , 20.(本题满分16分) (1) 又 (6分) 此时 x ? k? ?

(4分)

?
6

(k ? Z) .

(8分)

a ? ( x2 ? 1 , p ? 2) , b ? (3 , x) ,∴ a ? b ? ( x2 ? 4, x ? p ? 2) ,
a ? b 与 c ? (1, 2) 平行,∴ 2( x2 ? 4) ? x ? p ? 2 ,
2

即 2x ? x ? p ? 6 ? 0 , 由题意知方程 2x ? x ? p ? 6 ? 0 有两个相等的实根,
2

(2分)

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47 . 8

∴ ? ? 1 ? 8(6 ? p) ? 0 ,∴ p ?

(4分)

(2)

f ( x) ? a ? b ? 3x2 ? ( p ? 2) x ? 3 是偶函数,
∴?

p?2 ? 0 ,∴ p ? ?2 , 6

(2分) (4分)

∴ f ( x ) 在 [?1,3] 上的值域是 [3,30] . (3)由 ? :函数 f ( x ) 在区间 [? , ??) 上是增函数,知 ? ∴ p ? 1 ,记 A ? [1, ??) ,

1 2

p?2 1 ?? , 6 2
(3分)

由 ? ,即方程 3x2 ? ( p ? 2) x ? 3 ? p ? 0 有小于 ?2 的实根, ∴p?

3x 2 ? 2 x ? 3 ,且 x ? ?2 , 1? x 3x 2 ? 2 x ? 3 8 ? 11 ? ? 3(1 ? x) ? ? 8 ( x ? ?2 )的值域为 ? , ?? ? , 1? x 1? x ?3 ?
11 11 ,记 B ? ( , ??) , 3 3
(6分) (8分)

p?

∴p?

B? ? A ,∴ ? 是 ? 的必要不充分条件.
21.(本题满分18分) (1)

f ( x) ? sin x ,
∴ f ( x ? 2? ) ? f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? sin x ? sin x ? sin x ? 0 , ∴ 2? 不是函数 f ( x) ? sin x 的准周期. (3分)

(2) ∴ f ( x ? 2? ) ? f ( x) ? [2( x ? 2? ) ? sin( x ? 2? )] ? (2 x ? sin x)

? 2 x ? 4? ? sin x ? 2 x ? sin x ? 4? (非零常数),

(3分)

∴函数 f ( x) ? sin x 是准周期函数, T ? 2? 是它的一个准周期,相应的

M ? 4? .
(3)①写出一个不同于题设和(2)中函数,

(5分)

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如 y ? 3x ? sin x, y ? 2 x ? (?1) x , y ? 2 x ? 3sin x , y ? [ x] 等 得1分

y ? kx ? b(k ? 0) ,

y ? (kx ? b) ? A sin(? x ? ? ) ,
,或其它一次函数(正比例函数)与周期函数

y ? (kx ? b) ? A cos(? x ? ? ) ,
的线性组合的具体形式,得3分

②指出所写出函数的一个准周期,得2分 ③指出它的一些性质,如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、 (写出一条得 1分,两条以上得2分,可以不证明) 14
18 16
18



16

④画出其大致图像.
12 10

得3分

14

14

12

12

部分参考图像:
8 6

10

10

8

8

6

6

4
4
4

2

2

2

-15

-10

-25 -5

-20

-15

5

-10 -25

10

-5

-20

15
-2

-15

5 20 -10

10

-5

15
-2

20

5

25

10

15

20

-2
18 -4

14
-4

-4

14

16 -6

-6

12

-15

-10

14 -6 ===================================================================== -8 -8 10 12 适用版本: -8 -10 -10 ? ? ? 8 ,苏教版 , 鲁教版 A版 S版,冀教版 北大师大版 g?, x沪教版 x+ , ? = 0.5, ?x+sin g?, x语文 x+ 10 , 语文 g?x?人教版 = 2?x+1+2 2?x+ ,北京版 ? = x+sin ?sin -12 -12 3 3 ,牛津译林,华师大版,3 -10 人教版新版 ,外研版,新起点 湘教版,新目标,苏科版,粤沪版, 8 6 -14 -14 北京版, 岳麓版 -12 6 -16 -16 4 适用学科: 4 -14 -18 -18 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 2 2 适用年级: 一年级,-20 二年级,-15 三年级,-10 四年级 ,六年级,七年级 ,八年级 ,九年级 ,小一 ,小 525 -25 -5 5 -10 10 15 20 -20 , 五年级 -15 -5 -2 二,小三,小四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考-2 ,小升初 -4 适用领域及关键字: -4 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 , 教学 -6 研究,在线教学,在线学习,学习,测评,测评网-8 ,学业测评, 学业测评网,在线测评 , 在线 -6 ? ? ? g x = -x+sin 2 ? ? ?x+ 测评网 , 测试 , 在线测试 , 教育 , 在线教育 , 中考 , 高考 , 中小学 , 中小学学习 , 中小学在线学 g x = -0.5 x+sin x+ ? ? ?-10 g?x? = -2?x+sin 2?x+ -8 3 3 3,在线练习,在线练习,小学教育, 习,试题,在线试题,练习 初中教育,高中教育,小升初复 -12 -10 习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线辅导资料 ,作文, -14 作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料, 复习专题 , -12 -16 专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学 -14 -18 习资料,中考学习资料,单元测试,单元复习, 单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷 ,期末 考试,期末试卷,期中考试,期中试卷 =====================================================================
12 10 8

?

?

? ?
20

? ?

6

4

2

-5

5

10

15

10

-2

-4

-6

-8

-10

?

?

? ?

?

?

-12

-14

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