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数学二轮复习应用题专题


1.某工厂日生产某种产品最多不超过 30 件,且在生产过程中次品率 p 与日产量 x(x∈N+)件间的关系为
x+20 200 0<x≤15

p= x2+300 3000
15<x≤30

每生产一件正品盈利 2900 元,每出现一件次品亏损 1100 元. (Ⅰ)将日利润 y(元)表示为日产量 x(件)的函数; (Ⅱ

)该厂的日产量为多少件时,日利润最大? (注:次品率 次品个数 产品总数 p=×100%,正品率=1-p)

2. 某机床厂今年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第一年 维修、保养费用 12 万元,从第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增 加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的 盈利总额 y 元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利? (3)使用若干年后,对机床的处理有两种方案:①当年平均盈利额达到最大值 时,以 30 万元价格处理该机床;②当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处 理该机床.问哪种方案处理较为合理?请说明理由.

解: (1)y=﹣2x2+40x﹣98,x∈N*. (2)由﹣2x2+40x﹣98>0 解得, ,且 x∈N*, 所以 x=3,4,17,故从第三年开始盈利. (3)由 当仅当 x=7 时“=”号成立, 所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114(万元) . 由 y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2(x﹣10)2+102≦102, 所以按第二方案处理总利润为 102+12=114(万元) . ∴由于第一方案使用时间短,则选第一方案较合理. ,

3.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购 入 x 台(x 是正整数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的 保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月 需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保

管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x) ; (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理 由. 解: (1)设题中比例系数为 k, 若每批购入 x 台,则共需分 批,每批价值为 20x 元,

由题意,得: 由 x=4 时,y=52 得:



(2)由(1)知,



,当且仅当

,即 x=6 时,上式等号成立;

故只需每批购入 6 张书桌,可以使 48 元资金够用.

4. 某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料 200 公斤,每公斤饲料的 价格为 1.8 元, 饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天 0.03 元,购买饲料每次 支付运费 300 元. (Ⅰ)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小; (Ⅱ) 若提供饲料的公司规定, 当一次购买饲料不少 5 吨时其价格可享受八五折 优惠(即原价的 85%).问该厂是否考虑利用此优惠条件,请说明理由. 解:保管与其它费用每天比前一天少 200× 0.03=6(元), ∴ 天饲料的保管与其它费用共是 ………………4 分

从而有

…………5 分

………………7 分

当且仅当

,即

时,

有最小值………………8 分

即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小. (Ⅱ)若厂家利用此优惠条件,则至少 25 天购买一次饲料,设该厂利用此优惠 条件,每隔 天( )购买一次饲料,平均每天支付的总费用为 ,则

……………10 分



∴当

时,

,即函数



上是增函数…………12 分

∴当

时,

取得最小值为

,而

……………13 分 ……………14 分

∴该厂应接受此优惠条件

5. 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每 层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平 均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少, 该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=



解:设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,



(x≥10,x∈Z+),





下面证明 g(x)在[10,+∞]的单调性, 在定义域内任取 x1<x2,则有



而存在

①和

②两种可能,

∴在同一区间,x1,x2 的值可以非常接近,且都靠近 15 时,x1,x2 的值就非常 靠近 225 了, 反之,如果 x1,x2 的值分布在 15 的两侧,则 x1x2 的值就会出现不确定的结果, 即有些大于 15,有些小于 15,可以而且必须在 15 划分单调区间; 故当 x1<x2=15 时,函数单调递减, 当 15<x1<x2 时,函数是增函数, 故 g(x)在[10,15]上递减,在[15,+∞]上递增, 所以函数在[10,+∞]的最小值是在 x=15 处取得,即 f(15)=2000, 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。

6.某学校每周一供应 1000 名学生种 A,B 两种菜。调查表明,凡在星期一选 A 菜的下星期一会有 20%改选 B 种菜, 而选 B 种菜的, 下星期会有 30%改选 A 种 菜。设第 n 个星期选 A,B 两种菜分别有an (1)若a1 = 500,求a2 ,a3 (2)求an ,并说明随时间推移,选 A 种菜的学生将稳定在 600 名附近。 解(1)∵a1 = 500 ∴a2 =500× 1 ? 20% + 500 × 30% = 550 a3 = 550 × 1 ? 20% × 450 × 30% = 575 (2)依题意得 an = an ?1 × 1 ? 20% × bn × 30% =0.8an ?1 +(1000?an ?1 )× 30%= ∴an ? 600 = 2 (an + 600)
1 1

bn 个学生

a 2 n ?1

+ 300

a1 ? 600 = ?100
1

∴ an ? 600 是以首项为 ? 100,公比为 2 的等比数列 1n ?1 an ? 600 = ?100 × 2 100 an = 600 ? n ?1 2 ∴当 n 越来越大时2n ?1 趋于+∞,则2n ?1 趋于 0 ∴选 A 菜的学生将稳定在 600 名左右
100

方法(1)问什么设什么,注意取值范围

人/年/桌子

x∈ ?

(2)根据题意列表达式(注意是否分段函数;费用是否每天累 加的总费用,等差求和法;平均每天/每年/每平方米要用这个总费用 除以变量) (3)利用均值不等式,求导。二次函数性质求最大值最小值


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