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利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题


利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题 导数给高中数学增添了新的活力,也是高考的热点内容.纵观历 年高考,有很多导数试题与高等数学中的隐函数导数有关.本文是 在高三备考复习中,对近些年来全国和若干省(市)高考数学卷中 的把关题和压轴题做一些简单分析,旨在为备考初等数学与高等数 学的衔接知识方面起抛砖引玉的作用. 一、隐函数定理 设函数 f(x,y)在包含(x0,y0)的一个开集上连续可微,并且 满足条件 f(x0,y0)=0,fy(x0,y0)≠0,则存在以(x0,y0) 为中心的开方块 d×e(d=(x0-δ ,x0+δ ) ,e=(y0-η ,y0+η ), ) 使得(1)对任何一个 x∈d,恰好存在唯一的一个 y∈e,满足方程 f(x,y)=0.这就是说,方程 f(x,y)=0 确定了一个从 d 到 e 的 函数 y=f(x)(2)函数 y=f(x)在 d 连续可微,它的导数可按下 ; 式计算 dydx=-fx(x,y)fy(x,y). 二、问题 已知椭圆 c:x2a2+y2b2=1(a>b>0).(ⅰ)点 p(x0,y0)是椭 圆 c 上一点,求过 p 点的椭圆 c 的切线方程; (ⅱ)点 p(x0,y0) 是椭圆 c 外一点,过 p 引椭圆 c 的切线 pa、pb,点 a、b 为切点, 求直线 ab 的方程. 解: (ⅰ)根据隐函数定理 f′(x)=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2, ∴过 p 的切线斜率 k=-x0b2y0a2, ∴过 p 的切线方程为 y-y0=--x0b2y0a2(x-x0) ,整理得 x0xa2+y0yb2=1. (ⅱ) 设切点 a x1, 、 x2, ,(1) ( y1)b ( y2)由 知切线 pa: x1xa2+y1yb2=1, 切线 pb:x2xa2+y2yb2=1,由直线 pa、pb 的交点为 p(x0,y0) , 所以直线 ab 的方程为 x0xa2+y0yb2=1. 三、推广 命题 1 已知圆 c: (x-a)2+(y-b)2=r2.(1)点 p(x0,y0)是 圆 c 上一点, 则过 p 点的圆 c 的切线方程为 (x0-a) (x-a) (y0-b) + (y-b)=r2. (2)点 p(x0,y0)是圆 c: (x-a)2+(y-b)2=r2 外一点,过 p 引圆 c 的切线 pa、pb,点 a、b 为切点,则直线 ab 的方程为(x0-a) (x-a)+(y0-b) (y-b)=r2. 命题 2 已知双曲线 c:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).(1)点 p(x0, y0)是双曲线 c 上一点,则过 p 点的双曲线 c 的切线方程为 x0xa2-y0yb2=1. (2) p 点 (x0, y0) 是双曲线 c: x2a2-y2b2=1 (a>0, b>0)外一点,过 p 引双曲线 c 的切线 pa、pb,点 a、b 为切点,则 直线 ab 的方程为 x0xa2-y0yb=1. 命题 3 已知抛物线 c:x2=2py(p>0). (1)点 p(x0,y0)是抛物线 c 上一点,则过 p 点的抛物线 c 的 切线方程为 x0x=2p·y0+y2. (2)点 p(x0,y0)是抛物线 c:x2=2py(p>0)外一点,过 p 引 抛物线 c 的切线 pa、pb,点 a、b 为切点,则直线 ab 的方程为 x0x=2p·y0+y2. 四、在高考中的应用 图 1【例 1】 如图 1,以椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心为圆 心, 分别以 a 和 b 为半径作

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