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高二数学导数及其应用综合检测综合测试题


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第一章 导数及其应用综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2010· 全国Ⅱ文,7)若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线 方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 [答案] A [解析] y′=2x+a,∴y′|x=0=(2x+a)|x=0=a=1, 将(0,b)代入切线方程得 b=1. 2.一物体的运动方程为 s=2tsint+t,则它的速度方程为( A.v=2sint+2tcost+1 B.v=2sint+2tcost C.v=2sint D.v=2sint+2cost+1 [答案] A [解析] 因为变速运动在 t0 的瞬时速度就是路程函数 y=s(t)在 t0 的导数,S′=2sint+2tcost+1,故选 A. 3.曲线 y=x2+3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率是( A.4 B.5
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)

)

)

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C.6 D.7 [答案] D [解析] 由导数的几何意义知,曲线 y=x2+3x 在点 A(2,10)处的 切线的斜率就是函数 y=x2+3x 在 x=2 时的导数,y′|x=2=7,故选 D. 4.函数 y=x|x(x-3)|+1( )

A.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(0)=1 B.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(3)=1 C.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(0)=f(3)=1 D.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(3)=1,f(-1)=-3 [答案] B [解析] y=x|x(x-3)|+1
3 2 ? ?x -3x +1 (x<0或x>3) =? 3 2 ?-x +3x +1 (0≤x≤3) ? 2 ? ?3x -6x (x<0或x>3) ∴y′=? 2 ? ?-3x +6x (0≤x≤3)

x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: x f′(x) f (x ) (-∞, 0) + 0 0 无极 值 (0,2) + 2 0 极大值 5 (2,3) - 3 0 极小值 1 (3,+ ∞) +

∴f(x)极大=f(2)=5,f(x)极小=f(3)=1 故应选 B.

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5.(2009· 安徽理,9)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2 +8x-8,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 [答案] A [解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方 程的点斜式. ∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, ∴f(2-x)=2f(x)-x2-4x+4, ∴f(x)=x2,∴f′(x)=2x, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2,切线方程为 y-1 =2(x-1),∴y=2x-1. 6.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值, 则 a 等于( A.2 B.3 C.4 D.5 [答案] D [解析] f′(x)=3x2+2ax+3, ∵f(x)在 x=-3 时取得极值, ∴x=-3 是方程 3x2+2ax+3=0 的根, ∴a=5,故选 D. ) )

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7. 设 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数. 当 x<0 时, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 ( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)在此处键入公式。 C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) [答案] D [解析] 令 F(x)=f(x)· g(x),易知 F(x)为奇函数,又当 x<0 时, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,即 F′(x)>0,知 F(x)在(-∞,0)内单调递 增,又 F(x)为奇函数,所以 F(x)在(0,+∞)内也单调递增,且由奇函 数知 f(0)=0,∴F(0)=0. 又由 g(-3)=0,知 g(3)=0 ∴F(-3)=0,进而 F(3)=0 于是 F(x)=f(x)g(x)的大致图象如图所示

∴F(x)=f(x)· g(x)<0 的解集为(-∞,-3)∪(0,3),故应选 D. 8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象, 其中一定不正确的序号是( )

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A.①② B.③④ C.①③ D.①④ [答案] B [解析] ③不正确; 导函数过原点, 但三次函数在 x=0 不存在极 值;④不正确;三次函数先增后减再增,而导函数先负后正再负.故 应选 B. 1 9.(2010· 湖南理,5)?4xdx 等于(
?2

)

A.-2ln2 B.2ln2 C.-ln2 D.ln2 [答案] D 1 [解析] 因为(lnx)′=x,
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1 4 所以 ?4xdx=lnx|2 =ln4-ln2=ln2. ?
2

1 10.已知三次函数 f(x)=3x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2 在 x∈(-∞,+∞)是增函数,则 m 的取值范围是( A.m<2 或 m>4 B.-4<m<-2 C.2<m<4 D.以上皆不正确 [答案] D [解析] f′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7, 由题意得 x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7≥0 恒成立,∴Δ=4(4m -1)2-4(15m2-2m-7) =64m2-32m+4-60m2+8m+28 =4(m2-6m+8)≤0, ∴2≤m≤4,故选 D. 11.已知 f(x)=x3+bx2+cx+d 在区间[-1,2]上是减函数,那么 b +c( ) 15 A.有最大值 2 15 B.有最大值- 2 15 C.有最小值 2 15 D.有最小值- 2 [答案] B [解析] 由题意 f′(x)=3x2+2bx+c 在[-1,2]上,f′(x)≤0 恒
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)

