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第二章资料分散度的衡量


第二章資料分散度的衡量 資料分散度的衡量
一組大小為n 的樣本記為 一組大小為

x1 , x2 , ? , xn

一全距(Range) 一全距
R = 最大值 ? 最小值

例:下列三組資料之全距為何? A : 50 70 90 50、70、90 B:60、70、80 C:70、70、70

四分位距(Quartiles) 二.四分位距 四分位距
? 四分位距
IQR = 第3四分位數 ? 第1四分位數 = Q3 ? Q1

平均絕對離差
1 N ? 母體: MAD = ∑ | x i ? ? | N i =1

1 n 樣本 : mad = n i∑ | x i ? X | =1

變異數
母體變異數 式中: 式中:

?

1 σ = ∑ ( xi ? ? ) 2 N
2

:母體平均數, :母體個數。
2

N
樣本變異數

1 2 S = ∑ ( xi ? X ) n ?1
:樣本平均數, :樣本數。

式中: X 式中

n

相對分散度
? 變異係數(Variance of Coefficient) 變異係數
變異係數 (CV ) = 標準差 *100 平均數

母體資料: CV =

σ *100 ?

樣本資料:

S cv = * 100 x

例:某電池生產商為測試其所生產的電池使用時間,隨機選取20個電池,測 驗結果如下(以小時為單位): 41.0 40.9 39.8 42.6 41.4 42.5 42.4 40.8 42.5 42.8 39.7 41.8 42.2 42.5 42.6 40.0 41.0 42.4 42.7 43.6 請利用EXCEL計算下列各數值: 算術平均數、眾數、中位數。 第10及第90百分位數。 全距、MAD(平均絕對離差)及四分位全距。 變異數及變異係數。

解: 算術平均數 X = 835.2 = 41. 76 眾數
20

M 0 = 42.5

中位數

m

e

=

42 . 2 + 42 . 4 = 42 . 3 2

20× 01= 2 (nd),故 P 10 = 39 . 8 . 20× 0.9 = 18 故 P90 = 42. 7
(th),

全距

R = 43. 6 ? 39 . 7 = 3. 9
n

平均絕對離差
MAD =


i =1

xi ? X n

=

18 . 96 = 0 . 948 20

20 × 0. 25 = 5

(th),故第一四分位數 Q1 = 40. 9 (th),故第三四分位數 Q3 = 42.5

20× 0.75= 15

IQR= Q3 ? Q1 = 42.5 ? 40.9 = 1.6

變異數

∑ ( x ? X ) 2 23.548 S = = = 1. 24 n ?1 20 ? 1
2

變異係數

CV =

1 .24 * 100 = 2 .67 41 .76

例:由於做三明治的原料漲價,美而美三明治店的老闆欲調整其三 明治的售價,他可採取下列兩種措施: 措施A:每個三明治都漲價5元。 措施B:每個三明治都上漲其原售價的 試問此二措施對原售價的平均數、中位數、眾數及標準差有何影響? 解:措施A:平均數、中位數、眾數都增加5元;標準差不變。 措施B:平均數、中位數、眾數、標準差都增加為原來的1.2倍。

2 例:設一組資料含有 X 1 , X 2 , …, X n 共有 n 個,且 X 與 S X

分別表示其平均數與變異數,則: 設Yi = Xi + k,i =1,2,… n , ,試問 Y 1 , Y 2 , … , Y n 這
X , S 2 有何關係 設 Yi X

n

個數的平均數與變異數與原來的

= kXi , i = 1,2,…, n ,試問

Y1, Y2 ,…, Yn 此
有何關係?.
Y =

n 個數的平均數與變異數又與原來之

解:

1 1 1 1 ∑ Y i = ∑ ( X i + k ) = ∑ X i + nk = X + k n n n n

2 1 SY = ∑

n

(

2 2 1 1 Yi ? Y = ∑ Xi + k ? X ? k = ∑ Xi ? X = S2 X n n 2

)

(

)

(

)

Y =
2 SY =

1 1 1 ∑Yi = ∑ k X i = k × ∑ X i = k X n n n

2 2 2 1 1 1 ? Y = ∑ k Xi ? k X = k2 × ∑ Xi ? X = k2 S2 ∑ Yi X n n n

(

)

(

)

(

)

例:設台中市醫生和律師去年全年所得的分配情形如下(單位:萬元): 職業 醫生 律師 人數 240 160 平均所得 中位數 200 150 150 120 眾數 120 100 標準差 50 50

哪一種職業的所得差異較大?

相對位置的量測 z-分數 分數
一組大小為n 一組大小為 的樣本

x1 , x2 , ? , xn

,假設已求得樣本平均數

x

分數為 與標準差 s,下式為 x i 之 z-分數為 ,

xi ? x zi = s
Note:z-分數通常稱為標準化 : 分數通常稱為標準化 分數通常稱為標準化(standardized),可解釋為 , 間有幾個標準差的差距。 與平均數 x 間有幾個標準差的差距。
xi

柴比氏定理
2 k 不論資料為何種分配,至少有 (1?1/ k ) 的資料落在距離平均數

個標準差的範圍內。 k 為大於 1 的任意數,即 k>1

經驗法則
若資料為鐘形分配,則有68%的觀察值落在 X ± S 內, 有95%的
, ,

的觀察值落在

X ± 2S

有99%的觀察值落在 X±3S

f (x )

99.70% 95% 68%

x ? 3S

x ? 2S x ? S

x

x+S

x + 2S

x + 3S

x

兩變數的相關性量測
當討論兩個變數的資料時,我們常會問兩個問題, 當討論兩個變數的資料時,我們常會問兩個問題, 一為此兩變數有沒有關 相關係數)。 係,如有其關係有多大(相關係數 。另一為一變數對另一變數有何影響 迴歸 如有其關係有多大 相關係數 另一為一變數對另一變數有何影響(迴歸 分析)。以上的分析於以後章節將會討論。目前先介紹兩變數的相關性量測; 分析 。以上的分析於以後章節將會討論。目前先介紹兩變數的相關性量測; 首先介紹共變異數(covariance)敘述兩個變數間的線性相關的敘述量測 敘述兩個變數間的線性相關的敘述量測 首先介紹共變異數 共變異數(covariance):對於樣本大小為 n 的配對資料值如 : 共變異數

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ) 其定義如下
樣本共變異數
s xy =



( x i ? x )( y i ? y ) n ?1

母體共變異數

σ xy =

∑ (x

i

? ? x )( yi ? ? y ) N

表:音響設備店的樣本資料
廣告次數 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 5 1 3 4 1 5 3 4 2 銷售量 y 50 57 41 54 54 38 63 48 59 46

週次

圖:音響設備店的樣本資料散佈圖

70 60 50 40 30 20 10 0 0 2 4 6

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 總和
xi ? x

y 50 57 41 54 54 38 63 48 59 46 510 51 =

xi ? x
-1 2 -2 0 1 -2 2 0 1 -1 0

yi ? y (xi ? x)(yi ? y)
-1 6 -10 3 3 -13 12 -3 8 -5 0 1 12 20 0 3 26 24 0 8 5 99

2 5 1 3 4 1 5 3 4 2 30 3

s xy

∑ (x =

i

? x )( y i ? y ) n ?1

99 = 11 10 ? 1

NOTE:

s xy > 0 時表示可推導 與y間為正的線性相關,若小於 時表示可 時表示可推導x與 間為正的線性相關 若小於0時表示可 間為正的線性相關,
推導x與 間為負的線性相關 推導 與y間為負的線性相關


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