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成立.
? ?f′(-1)≤0 所以? ?f′(2)≤0 ? ?2b-c-3≥0 ? 即? ? ?4b+c+12≤0

令 b+c=z,b=-c+z,如图 3? ? 过 A?-6,-2?得 z 最大,
? ?

3 15 最大值为 b+c=-6-2=- 2 .故应选 B. 12. 设 f(x)、 g(x)是定义域为 R 的恒大于 0 的可导函数, 且 f′(x)g(x) -f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时有( A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(x) [答案] C f (x ) [解析] 令 F(x)=g(x) 则 F′(x)= f′(x)g(x)-f(x)g′(x) <0 g2(x) )

f(x)、g(x)是定义域为 R 恒大于零的实数 ∴F(x)在 R 上为递减函数, f(x) f(b) 当 x∈(a,b)时,g(x)>g(b) ∴f(x)g(b)>f(b)g(x).故应选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确 答案填在题中横线上)
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-1 13.? ?

dx 3=________. ?-2(11+5x)

7 [答案] 72 [解析] 取 F(x)=- 从而 F′(x)= 1 , 10(5x+11)2

1 (11+5x)3

dx -1 则? ? (11+5x)3=F(-1)-F(-2) ?
-2

1 1 1 1 7 =- - = . 2+ 2= 10×6 10×1 10 360 72 ax2-1 14.若函数 f(x)= x 的单调增区间为(0,+∞),则实数 a 的 取值范围是________. [答案] a≥0 1? ? 1 [解析] f′(x)=?ax-x?′=a+x2,
? ?

1 由题意得,a+x2≥0,对 x∈(0,+∞)恒成立, 1 ∴a≥-x2,x∈(0,+∞)恒成立,∴a≥0. 15.(2009· 陕西理,16)设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线 与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lgxn,则 a1+a2+…+a99 的值为 ________. [答案] -2 [ 解析 ] 质. k=y′|x=1=n+1,
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本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性

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∴切线 l:y-1=(n+1)(x-1), 令 y=0,x= n n ,∴an=lg , n+1 n+1

1 2 99 ∴原式=lg2+lg3+…+lg100 1 2 99 1 =lg2×3×…×100=lg100=-2. 1 2 16. 如图阴影部分是由曲线 y=x, y =x 与直线 x=2, y=0 围成, 则其面积为________.

2 [答案] 3+ln2 [解析]

?y =x, 由? 1 ?y=x
?

2

,得交点 A(1,1)

?x=2 由? 1 ?y=x

1? ? 得交点 B?2,2?.
?

1 故所求面积 S=?1 xdx+?2xdx
?0 ?1

2 31 2 2 =3x2|0 +lnx|1 =3+ln2.
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三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2010· 江西理,19)设函数 f(x)=lnx+ln(2- x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上 的最大值为2,求 a 的值. [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,2), 1 1 f ′(x)=x- +a, 2-x -x2+2 (1)当 a=1 时,f ′(x)= ,所以 f(x)的单调递增区间为(0, x(2-x) 2),单调递减区间为( 2,2); (2)当 x∈(0,1]时,f ′(x)= 2-2x +a>0, x(2-x)

即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a, 1 因此 a=2. 18.(本题满分 12 分)求曲线 y=2x-x2,y=2x2-4x 所围成图形 的面积. [解析]
2 ? ?y=2x-x , 由? 得 x1=0,x2=2. 2 ?y=2x -4x ?

由图可知,所求图形的面积为 S=?2(2x-x2)dx+|?2(2x2-4x)dx|
?0 ?0

=?2(2x-x2)dx-?2(2x2-4x)dx.
?0 ?0 ?

1 ? ? 因为?x2-3x3?′=2x-x2,
?

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?2 3 ? ? x -2x2?′=2x2-4x, ?3 ?

1 ?? ? ?2 ?? 所以 S=?x2-3x3?? -?3x3-2x2?? =4. ? ??0 ? ??0 19.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处与直线 y=8 相切, 求 a, b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. [分析] 考查利用导数研究函数的单调性,极值点的性质,以及 分类讨论思想. [解析] (1)f′(x)=3x2-3a. 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,
? ? ?f′(2)=0, ?3(4-a)=0, 所以? 即? ?f(2)=8. ? ? ?8-6a+b=8.

2

2

解得 a=4,b=24. (2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0). 当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时 函数 f(x)没有极值点. 当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=± a. 当 x∈(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点.
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1 20.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=2x2+lnx. (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 2 (2)求证:当 x>1 时,2x2+lnx<3x3. [解析] (1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}, 1 ∵f′(x)=x+x,故 f′(x)>0, ∴f(x)的单调增区间为(0,+∞). 2 1 (2)设 g(x)=3x3-2x2-lnx, 1 ∴g′(x)=2x2-x-x, (x-1)(2x2+x+1) ∵当 x>1 时,g′(x)= >0, x ∴g(x)在(1,+∞)上为增函数, 1 ∴g(x)>g(1)=6>0, 1 2 ∴当 x>1 时,2x2+lnx<3x3. 9 21.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x3-2x2+6x-a. (1)对于任意实数 x, f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想,以及求参数的范 围问题. [解析] (1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2). 因为 x∈(-∞,+∞).f′(x)≥m,即 3x2-9x+(6-m)≥0 恒成 立.

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3 3 所以 Δ=81-12(6-m)≤0,得 m≤-4,即 m 的最大值为-4. (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0;当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时 f′(x)>0. 5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)=2-a, 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a. 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,方程 f(x)=0 仅有一个实根,解得 a<2 5 或 a>2. 22.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x3+ax2+1(a∈R). 2? ? ?2 ? (1)若函数 y=f(x)在区间?0,3?上递增,在区间?3,+∞?上递减,
? ? ? ?

求 a 的值; (2)当 x∈[0,1]时,设函数 y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜
?3 ? 角为 θ,若给定常数 a∈?2,+∞?,求 θ 的取值范围; ? ?

(3)在(1)的条件下,是否存在实数 m,使得函数 g(x)=x4-5x3+(2 -m)x2+1(m∈R)的图象与函数 y=f(x)的图象恰有三个交点. 若存在, 请求出实数 m 的值;若不存在,试说明理由.
?2? [解析] (1)依题意 f′?3?=0, ? ? ?2? 2 由 f′(x)=-3x2+2ax,得-3?3?2+2a· 3=0,即 a=1. ? ?

a? a ? (2)当 x∈[0,1]时,tanθ=f′(x)=-3x +2ax=-3?x-3?2+ 3 . ? ?
2

2

?3 ? ? a ?1 由 a∈?2,+∞?,得3∈?2,+∞?. ? ? ? ? ?3 ? a ?1 ? a2 ? ? ? ? ①当3∈ 2,1 ,即 a∈ 2,3 时,f′(x)max= 3 , ? ? ? ?
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f(x)min=f′(0)=0. a2 此时 0≤tanθ≤ 3 . a ②当3∈(1, +∞), 即 a∈(3, +∞)时, f′(x)max=f′(1)=2a-3, f′(x)min=f′(0)=0, 此时,0≤tanθ≤2a-3. a2? ? 3 ? 又∵θ∈[0,π),∴当2<a≤3 时,θ∈ 0,arctan 3 ?, ? ? 当 a>3 时,θ∈[0,arctan(2a-3)]. (3)函数 y=f(x)与 g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1(m∈R)的图象恰有 3 个交点,等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1 恰有 3 个 不等实根, ∴x4-4x3+(1-m)x2=0, 显然 x=0 是其中一个根(二重根), 方程 x2-4x+(1-m)=0 有两个非零不等实根,则
? ?Δ=16-4(1-m)>0 ? ?1-m≠0 ?

∴m>-3 且 m≠1 故当 m>-3 且 m≠1 时,函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象恰有 3 个 交点.

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